模具CAD与CAM第四章 图形变换2

1、 4.3.3 二维图形的几何变换 二维图形的基本几何变换主要包括： 平移变换平移变换 比例变换比例变换 对称变换对称变换 旋转变换旋转变换 参考书： 计算机辅助设计基础及应用清华大学出版社 崔洪斌 CAD/CAM原理与应用 机械工业出版社 蔡颖 4.3.3 二维图形的几何变换 图形由图形的顶点坐标、顶点之间的拓扑关系以及组成图形的面和线的表达模型所决定的，图形的几何变换是点的几何变换点的几何变换。 图形几何变换的基本原理是用矩阵矩阵描述一个图形，用变换矩阵表示平移、旋转、缩小和放大等功能，而通过这两种矩阵的运算，即可改变图形的位置、方向或大小。因此图形变换的主要工作就是求解求解变换矩阵变换矩阵

2、T。图形变换的基本原理图形变换的基本原理 4.3.3 二维图形的几何变换n图形是点的集合图形是点的集合在二维平面中，任何一个图形都可以认为是点之间的连线构成的。对于一个图形作几何变换，实际上就是对一系列点进行变换。n点的表示点的表示 在二维平面内，一个点通常用它的两个坐标（x,y）来表示，写成矩阵形式则为： x y (行向量) 或 ( 列向量)yx 4.3.3 二维图形的几何变换n变换矩阵变换矩阵若A、B、T都是矩阵，且AT=B，则T被称为变换矩阵。变换矩阵为点的变换提供了工具。 设变换矩阵： dcbaT 4.3.3 二维图形的几何变换n点的变换点的变换 将两维空间中任意点的坐标x y与变换矩

3、阵T相乘，变换后点的坐标记作x y。则： 即： 新点的位置取决于变量a、b、c、d的值。 dybxcyaxdcbayxyx*dybxycyaxx 4.3.3 二维图形的几何变换 比例变换比例变换 比例变换是指原有图形在x、y两个方向上进行放大或缩小的变换。如图4-4所示，在对应的变换矩阵中，b=c=0，所以，比例变换矩阵为： (a 0,d 0) （4-1） 一个点的比例变换为： x y=x y = ax dy （4-2） daTs00da00 4.3.3 二维图形的几何变换 其中，a、d分别为沿x、y方向上的比例因子，且a、d 0。 如果 a = d = 1，变换为恒等变换，即变换后点的坐标不

4、变。 如果 a = d 1，变换为等比例变换，其中： 若 a = d 1，变换为等比例放大； 若 a = d 1，变换为等比例缩小。 如果 a d，变换后的图形会产生 畸变。 图4-4 图形的比例变换 4.3.3 二维图形的几何变换 对称变换对称变换 对称变换又称为镜像变换。基本对称变换主要包括对x轴、对y轴、对坐标原点的对称变换等。 图4-5 图形的对称变换 4.3.3 二维图形的几何变换n关于关于x轴的对称变换轴的对称变换 当相对于x轴的对称变换时，因为有： x = x，y = -y， 所以，变换矩阵为： （4-3） 点关于x轴的对称变换为： 1001,xmT yxyxyx1001*（4-

5、4） 4.3.3 二维图形的几何变换n关于关于y轴的对称变换轴的对称变换 当相对于y轴的对称变换时，因为有： x = -x，y = y，所以，变换矩阵为： 点关于y轴的对称变换为： yxyxyx1001*1001,ymT（4-5）（4-6） 4.3.3 二维图形的几何变换n关于坐标原点的对称变换关于坐标原点的对称变换 当相对于坐标原点的对称变换时，因为有： x = -x，y = -y，所以，变换矩阵为： 点关于坐标原点的对称变换为： yxyxyx1001*1001,ymT（4-8）（4-7） 4.3.3 二维图形的几何变换 旋转变换（绕坐标原点）旋转变换（绕坐标原点） 如图4-6所示，点P(x

6、, y)绕坐标原点O逆时针方向旋转角到新位置P(x, y)，旋转变换的数学表达式为： 因此，二维图形绕坐标原点O旋转角的变换矩阵为: cossinsincosyxyyxxcossinsincosrT（4-9） 4.3.3 二维图形的几何变换 即： x y = x y = （4-10） cossinsincoscossinsincosyxyx 图4-6 图形的旋转变换 规定：规定：逆时针方向旋转为正；顺时针方向旋转为负。 4.3.3 二维图形的几何变换 平移变换平移变换 平移变换是将图形中的每一个点进行移动。如图4-7所示，点P(x, y)沿x和y坐标方向增加平移量m和n，平移到一个新位置P(x

