8-误差理论概述

1、1正确认识误差的性质，分析误差产生的原因减小或抑制误差正确处理实验数据，合理计算所得结果给出科学可信的实验结果正确组织实验过程，合理设计、选用仪器或测量方法根据目标确定最佳方案误差理论与数据处理2第一章 绪论1、研究误差的意义2、误差的基本概念3、误差与精度4、有效数字与数据运算3第一章 绪论第一节 研究误差的意义第二节误差的基本概念 误差的定义误差的分类误差的来源4误差误差 绝对绝对误差误差相对相对误差误差粗大粗大误差误差系统系统误差误差随机随机误差误差表示形式性质特点误差误差测得值测得值真值真值一、误差的定义及表示法 5引用误差引用误差（Fiducial Error of a Measur

2、ing Instrument） 定义定义 该标称范围（或量程）上限该标称范围（或量程）上限 最大引用误差最大引用误差 仪器某标称刻度值处的仪器某标称刻度值处的绝对误差绝对误差 mmmxrx引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引用了特定值，又称为引用相对误差。最大引用误差：引用标称范围上限（或量程）得到的，故该误差又满度误差。 最大引用误差：被用来确定仪表的等级精度iimxrx仪器标称范围（或量程）仪器标称范围（或量程）内的最大绝对误差内的最大绝对误差 6主要来源 测量方法测量方法误差误差测量装置测量装置误差误差测量环境测量环境误差误差测量人员测量人员误差误差 二、误差的来源二、误差的来源

3、误差的起因: 测量过程中，由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，人们认识能力所限，实验所得数据和被测量的真值之间存在差异。 7三、误差分类 系统误差系统误差（Systematic ErrorSystematic Error） 在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。 定义定义特征特征 在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。 8按对误差掌握程度，系统误差可分为按对误差掌握程度，系统误差可分为 误差绝对值和符号已经误差绝对值和符号已经明确明确的系统误差。的系统误差。 已定系统误差

4、：已定系统误差：例：例： 直尺的刻度值误差 误差绝对值和符号未能确定的系统误差，误差绝对值和符号未能确定的系统误差，但通常估计出误差范围。但通常估计出误差范围。 未定系统误差：未定系统误差：按误差出现规律，系统误差可分为按误差出现规律，系统误差可分为 误差绝对值和符号固定不变固定不变的系统误差。 不变系统误差：不变系统误差：误差绝对值和符号变化的系统误差。按其变化规律，可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差。 变化系统误差：变化系统误差：9随机误差（随机误差（Random Error） 测得值测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结

5、果的多次测量结果的平均值之差平均值之差。又称为偶然误差。又称为偶然误差。 定义定义特征特征 在相同测量条件下，多次测量同一量值时，在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。 产生原因产生原因实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动等。地面振动等。 随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见，不可修正。 大量的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规律的。因此，可以用概率统计的方法处理含有随机误差的数据，

6、对随机误差的总体大小及分布做出估计，并采取适当措施减小随机误差对测量结果的影响。 随机误差的性质随机误差的性质10粗大误差（粗大误差（Gross ErrorGross Error） 指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。 定义定义产生原因产生原因某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。 测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等） 测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）。由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除。

7、 11三类误差的关系及其对测得值的影响三类误差的关系及其对测得值的影响 标准差标准差期望值期望值 均值均值 某次测得值某次测得值 奇异值奇异值 系统误差和随机误差的定义是科学严谨，不能混淆的。但在测量实践中，由于误差划分的人为性和条件性，使得他们并不是一成不变的，在一定条件下可以相互转化。也就是说一个具体误差究竟属于哪一类，应根据所考察的实际问题和具体条件，经分析和实验后确定。f x ( )_33+12第三节误差与精度第三节误差与精度 测量结果中系统误差的影响程度准确度准确度（Correctness）测量结果中随机误差的影响程度精密度精密度（Precision）精确度精确度（Accuracy

