复数及其代数运算

1、目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组 复 变 函 数 与积分变换 Email: Tel:讲人：黄琼伟主讲人：黄琼伟目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组2.交作业：2本/位，每周一上课前由课代表发放已批好的作业本，并按学号顺序上交上周的作业本。地点：博学楼C楼一楼教师休息室； 平时期末总评作业+出勤闭卷考试平时30 +期末 70一、教学及考核方式一、教学及考核方式1.共32学时，严格出勤考核；3.最终成绩：目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程

2、组复变函数与泛函分析复变函数与泛函分析 姓姓 名名 班班 级级 A05目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组二、教学内容二、教学内容 本课程由本课程由复变函数复变函数与与积分变换积分变换*两个部分组成。两个部分组成。 复变函数与积分变换课程是工科各专业的重要复变函数与积分变换课程是工科各专业的重要基础理论课，是工程数学的主要课程之一。在科学基础理论课，是工程数学的主要课程之一。在科学研究、工程技术等各行各业中有着广泛的应用。研究、工程技术等各行各业中有着广泛的应用。复变函数复变函数的内容包括：的内容包括：复数与复变函数、解析函数、复数与复变函数、解析函

3、数、复变函数的积分、解析函数的级数表示、留数及其应用、复变函数的积分、解析函数的级数表示、留数及其应用、共形映射共形映射以及以及解析函数在平面场的应用解析函数在平面场的应用。积分变换积分变换的内容包括：的内容包括：傅里叶变换和拉普拉斯变换傅里叶变换和拉普拉斯变换。目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组复数领域的推广和发展复数领域的推广和发展 。复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数复数的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八世纪末期，经过了世纪

4、末期，经过了卡尔丹卡尔丹、笛卡尔笛卡尔、欧拉欧拉以及以及高斯高斯等许多人等许多人的长期努力，复数的地位才被确立下来。的长期努力，复数的地位才被确立下来。复变函数理论复变函数理论产生于十八世纪，在十九世纪得到了全面产生于十八世纪，在十九世纪得到了全面为这门学科的发展作了大量奠基工作的为这门学科的发展作了大量奠基工作的发展。发展。为复变函数理论的创建做了早期工作的是为复变函数理论的创建做了早期工作的是欧拉欧拉、达朗达朗贝尔贝尔、拉普拉斯拉普拉斯等。等。则是则是柯西柯西、黎曼黎曼和和维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯等。等。目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组 复变

5、函数与积分变换复变函数与积分变换课程是电气工程及其自课程是电气工程及其自动化等专业必修的专业基础课，是学习动化等专业必修的专业基础课，是学习“电路理论电路理论”、“电机学电机学”、“信号与系统信号与系统”等多门后继专业等多门后继专业课的基础课的基础. . 例如，复变解析函数（复势）可表示一个平面例如，复变解析函数（复势）可表示一个平面无旋无源的静电场。无旋无源的静电场。( )( , )( , )f zu x yiv x yzxiy，其中目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数1.2 复数的几何表示复数的几何表示1

6、.1 复数复数1.3 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根1.4 区域区域1.5复变函数复变函数1.6 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组第一节第一节复数及其代数运算复数及其代数运算 第一章第一章 一、复数的概念一、复数的概念二、复数的代数运算二、复数的代数运算目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组一、复数的概念一、复数的概念1.1.虚数单位虚数单位规定：规定：i虚数单位虚数单位实例：方程实例：方程21x 在实数集中无解在实数集中无解. .21;i 性质：性质：;1i

7、i ; 12 i;23iiii ; 431ii i目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组2.2.复数复数: :,任任意意两两实实数数, , 称称或或为为复复数数. .x yzxyizxiy其其中中 称称为为 的的 实实部部, , xzRe( ).记记作作 xz,当当 时时 纯纯 称称为为数数; ; 虚虚xyziy00,当当时时 就就是是. .实实 数数 yzxix00虚虚部部称称为为 的的, , yzIm( ).记记作作 yz因此，实数可以看作是复数的特殊情形。因此，实数可以看作是复数的特殊情形。目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工

8、学院基础部应用数学课程组例例1 1复复数数取取何何值值时时实实数数,m )43(2mm( ); ( )是是实实数数纯纯虚虚数数? ?12imm)65(2 解解令令, 432 mmx, 652 mmy, 0,)1( y则则如如果果复复数数是是实实数数. 160652 mmmm或或知知由由, 00,)2( yx且且则则如如果果复复数数是是纯纯虚虚数数. 140432 mmmm或或知知由由.10应应舍舍去去知知但但由由 my. 4 m即只有即只有目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组 两复数相等，两复数相等，当且仅当当且仅当它们的实部和虚它们的实部和虚部分别

9、相等部分别相等.3 3、两复数相等、两复数相等0 yixz当且仅当当且仅当.0 yx特别地特别地，它们之间只有相等与不相等的关系。它们之间只有相等与不相等的关系。 两个复数两个复数( (虚部不为零虚部不为零) )不能比较大小，不能比较大小，注注目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组二、复数的代数运算二、复数的代数运算, 222111iyxziyxz 设设两两复复数数1. 两复数的和差两复数的和差:).()(212121yyixxzz 2. 两复数的积两复数的积:).()(2112212121yxyxiyyxxzz 3. 两复数的商两复数的商:11212

10、2112222222222zx xy yx yx yizxyxy21zzz( (利利用用）20z( (）目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组代数运算法则代数运算法则交换律交换律;1221zzzz .1221zzzz 结合律结合律; )()(321321zzzzzz . )()(321321zzzzzz 分配律分配律.)(3121321zzzzzzz 与实数运算律完全类似与实数运算律完全类似目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组4.4.共共轭复数轭复数 例例2 2.的的积积与与计计算算共共轭轭复复数数yixyi

