函数的奇偶性ppt课件

1、3.4 3.4 函数的奇偶性函数的奇偶性【复习目的】【复习目的】1.1.了解和掌握函数奇偶性的概念了解和掌握函数奇偶性的概念. .2.2.掌握奇函数、偶函数的图象特征掌握奇函数、偶函数的图象特征. .3.3.掌握判别和证明函数奇偶性的方法掌握判别和证明函数奇偶性的方法. .4.4.能利用函数的奇偶性处理简单问题能利用函数的奇偶性处理简单问题. .【知识回想】【知识回想】1.函数奇偶性的定义函数奇偶性的定义(1)奇函数奇函数:假设对于函数假设对于函数y=f(x)在定义域内的恣意一个在定义域内的恣意一个x,都有都有f(-x)=-f(x),那么这个函数叫奇函数那么这个函数叫奇函数.(2)偶函数偶函数

2、:假设对于函数假设对于函数y=f(x)在定义域内的恣意一个在定义域内的恣意一个x,都有都有f(-x)=f(x),那么这个函数叫偶函数那么这个函数叫偶函数.2.图象特征图象特征(1)奇函数的图象关于坐标原点成中心对称图形奇函数的图象关于坐标原点成中心对称图形;反之反之,如一个如一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形函数的图象关于坐标原点成中心对称图形,那么函数是奇函那么函数是奇函数数.(2)偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴成轴对称图形轴成轴对称图形;反之反之,一个函数的图一个函数的图象关于象关于y轴成轴对称图形轴成轴对称图形,那么函数是偶函数那么函数是偶函数.3.判别奇偶性的步骤判别奇偶性

3、的步骤(1)写出定义域写出定义域.(明确奇函数、偶函数定义域关于对称明确奇函数、偶函数定义域关于对称)(2)求求f(-x).(3)对对f(-x)与与f(x)进展比较进展比较.【例题精解】【例题精解】【解】【解】(1)函数函数f(x)=x3-2x的定义域为的定义域为R,当当xR时时,-xRf(-x)=(-x)3-2(-x)=-x3+2x=-f(x)f(x)=x3-2x为奇函数为奇函数.(2)函数函数f(x)=-3x6-x2的定义域为的定义域为Rf(-x)=-3(-x)6-(-x)2=-3x6-x2=f(x)f(x)=-3x6-x2为偶函数为偶函数.(3)f(x)=x2+2x-5的定义域为的定义域

4、为R,当当xR时时,-xRf(-x)=(-x)2+2(-x)-5=x2-2x-5可以看出可以看出f(-x)f(x)且且f(-x)-f(x)f(x)=x2+2x-5为非奇非偶函数为非奇非偶函数.【点评】断定函数奇偶性的步骤【点评】断定函数奇偶性的步骤:(1)断定函数的定义域断定函数的定义域A.(2)断定断定A能否关于原点对称能否关于原点对称.A能否关于原点对称能否关于原点对称,是判别是判别一个函数奇偶性的必要条件一个函数奇偶性的必要条件,假设函数定义域关于原点不对称假设函数定义域关于原点不对称,那么函数为非奇非偶函数那么函数为非奇非偶函数.只需有一对相反数不同时属于定义域只需有一对相反数不同时属

5、于定义域A,那么那么A关于原关于原点不对称点不对称.如如(4)假设假设A关于原点不对称关于原点不对称,那么函数一定为非奇非偶函数那么函数一定为非奇非偶函数.如如(4)(3)察看能否有察看能否有f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)的成立的成立.(4)假设假设f(-x)=-f(x),那么函数为奇函数那么函数为奇函数;假设假设f(-x)=f(x),那么那么函数为偶函数函数为偶函数.【解】【解】A为偶函数为偶函数,B为非奇非偶函数为非奇非偶函数,C为奇函为奇函数数,D为非奇非偶函数为非奇非偶函数.答案为答案为C.【例【例3】(1)函数函数y=-ax2+bx+5(a0)为偶函数充要条件为偶函数

6、充要条件是是.(2)知知f(x)=(m2+m-6)x2+(m-2)x+(n+7)为奇函数为奇函数,那么那么m=,n=.【例【例4】函数】函数f(x)是奇函数是奇函数,且在且在x0上是增函数且有最大上是增函数且有最大值值6;函数函数g(x)是偶函数是偶函数,且在且在x0上是减函数且有最大值上是减函数且有最大值-5.那那么当么当x0时时,它们的增减性和最值情况是它们的增减性和最值情况是()A.f(x)是减函数最小值为是减函数最小值为6,g(x)是增函数最小值为是增函数最小值为-5B.f(x)是增函数最大值为是增函数最大值为6,g(x)是增函数最小值为是增函数最小值为5C.f(x)是减函数最大值为是