8、） 表示测量结果与被测量真值之间的一致程度。就误差分析而言，精确度是测量结果中系统误差和随机误差的综合，误差大，则精确度低，误差小，则精确度高。 精确度（精度）在数值上一般多用相对误差来表示，但不用百分数。如某一测量结果的相对误差为0.001%，则其精度为10-5。 13准确度、精密度和精确度三者之间的关系准确度、精密度和精确度三者之间的关系(a)(b)(c)弹着点全部在靶上，但分散。相当于系统误差小而随机误差大，即精密度低，准确度高。弹着点集中，但偏向一方，命中率不高。相当于系统误差大而随机误差小，即精密度高，准确度低。弹着点集中靶心。相当于系统误差与随机误差均小，即精密度、准确度都高，从而

9、精确度高。14第四节有效数字与数据运算 一、有效数字一、有效数字 测量精度有限测量精度有限 最末一位有效数字应与测量精度同一量级最末一位有效数字应与测量精度同一量级 可靠数字可靠数字 + 一位存疑数字一位存疑数字 = 有效数字有效数字 有效位数是该数中有效数字的个数。指从该数左方第一个有效位数是该数中有效数字的个数。指从该数左方第一个非零数字算起到最末一个数字（包括零）的个数，它不取非零数字算起到最末一个数字（包括零）的个数，它不取决于小数点的位置决于小数点的位置 。例如：例如：3.14（3位）位）0.0032（2位）位）0.00320（3位）位）3.143.2 10-33.20 10-3 正

10、确表示：正确表示：（20.53 0.01）mm（20.534 0.042）mm15二、数字舍入规则二、数字舍入规则 计算和测量过程中，对很多位的近似数进行取舍时，应按照下述原则进行凑整：1. 若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末位数加1。2. 若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末位数减1。3. 若舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶数，即当末位为偶数时则末位不变，当末位是奇数时则末位加1。16三、数字运算规则三、数字运算规则 1. 在近似数运算时，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有残余运算的数字，在有效数字后可多保留一维数字作为参考数字（或称

11、为安全数字）。2. 在近似数做加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。3. 在近似数乘除运算时，各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位有效数，但最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。4. 在近似数平方或开方运算时，近似数的选取与乘除运算相同。5. 在对数运算时，n位有效数字的数据应该用n位对数表，或用（n+1）位对数表，以免损失精度。6. 三角函数运算时，所取函数值的位数应随角度误差的减小而增多17第二章 误差的基本性质与处理第一节 随机误差第二节 系统误差第三节 粗大误差第四节 测量结果

12、的数据处理实例18第一节 随机误差 一、随机误差产生的原因 二、随机误差的分布及其特性 三、算术平均值 四、测量的标准差 五、测量的极限误差 六、不等精度测量 七、随机误差的其他分布 19一.随机误差的产生原因 误差的出现没有确定的规律 统计规律 二.正态分布22(2)1( )2fe22( )fd 4( )5fd1( )2fd20三.算术平均值 设 为n次测量所得的值，则算术平均值 为：12, ,.,nl llx121.ninillllxnniivlx式中： 第 个测得值， 1，2，n; 的残余误差（简称残差）。iliiivil0iilL随机误差：21正态分布的随机误差分布密度1.单次测量的标

13、准差2222121.inninn四.测量的标准差22(2)1( )2fe211inivn（Bessel公式）2.测量列算术平均值的标准差xn22五.测量的极限误差1.单次测量的极限误差22(2)112ed2202()()2 ( )2ttPPtedtt t：置信系数； P:置信概率或置信水平2.算术平均值的极限误差limxxt 231.权的概念 各个测量结果的可靠程度p六.不等精度测量2.权的确定方法最简单确定权的方法：按测量的次数确定权。 前提：测量条件和测量水平皆相同。iipnixin1212222111:.:.:mmxxxppp结论：每组测量结果的权与其相应的标准差平方成反比。24 3.加

