太原理工大学画法几何2.5投影变换

1、2.5 投影变换 2.5.1 投影变换的目的和方法投影变换的目的和方法 2.5.2 换面法换面法 2.5.3 换面法应用举例换面法应用举例2.5.1 投影变换的目的和方法a abb a abb 实长实长特殊位置线特殊位置线 反映线段实长和倾角反映线段实长和倾角一般位置线一般位置线 不反映线段实长和倾角不反映线段实长和倾角 ba ab c ca abb c c实形实形投影面平行面投影面平行面 反映平面实形和倾角反映平面实形和倾角一般位置面一般位置面 不反映平面实形和倾角不反映平面实形和倾角投影面平行线投影面平行线 直接反映直角直接反映直角一般位置线一般位置线 不能直接反映直角不能直接反映直角bb

2、 a c acba ab c ckk a abb c c特殊位置相交特殊位置相交 交点可以直接求出交点可以直接求出一般位置相交一般位置相交 交点不能直接求出交点不能直接求出ka abb c ck u 一般位置问题一般位置问题 不反映实长、实形、倾角，无积聚性，不反映实长、实形、倾角，无积聚性，垂直时不反映直角。解题较为烦琐。垂直时不反映直角。解题较为烦琐。u 特殊位置问题特殊位置问题 反映实长、实形、倾角，有积聚性，垂反映实长、实形、倾角，有积聚性，垂直时反映直角。解题较为方便。直时反映直角。解题较为方便。 投影变换投影变换 改变空间几何元素与投影面改变空间几何元素与投影面的相对位置，的相对位

3、置，把一般位置的问题转化为特殊位置把一般位置的问题转化为特殊位置的问题的问题来解决。来解决。常用投影变换方法常用投影变换方法：u 换面法换面法u 旋转法旋转法几何元素不动，变换投影面投影面不动，旋转几何元素2.5.2 换面法基本原理与方法几何元素不动，变换投影面几何元素不动，变换投影面 换面法p 如何设立新投影面？如何设立新投影面？p 如何求新投影？如何求新投影？要解决两个问要解决两个问题题p 如何设立新投影面如何设立新投影面新投影面的设立原则新投影面的设立原则： 一次只能变换一个投影面一次只能变换一个投影面 必须和原有投影面之一垂直必须和原有投影面之一垂直 必须和空间几何元素处于有利必须和空

4、间几何元素处于有利于解题的位置（平行或垂直）于解题的位置（平行或垂直）旧投影面旧投影面 旧投影旧投影不变投影面不变投影面 不变投影不变投影新投影面新投影面 新投影新投影 a1 , b1 ; a1 , b1 旧投影轴 XX投影命名及标注投影命名及标注旧投影面旧投影面新投影面新投影面不变投影面不变投影面X1新投影轴 X1ax点的一次变换点的一次变换p 如何求新投影如何求新投影 点的投影变换规律点的投影变换规律AHa VXaa1 V1X1ax1axHa VXaa1 X1ax1V1 a1 a X1 a1 ax1 = a ax旧投影面旧投影面新投影面新投影面不变投影面不变投影面ax点的一次变换点的一次变

5、换p 如何求新投影如何求新投影 点的投影变换规律点的投影变换规律AHa VXaa1 V1X1ax1axHa VXaa1 X1ax1V1旧投影面旧投影面新投影面新投影面不变投影面不变投影面 新投影到不变投影连线垂直于新投影轴；新投影到不变投影连线垂直于新投影轴； 新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距离。新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距离。XVHa axaa1 ax1HV1X1AHa VXaa1 V1X1ax1ax投影图作法投影图作法不变旧新a aa1ax1a1a X1XVHVH1VHAaaxX1X换换H H面时的作法面时的作法H1 a1a X1 a1ax1 = aax不变

6、旧新旧投影面旧投影面新投影面新投影面不变投影面不变投影面一次变换基本作图b1 a1 将一般位置线变为将一般位置线变为投影面平行线投影面平行线a b abX1XAB一般位置线一般位置线换换V面面“正平线正平线 ”（实长实长，）一般位置线一般位置线换换H面面“水平线水平线 ”（实长实长，）XVX1aa Hbb ABa1(b1)a b aba1(b1)XX1将投影面平行线变为将投影面平行线变为投影面投影面垂直垂直线线H1水平线水平线“正垂线正垂线”换换V面面正平线正平线“铅垂线铅垂线”换换H面面a ab d bdcc XX1a1 (d1 )b1 c1 将一般位置面变为将一般位置面变为投影面投影面垂直

