球面感应电荷分布知识分享

1、球面感应电荷分布 电象法概念、适用情况电象法概念、适用情况电象法：电象法：用假想点电荷来等效地用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。加给出空间电势分布。适用情况：适用情况： 所求区域有少许几个点电荷，所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替。用假想点电荷代替。b)b)导体边界面形状比较规则，具导体边界面形状比较规则，具有一定对称性。有一定对称性。 c) c) 给定边界条件给定边界条件注意注意：a a）做替代时，所研究空间的泊

2、松方程不能被改变（即自由）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由 点电荷位置、点电荷位置、Q Q 大小不能变）。所以假想电荷必须放在大小不能变）。所以假想电荷必须放在 所求区域之外。所求区域之外。b b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假 想电荷的大小和位置）。想电荷的大小和位置）。c c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。d d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。）坐标系选择仍然根据边界形状来定。机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、应用举例 接地无限

3、大平面导体板附近接地无限大平面导体板附近有一点电荷，求空间电势。有一点电荷，求空间电势。QQ/Pzrra0解：根据唯一性定理左半空间解：根据唯一性定理左半空间右半空间，右半空间，Q Q在（在（0 0，0 0，a a）点，）点，电势满足泊松方程。电势满足泊松方程。边界上边界上00z从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间半空间 z z 轴上。轴上。Q设电量为设电量为a，位置为（位置为（0 0，0 0，） )()(412222220azyxQazyxQ机动 目录 上页 下页 返回 结束 22222200ayxQayxQz由边界条件确定由

4、边界条件确定Qa和和、唯一解是唯一解是 因为象电荷在左半空因为象电荷在左半空间，所以舍去正号解间，所以舍去正号解aaQQ,)(1)(142222220azyxazyxQ讨论：讨论：（a a）导体面上感应电荷分布）导体面上感应电荷分布2/322200)(2ayxQazz机动 目录 上页 下页 返回 结束 02/322)(22QQarrdrQadSQ（b b）电荷）电荷Q Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半空它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半空间完全相同。间完全相同。 （c） 与与 位置对于导体板

5、镜象对称，故这种方法称位置对于导体板镜象对称，故这种方法称 为镜象法（又称电象法）为镜象法（又称电象法）QQ（d d）导体对电荷）导体对电荷Q Q 的作用力相当两点电荷间的作用力的作用力相当两点电荷间的作用力zzzeaQeaQerQF202020216)2(144机动 目录 上页 下页 返回 结束 解：（解：（1 1）分析：）分析：因导体球接地故球的电因导体球接地故球的电势为零。根据镜象法原势为零。根据镜象法原则假想电荷应在球内。则假想电荷应在球内。因空间只有两个点电荷，因空间只有两个点电荷，场应具有轴对称，故假场应具有轴对称，故假想电荷应在线上，即极想电荷应在线上，即极轴上。轴上。 真空中有

6、一半径真空中有一半径R R0 0的接地导体球，距球心的接地导体球，距球心 a Ra R0 0 处有一点电荷处有一点电荷 Q Q，求空间各点电势。，求空间各点电势。410rQrQ机动 目录 上页 下页 返回 结束 r r球坐标系球坐标系PROZ ZQQcos222RaaRrcos222RbbRr0000222200RRRRRRRrQrQrQrQ（2 2）由边界条件确定）由边界条件确定Qr和和bQO设设 222200()2cosQRbQ R b222200()2cosQRaQ R a因因 任意的任意的aQbQ22)()(22022202aRQbRQ解得解得 aQRQaRb020 QQabaQRQa

7、Rb020机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(0)(/cos2/cos214002024020220RRRRaRRaRRaRRaaRQ ，因此因此Q Q发出的电力线一部分会聚到导体发出的电力线一部分会聚到导体球面上，剩余传到无穷远。球面上，剩余传到无穷远。 球面感应电荷分布球面感应电荷分布 QQ （3 3）讨论）讨论： 2/3020202020)cos2(40aRRaRRaQRRRaQRdSQRR00导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为电荷导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为电荷 移到地中去了。移到地中去了。aQRQQ0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 cos2)/(12020

8、RaRRRa（3 3）若导体不接地，可视为）若导体不接地，可视为 分布在导体面上。不接分布在导体面上。不接地导体亦为等势体，加上地导体亦为等势体，加上 还要使导体为等势体，还要使导体为等势体， 必必须均匀分布在球面上。这时导体球上总电量须均匀分布在球面上。这时导体球上总电量（因为均匀分布球面上可使导体产生的电势等效于在球（因为均匀分布球面上可使导体产生的电势等效于在球心的点电荷产生的电势）。心的点电荷产生的电势）。Q 0 QQQ Q RQ014 （4 4）若导体球不接地，且带上自由电荷）若导体球不接地，且带上自由电荷 ，导体上总电，导体上总电荷为荷为 ，此时要保持导体为等势体，此时要保持导体为

9、等势体， 也应均匀分布在也应均匀分布在球面上。球面上。 0Q0Q0QRQRQ000244 等效电荷一般是一个点电荷组或等效电荷一般是一个点电荷组或一个带电体系，而不一定就是一一个带电体系，而不一定就是一个点电荷。个点电荷。机动 目录 上页 下页 返回 结束 （5 5）导体球不接地而带自由电荷）导体球不接地而带自由电荷 时时 所受到的所受到的作用力可以看作作用力可以看作 与与 及位于球心处的等效电荷及位于球心处的等效电荷 的作用力之和。的作用力之和。0QQQQ 0Q)()2(414)()(42202320230220020020RaaRaRQaQQaQQQbaQQF 机动 目录 上页 下页 返回

10、 结束 3 3有一点电荷有一点电荷 位于两个互相垂直的半无限大接位于两个互相垂直的半无限大接地导体板所围成的直角空间内，它到两个平面的地导体板所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为距离为 a a 和和 b b，求空间的电势。，求空间的电势。Q 假想电荷应在假想电荷应在第第I I象限之外。象限之外。 要保证互相垂要保证互相垂直的两个接地导体直的两个接地导体板的电势同时为零，板的电势同时为零，应当放几个电荷？应当放几个电荷？解：（解：（1 1）分析：）分析：Q（-a, -b, 0）-Q（a, -b, 0）xyOQ（a, b, 0）-Q （-a, b, 0）机动 目录 上页 下页 返回 结束 S2S1Q0（2 2）电势分布）电势分布2222220222222114()()()()0110()()()()Qx ay bzx ay bzxyx ay bzx ay