7、, y)，平移变换的数学表达式为: （4-11） 其变换矩阵为: nyymxx tTyxnmyxyx（4-12） 4.3.3 二维图形的几何变换 平移变换平移变换 图4-7 图形的平移变换 4.3.3 二维图形的几何变换 齐次坐标矩阵变换齐次坐标矩阵变换 齐次坐标是指用一个n+1维向量表示一个n维向量。 一个二维空间点x y 可用齐次坐标x y 1 表示。 同样一个三维空间点x y z可用齐次坐标x y z 1 来表示。 这样，点的平移变换可用矩阵表示为： 11010001*11nymxnmyxyx（4-13） 4.3.3 二维图形的几何变换 其中，平移变换矩阵为： 这样，可用一个统一的33阶

8、齐次矩阵来表示上述的各种二维图形变换，即： 1010001nmTtsnmqdcpbaT比例、对称、旋转比例、对称、旋转平移平移全比例因子，全比例因子，s=1投影，一般投影，一般 p=0 q=0（4-14） 4.3.3 二维图形的几何变换 用齐次坐标表示的二维图形几何变换的变换矩阵为： 比例变换的齐次变换矩阵为： 对称变换的齐次变换矩阵为： 1000000daTs100010001,xmT100010001,ymT100010001,omT 4.3.3 二维图形的几何变换 平移变换的齐次变换矩阵为： 旋转变换的齐次变换矩阵为： 1010001nmTt1000cossin0sincosrT 4.3

9、.3 二维图形的几何变换 二维图形的组合变换二维图形的组合变换 组合变换通常一个实际的图形变换可能要分解为上述几个基本变换的乘积，相应的变换矩阵叫做组合变换矩阵。 如图4-8所示，图形绕任意点C（Xc,Yc）逆时针旋转角，可以通过三个简单变换来实现，即平移旋转平移。 4.3.3 二维图形的几何变换 1) 将旋转中心平移到坐标原点； 2) 绕坐标原点旋转角； 3) 将旋转中心平移回原位置。 图4-8 图形的组合变换 4.3.3 二维图形的几何变换 其变换矩阵为：其变换矩阵为： T = T1T2T3 = = 注意：由于矩阵乘法不存在交换率，故矩阵相乘时的顺序不能颠倒顺序不能颠倒。 10100011

10、000cossin0sincos1010001YcXcYcXc1sin)cos1 (sin)cos1 (0cossin0sincosXcYcYcXc（4-15） 4.3.4 三维图形的几何变换 三维空间的点如(x,y,z)，可用四维齐次坐标表示为x y z 1，三维变换矩阵为： (4-16) snmlrjihqfedpcbaT实现比例、对称、旋转等变换实现平移变换实现投影变换，通常p,q,r为0全比例因子,通常取 s=1 4.3.4 三维图形的几何变换 三维平移变换三维平移变换 空间物体产生平移变换时，其位置发生变化，但形状、大小均不改变。三维平移变换的变换矩阵为： 其中l、m、n分别为X、Y

11、、Z轴上的平移量。点的变换为： 1010000100001nmlTt 1*11nzmylxTzyxzyxt（4-17）（4-18） 4.3.4 三维图形的几何变换 三维比例变换三维比例变换 变换矩阵中的元素a、e、j为沿x、y、z三轴方向上的比例因子。 变换矩阵为： 点的变换为： 1000000000000jeaTs 1*11jzeyaxTzyxzyxs（4-19）（4-20） 4.3.4 三维图形的几何变换 三维对称变换三维对称变换 n关于关于xoy平面的对称变换平面的对称变换 当相对于xoy平面进行对称变换时，其变换矩阵为： 点的变换为： 1000010000100001,xoymT 1*

12、11,zyxTzyxzyxxoym（4-21）（4-22） 4.3.4 三维图形的几何变换 三维对称变换三维对称变换 n关于关于xozxoz平面的对称变换平面的对称变换 当相对于xoz平面进行对称变换时，其变换矩阵为： 点的变换为： 1*11,zyxTzyxzyxxozm1000010000100001,xozmT（4-23）（4-24） 4.3.4 三维图形的几何变换 三维对称变换三维对称变换 n关于关于yozyoz平面的对称变换平面的对称变换 当相对于yoz平面进行对称变换时，其变换矩阵为： 点的变换为： 1000010000100001,yozmT 1*11,zyxTzyxzyxyozm（4-25）（4-26） 4.3.4 三维图形的几何变换 三维旋转变换三维旋转变换 三维旋转变换是指平面图形分别绕X、Y、Z轴旋转的变换，按绕不同轴线旋转分别处理。通常规定，旋转角逆时针转动为正，顺时针转动为负。 绕X轴旋转角的变换矩阵为： 10000cossin00sincos00001,xrT（4-27） 4.3.4 三维图形的几何变换 绕Y轴旋转角的变换矩阵为： 绕Z轴旋转角的变换矩阵为：10000co