7、面垂直面 一般位置面一般位置面取水平线取水平线“正垂面正垂面”（）换换V面面一般位置面一般位置面“铅垂面铅垂面”（）取正平线取正平线换换H面面b1 a1 XX1a ab bcc c1 实实 形形将将投影面投影面垂直面垂直面变为投影面平行面变为投影面平行面正垂面正垂面“水平面水平面”（实形实形）换换H面面铅垂面铅垂面“正平面正平面”（实形实形）换换V面面ab bkb1 m1 a1 k mk1 例例 过点过点K K作直线与直线作直线与直线ABAB垂直相交。垂直相交。a m c1例例 完成矩形完成矩形ABCDABCD的投影。的投影。a ab bcb1a1d d1c dk k例例 求直线和平面的交点。

8、求直线和平面的交点。a ab bed e f fdd1 e1 k1 f1 b1 a1 l1d 例例 求点求点K K到平面到平面ABCABC的距离。的距离。kl lda ab bcc k a1d1b1c1k1LLk d 例例 已知点已知点K K到平面到平面ABCABC的距离为的距离为L L，求，求K K点的正面投影。点的正面投影。a ab bcc l lka1d1l1b1c1dLk1L二次变换基本作图二次变换基本作图H2VHV1HV1H2VHVH1V2H1p 点的二次变换点的二次变换AHa Vaa1 X1ax1ax旧投影面旧投影面新投影面新投影面不变投影面不变投影面XX2a2V1ax2不变投影面

9、不变投影面新投影面新投影面旧投影面旧投影面2112XVHX1HV1V1H2X2a aa1 a2旧旧p 点的二次变换点的二次变换XH2AHa Vaa1 X1ax1axX2a2V1ax2不变不变新新旧旧不变不变新新旧投影面旧投影面新投影面新投影面不变投影面不变投影面不变投影面不变投影面新投影面新投影面旧投影面旧投影面a1 a2 b2A把一般位置线变为投影面垂直线把一般位置线变为投影面垂直线H2Ha VaX1XX2V1Bbb1 b 一般位置线一般位置线“正平线正平线”（实长，实长，）换换V面面换换H面面“铅垂线铅垂线”XVHHV1V1H2X2X1a aa1 a2(b2)b bb1 a1 a2 b2A

10、H2Ha VaX1XX2V1Bbb1 b 一般位置线一般位置线“正平线正平线”（实长，实长，）换换V面面换换H面面“铅垂线铅垂线”一般位置线一般位置线“水平线水平线”（实长，实长，）换换H面面换换V面面“正垂线正垂线”Xa a1 a2b bb1 c1 c2b2c c实实 形形a把一般位置面变为投影面平行面把一般位置面变为投影面平行面一般位置面一般位置面“正垂面正垂面”（）取水平线取水平线换换V面面“水平面水平面”（实形实形）换换H面面X1X2 把一般位置面变为投影面平行面把一般位置面变为投影面平行面一般位置面一般位置面“正垂面正垂面”（）取水平线取水平线换换V面面“水平面水平面”（实形实形）换

11、换H面面一般位置面一般位置面“铅垂面铅垂面”（）取正平线取正平线换换H面面“正平面正平面”（实形实形）换换V面面2.5.3 换面法应用举例k1 例例 求点求点K K到直线到直线ABAB的距离。的距离。a1 b1 l1 k2ll a2(b2)l2a b bk akLm2a2(b2)c2(d2)n2例例 求平行二直线求平行二直线ABAB、CDCD之间的距离。之间的距离。a b bb1 c1 c cad da1 d1 m1 n1 nmm n Lc 例例 已知平行二直线已知平行二直线ABAB、CDCD之间的距离为之间的距离为1515，完成，完成CDCD的水平投影。的水平投影。a b bcad da1c 2(d 2)b1c1d1a 2(b 2)R1530c 1 例：等腰三角形例：等腰三角形ABCABC，底边，底边ABAB，平面的，平面的角为角为3030，高，高的实长为的实长为L L，补全其投影，补全其投影 。有几解？。有几解？c a b bcad da 1(b 1)Lb 1e 1f 1例例 求交叉二直线求交叉二直线ABAB、CDCD的公垂线。的公垂线。e2f2EFd2Ca2(b2)DABc2H2c2c a b bcad dc 1d 1a 1efe