11、x 解解)(yixyix 22)(yix .22yx ,.两两个个共共轭轭复复数数的的积积是是一一个个实实数数z z结论：设设 是一个复数，是一个复数，定义定义yixz 称称 为为 z 的的共轭复数共轭复数，记作，记作yixz z目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组共轭复数的性质共轭复数的性质:;)1(2121zzzz ;2121zzzz ;2121zzzz ;)2(zz ;)Im()Re()3(22zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 以上各式证明略以上各式证明略.目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部

12、应用数学课程组例例3 3 解解,43,55 21iziz 设设. 2121 zzzz与与求求iizz435521 )43)(43()43)(55(iiii 25)2015()2015(i .5157i 21 zz.5157i “分母化实分母化实”目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组例例4 解解,131 iiiz 设设.)Im(),Re(zzzz 与与求求iiiz 131 )1)(1()1(3 iiiiiii ,2123i ,21)Im(,23)Re( zz 22)Im()Re(zzzz 222123 .25 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结

13、束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组例例5 证证, 222111iyxziyxz 设设两两复复数数).Re(2 212121zzzzzz 证明证明 2121zzzz)()( )( 22112211iyxiyxiyxiyx )()(21122121yxyxiyyxx )()(21122121yxyxiyyxx )(22121yyxx ).Re(221zz ).Re(2 2121212121zzzzzzzzzz 或或目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组1.复数的有关概念复数的有关概念. 2.复数的代数运算复数的代数运算3.复数的共轭运算复数的共轭运算.

14、内容小结内容小结目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组复数一定不能比较大小吗？复数一定不能比较大小吗？不一定不一定思考题思考题思考题答案思考题答案目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组 卡尔丹称它们为卡尔丹称它们为“虚构的量虚构的量”或或“诡辩的量诡辩的量”。他还把它。他还把它们与们与负数统称为负数统称为“虚伪数虚伪数”；把正数称为；把正数称为“证实数证实数”。附：附：历史知识历史知识 虚数史话虚数史话两数的和是两数的和是 10 , 积是积是 40 , 求这两数求这两数卡尔丹发现只要把卡尔丹发现只要把 10 分

15、成分成 和和 即可。即可。155 155 1545 年，卡尔丹第一个认真地讨论了虚数，他在年，卡尔丹第一个认真地讨论了虚数，他在大术大术中求解这样的问题：中求解这样的问题： 卡尔丹的这种处理，遭到了当时的代数学权威韦达和他的卡尔丹的这种处理，遭到了当时的代数学权威韦达和他的学生哈里奥特的责难。学生哈里奥特的责难。目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组附：附：历史知识历史知识 虚数史话虚数史话 整个十七世纪，很少有人理睬这种整个十七世纪，很少有人理睬这种 “虚构的量虚构的量” 。仅有极少数的数学家对其存在性问题争论不休。仅有极少数的数学家对其存在性问题争

16、论不休。意义下的意义下的“复数复数”的名称。的名称。 1632 年，笛卡尔在年，笛卡尔在几何学几何学中首先把这种中首先把这种“虚构的量虚构的量”改称为改称为“虚数虚数”，与，与“实数实数”相对应。同时，还给出了如相对应。同时，还给出了如今今目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组附：附：历史知识历史知识 虚数史话虚数史话 到了十八世纪，虚数才开始被关注起来。到了十八世纪，虚数才开始被关注起来。,sin1cos)sin1(cosnnn 1722 年，法国数学家德摩佛给出德摩佛定理：年，法国数学家德摩佛给出德摩佛定理： 其中其中 n 是大于零的整数。是大于零

17、的整数。,sin1cos1exxx 1748 年，欧拉给出了著名的公式：年，欧拉给出了著名的公式：并证明了德摩佛定理对并证明了德摩佛定理对 n 是实数时也成立。是实数时也成立。.1 1777 年，欧拉在递交给彼德堡科学院的论文年，欧拉在递交给彼德堡科学院的论文微分公式微分公式中首次使用中首次使用 i 来表示来表示目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组附：附：历史知识历史知识 虚数史话虚数史话 十八世纪末，高斯的出现使得复数的地位被确立下来。十八世纪末，高斯的出现使得复数的地位被确立下来。 1797 年，当时年仅年，当时年仅 20 岁的高斯在他的博士论文

18、中证明了岁的高斯在他的博士论文中证明了代数基本定理。代数基本定理。 高斯在证明中巧妙地给出了复数的几何表示，使得人们高斯在证明中巧妙地给出了复数的几何表示，使得人们直观地理解了复数的真实意义。直观地理解了复数的真实意义。 十九世纪中叶以后，复变函数论开始形成，并逐渐发展十九世纪中叶以后，复变函数论开始形成，并逐渐发展成为一个庞大的数学分支。成为一个庞大的数学分支。而且而且 n 次多项式恰好有次多项式恰好有 n 个根。个根。任何多项式在复数域里必有根，任何多项式在复数域里必有根，即即目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 盐城工学院基础部应用数学课程组附：附：人物介绍人物介绍 高斯高斯 许多数学学科的开创者和奠基人。许多数学学科的开创者和奠基人。 几乎对数学的所有领域都做出了重大贡献。几乎对数学的所有领域都做出了重大贡献。 享有数学王子的美誉。享有数学王子的美誉。德国数学家、 (17771855)高 斯Johann Carl Friedrich Gauss物理学家、 天文学家目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结