14、权算术平均值加权算术平均值11miiimiip xxp4.单位权概念iizp x 若将不等精度测量的各组测量结果 皆乘以自身权数的平方根 ，此时得到的新值 的权数就为1。ipzix25用 代替 代入等精度测量的公式得：iixp viv211imixip vm 加权算术平均值的标准差：211(1)imiximxiip vmp等精度测量列的残余误差等精度测量列的测量结果 已知各组测量结果的残余误差为： ，将各组 单位权化得：iiiiixp vp xp xixiixvxx 加权单次测量的标准差：5.加权算术平均值的标准差26七.随机误差的其他分布 正态分布是随机误差最普遍的一种分布规律，但不是唯一的

15、分布规律。 几种常见的非正态分布：1.均匀分布2. 反正弦分布3. 三角形分布4. 分布25. 分布t 6. 分布F27第二节 系统误差随机误差处理方法的前提：测量数据中不含有系统误差实际情况：系统误差与随机误差同时存在研究系统误差的特征与规律性，找出产生系统误差的原因，提出减加或消除系统误差的方法 给出科学结论一 系统误差产生的原因二 系统误差的特征三 系统误差的发现四 系统误差的减小和消除28 系统误差是有固定不变的或按确定规律变化的因素造成，这些因素是可以掌握的。 测量装置方面的因素 环境方面的因素 测量方法的因素 测量人员的因素计量校准后发现的偏差、仪器设计原理缺陷、仪器制造和安装的不

16、正确等。测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中的温度、湿度按一定规律变化的误差等。采用近似的测量方法或计算公式引起的误差等。测量人员固有的测量习性引起的误差等。一 系统误差产生的原因29二 系统误差的特征在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定规律变化。1 不变的系统误差2 线性变化的系统误差3 周期性变化的系统误差4 复杂规律变化的系统误差30三 系统误差的发现秩和检验法检验法计算数据比较法，正态检验法检验法组间不同公式计算标准差法残余误差校核法残余误差观察法实验对比法组内发现系统误差的方法Ft31四 系统误差的减小和消除（一）消误差源

17、法（一）消误差源法 （二）加修正值法（二）加修正值法 （三）改进测量方法（三）改进测量方法 （一）消误差源法：（一）消误差源法： 所用基准件、标准件是否准确可靠； 所用量具仪器是否处于正常工作状态，是否经过检定； 仪器的调整、测件的安装定位和支承装卡是否正确合理； 所采用的测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差； 测量的环境条件是否符合规定要求，如温度、振动、尘污、气流等； 注意避免测量人员带入主观误差如视差、视力疲劳、注意力不集中等。 （二）加修正值法（二）加修正值法32（三）改进测量方法（三）改进测量方法 1、消除恒定系统误差的方法 抵消或反向补偿法丝杠与螺母间的配合间隙等因素引起的定回

18、误差，往往采用往返两个方向的两次读数取均值作为测量结果 代替法：代替法的实质是在测量装置上对被测量测量后不改变测量条件，立即用一个标准量代替被测量，测量差值 被测量标准差差值 交换法：这种方法是根据误差产生原因，将某些条件交换，以消除系统误差。 332、消除线性系统误差的方法对称法 3425122xxxxx例如测定量块平面平行性时（见例如测定量块平面平行性时（见图图2-20）,先以标准量块先以标准量块A的中心的中心0点对零，然后按图中所示被检点对零，然后按图中所示被检量块量块B上的顺序逐点检定，再按上的顺序逐点检定，再按相反顺序进行检定，取正反两次相反顺序进行检定，取正反两次读数的平均值作为各

19、点的测得值，读数的平均值作为各点的测得值，就可消除因温度变化而产生的线就可消除因温度变化而产生的线性系统误差。性系统误差。343、消除周期性系统误差的方法半周期法sinal 11211sinal 1112sin)sin(laal0221121llll35第三节 粗大误差粗大误差的数值比较大，它会对测量结果产生明显的歪曲，一旦发现含有粗大误差的测量值，应将其从测量结果中剔除一 粗大误差的产生原因1测量人员的主观原因2客观外界条件的原因二 防止与消除粗大误差的方法1避免人为因素的影响，反复多次检查2尽量采用自动化数采系统3加强本底环境监测36三 判别粗大误差的准则3iv31 准则 测量次数充分大若