7、减函数最大值为-6,g(x)也是减函数最大值为也是减函数最大值为5D.f(x)是增函数且最小值为是增函数且最小值为-6,g(x)是增函数且最大值为是增函数且最大值为-5【答案】【答案】D【点评】【点评】(1)假设假设f(x)为奇函数为奇函数,那么那么f(x)在两对称区间上单调在两对称区间上单调性一样性一样,假设假设f(x)为偶函数为偶函数,那么那么f(x)在两对称区间上单调性相反在两对称区间上单调性相反.(2)假设奇函数在某区间上有最大值假设奇函数在某区间上有最大值,那么在对称区间有最小值那么在对称区间有最小值,且两值相反且两值相反;假设偶函数在某区间上有最大值假设偶函数在某区间上有最大值,那

8、么在对称区间有最大值那么在对称区间有最大值,且且两值相等两值相等.【例【例5】知】知f(x)=ax5+bx3-x+3,且且f(2)=7,求求f(-2).【解】令【解】令g(x)=ax5+bx3-x,那么那么f(x)=g(x)+3f(2)=g(2)+3f(2)=7f(2)=g(2)+3g(2)=f(2)-3=7-3=4g(x)为奇函数为奇函数g(-2)=-4又又f(x)=g(x)+3f(-2)=g(-2)+3=-4+3=-1【点评】普通地【点评】普通地,当标题知当标题知f(a)的函数值求的函数值求f(-a)的函数的函数值值,我们常思索利用函数的奇偶性解题我们常思索利用函数的奇偶性解题;但这时假设

9、题中给出但这时假设题中给出的是一个非奇非偶函数的是一个非奇非偶函数,就需求我们根据函数表达式去构造就需求我们根据函数表达式去构造一个奇函数或偶函数一个奇函数或偶函数,如例如例5中中f(x)就是一个非奇非偶函数就是一个非奇非偶函数,这时我们根据函数表达式去构造一个奇函数这时我们根据函数表达式去构造一个奇函数g(x)=x5+2x3-x,从而顺利解题从而顺利解题.【同步训练】【同步训练】【答案】【答案】A【答案】【答案】B【答案】【答案】C【答案】【答案】A4.知函数知函数f(x)在在-7,7上是奇函数上是奇函数,且且f(2)f(1),那么那么()A.f(-1)f(1)C.f(-1)f(-2)D.f

10、(2)f(3)f(-2)B.f(-)f(-2)f(3)C.f(-)f(3)f(-2)D.f(-)f(-2)f(3)【答案】【答案】C【答案】【答案】D9.知函数知函数f(x)、g(x)都是奇函数都是奇函数,且且F(x)=f(x)+g(x)+2在在(0,+)上有最大值上有最大值8,那么在那么在(-,0)上上,F(x)有有()A.最小值最小值-8B.最大值最大值-8C.最小值最小值-6D.最小值最小值-42或或1-3非奇非偶非奇非偶非奇非偶函数非奇非偶函数二、填空题二、填空题10.知一次函数知一次函数f(x)=x+(k2-3k+2)是奇函数是奇函数,那么那么k的值是的值是.11.知二次函数知二次函

11、数f(x)=(a-1)x2+(a2+2a-3)x+5为偶函数为偶函数,那么那么a的值为的值为.12.知函数知函数f(x)=x2,x-2,4,那么函数的奇偶性那么函数的奇偶性.13.知知f(x)、g(x)是定义域一样的两个函数是定义域一样的两个函数,且且f(x)是奇函是奇函数数,g(x)是偶函数是偶函数,那么那么G(x)=f(x)+g(x)为为.三、解答题三、解答题【证明】【证明】(1)函数的定义域为函数的定义域为Rf(-x)=4(-x)3-(-x)=-4x3+x=-f(x)f(x)=4x3-x是奇函数是奇函数.15.证明以下函数是偶函数证明以下函数是偶函数:(1)f(x)=-x2+1(2)f(x)=lgx2【证明】【证明】(1)函数的定义域为函数的定义域为Rf(-x)=-(-x)2+1=-x2+1=f(x)f(x)是偶函数是偶函数.(2)函数的定义域为函数的定义域为A=x|x0,当当xA时时,-xA.f(-x)=lg(-x)2=lgx2f(x)是偶函数是偶函数.16.知函数知函数f(x)=-ax3+bx-1,且且f(3)=-6,求求f(-3).【解】设【解】设g(x)=-ax3+bx那么那么f(x)=g(x)-1f(3)=g(3