20、 则可以认为它含有粗大误差2 t检验准则（罗曼诺夫斯基准则）当测量次数较少时，按 t 分布的实验误差分布范围来判别粗大误差较为合理.特点：首先剔除一个可疑的测量值，然后按t分布检验被剔除的测量值是否含有粗大误差.37第三章 误差的合成与分配第一节 函数误差第二节 随机误差的合成第三节 系统误差的合成第四节 系统误差与随机误差的合成第五节 误差分配第六节 微小误差取舍准则第七节 最佳测量方案的确定38 任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各环节一系列误差因素共同作用的结果。 正确分析与综合这些误差因素，并正确地表述这些误差的综合影响。第一节 函数误差 间接测量：通过直接测量与被测的

21、量之间有一定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计算出被测量。 间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。 研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。 对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。3912( ,.,)nyf x xx1212.nnfffyxxxxxx（函数系统误差公式）一. 函数系统误差的计算第一节 函数误差二. 函数随机误差计算11121112.nnfffyxxxxxx21222212.nnfffyxxxxxx1212.NNNnNnfffyxxxxxx可得：122222222112.2()nijnyxxxijxxijnijfffffxxxxx 该式即为函数随机误

22、差公式，其中 为第 个测量值和第 个 测量值之间的误差相关系数, 为各测量值的误差传递系数。ijijifx40若各测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时，有：0ij10NimjmmijxxKN则误差公式变为：12222222212.nyxxxnfffxxx1222222212.nyxxxnfffxxx令iifax1122222222.nnyxxxaaa （较常使用）122222222112.2()nijnyxxxijxxijnijfffffxxxxx 41三. 误差间的相关关系和相关系数1.误差间的线性相关关系即线性依赖关系，有强弱之分。2.相关系数由相关系数定义知：D 式中： 误差间的

23、协方差； 两误差的标准差。D,22()()( ,)()()ikijkjkijikijkjkkxxxxx xxxxx42第二节 随机误差的合成一. 标准差的合成211()2qqiiijijijiijaa a 211()2qqjiiiijijiijiijata att t iiit 二. 极限误差的合成12.qtttt0ij21()qiiia （较常使用）43一. 已定系统误差的合成1riiia211()2ssiiijijijiijuaua a uu 当 时，有：0ij21()siiiuau二. 未定系统误差211()2ssji iiijijiijiijeaeeeta att t 21()si i

24、ieae 当各单项未定系统误差均服从正态分布，且 时，0ij极限误差极限误差标准差标准差第三节 系统误差的合成44第四节 系统误差与随机误差的合成一、按极限误差合成设有r个单项已定系统误差 s个单项未定系统误差 q个单项随机误差12,r 12,se ee12,q 22111qrsiiiiiiiietRtt 总ia假设误差传递系数 均为1，则总极限误差为：各个误差间协方差之和452按标准差合成s个未定系统误差标准差q个单项随机误差标准差12,su uu12,q 误差传递系数均为1，且各个误差间协方差之和R为02211qsiiiiu对于多次重复测量：22111qsiiiiun只考虑未定系统误差与随机误差合成问题46第五节 误差分配单项误差 总误差总误差的允差 各个单项误差综合如： 弓高弦长法测大直径D给定直径测量允许极限误差 ，求弓高h和弦长s的测量极限误差D,hs 已定系统误差通过修正方法消除，则只考虑未定系统误差和随机误差，且这两种误差分配时可同等看待，分配方法完全相同。47第六节 微小误差取舍准则微小误差：测量过程包含多种误差，有的误差对测量结果总误差影响较小，小到一定程度，计算测量结果总误差可不予考虑。2222221211ykkknDDDDDD取出部分误差kD222221211ykknDDDDD若 ， 则 称为微小误差，可从总误差中舍去yykD已知测量结果的标准