132二项式定理一实用教案

1、1.填空(tinkng)(a+b)1= ,(a+b)2= ,(a+b)3= ,(a+b)4= .2. 2.列出上述列出上述(shngsh)(shngsh)各展开各展开式的系数式的系数: : 3. 3.这些这些(zhxi)(zhxi)系数中每一个可看作由它肩上的两个数字系数中每一个可看作由它肩上的两个数字 得到得到. .你能写出第五行的数字吗？你能写出第五行的数字吗？(a+b)5= .(a+b)5= .a+ba2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+

2、5ab4+b5和和 课前引例研究(a+b)n的展开式.第1页/共16页第一页，共17页。(a+b)2 (a+b) (a+b) =aa+ab+ba +bb = a2+2ab+b2 展开(zhn ki)后其项的形式为：a2，ab ，b2这三项的系数(xsh)为各项在展开式中出现的次数。考虑b恰有1 1个取b b的情况(qngkung)(qngkung)有C21C21种，则abab前的系数为C21C21恰有2 2个取b b的情况有C22 种，则b b2 2前的系数为C22每个都不取b b的情况有1 1种，即C20 , ,则a2 2前的系数为C20(a+b)2 = a2 +2ab+b2 C20 a2

3、+ C21 ab+ C22 b2新知探究对对( (a+b)+b)2 2展开式的分析展开式的分析第2页/共16页第二页，共17页。(a+b)3 (a+b) (a+b) (a+b) =a3 + 3a2b+3ab2 + b3新知探究(tnji)对(a+b)3展开式的分析同理：(1) 不取b得： C30 a3(2)取1 1个b得： C31 a2b (3)取2 2个b得： C32ab2 (4)取3 3个b得： C33b3(a+b)3= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3第3页/共16页第三页，共17页。每个都不取b b的情况(qngkung)(qngkung)有1 1种，即C40

4、,C40 ,则a4a4前的系数为C40C40恰有1 1个取b b的情况(qngkung)(qngkung)有C41C41种，则a3ba3b前的系数为C41C41恰有2 2个取b b的情况(qngkung)(qngkung)有C42 C42 种，则a2b2a2b2前的系数为C42C42恰有3 3个取b b的情况有C C4 43 3 种，则ab b3 3前的系数为C C4 43 3恰有4 4个取b b的情况有C C4 44 4种，则b b4 4前的系数为C C4 44 4则 (a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b4新知探究对对( (a+b)+b)4

5、 4展开式的分析展开式的分析(a+b)4 (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)？第4页/共16页第四页，共17页。归纳(gun)推广(a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2(a+b)3= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3(a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b4归纳(gun)(a+b)n 的展开式(a+b)n Cn0 an Cn1 an-1b Cn2 an-2b2 Cnr an-rbr Cnnbn (nN*)第5页/共16页第五页，共17页。)()(2221110NnbCbaCbaCbaC

6、aCbannnrrnrnnnnnnnn一般(ybn)地,对于任意正整数n,有:二项式定理二项式定理(dngl)公式右边的多项式叫做 的二项展开式nba)( 2、通项公式(gngsh),用 Tr+1 表示,它是第r+1项. 即:rrnrnrbaCT1第6页/共16页第六页，共17页。(1)(1)共有(n (n yu)n+1yu)n+1项(3)(3)字母a a按降幂排列，次数由n n递减到0 0 字母b b按升幂(shn m)(shn m)排列，次数由0 0增加到n n初识二项式定理(dngl)二项展开式的特点：(2)(2)各项的次数都等于二项式的次数n n(a+b)n Cn0 an Cn1 an

7、-1b Cn2 an-2b2 Cnr an-rbr Cnnbn (nN*)(4)(4)二项式系数为Cn0，Cn1，Cn2 ， Cnk , , , Cnn是一组与二项式次数n n有关的组合数，与a,b,b无关第7页/共16页第七页，共17页。1.1.展开展开4)1(xx 42241464xxxx2.2.展开展开5)12(xx xxxxxxxxxx2211040808032问：第四项二项式系数(xsh)是多少？第四项的系数(xsh)是多少？即时(jsh)练习（1）4 4（2）10 -40第8页/共16页第八页，共17页。93()3xx例题(lt)：展开式中间(zhngjin)(zhngjin)项展

8、开式中的常数(chngsh)(chngsh)项展开式中的有理项3992921993( )()33rrrrrrrxTCCxx第9页/共16页第九页，共17页。解:的展开式共有(n yu)项，.4. 512项的展开式中的倒数第求ax19T93220ax12)(ax所以(suy)倒数第四项是它的第项13即：10912C912x9a93312axC第10页/共16页第十页，共17页。【题组四题组四】1.1.化简化简 。1) 1(4) 1(6) 1(4) 1(234xxxx2.2.化简化简 . . 1) 1(4) 1(6) 1(4) 1(234xxxxx4 x4 第11页/共16页第十一页，共17页。即

9、时(jsh)练习（二）.1) 1() 1() 1() 1( :. 2,) 1( . 2. 176752761778102100aaCaCaCaTxyx化简第八项的二项式系数为的展开式中项的展开式共有）二项式（10177102710)1(xC6120 x6310 xC710C0 1) 1(1) 1() 1() 1() 1(777675276177aaaaCaCaCa第12页/共16页第十二页，共17页。nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110)(1.1.二项式定理：二项式定理： (nN(nN* *) )。特点：特点：二项展开式公有二项展开式公有n+1n+1项；项； 二项展开式按二

10、项展开式按a 的降幂和的降幂和b 的升幂排列，且各的升幂排列，且各项中项中a和和b的指数和都等于的指数和都等于n n； 二项展开式各项的系数依次为二项展开式各项的系数依次为 nnnnnnCCCCC、32102.2.二项展开式的通项：二项展开式的通项：rrnrnrbaCT13.3.二项式系数二项式系数(xsh)(xsh)：是指二项展开式中各项的组合数，即：是指二项展开式中各项的组合数，即：nnnnnnCCCCC、3210二项展开式系数二项展开式系数(xsh)(xsh)：是指二项展开式中各项的系：是指二项展开式中各项的系数数(xsh) (xsh) 第13页/共16页第十三页，共17页。再见(zij

11、in)第14页/共16页第十四页，共17页。(a+b)3 (a+b) (a+b) (a+b) =a3 + 3a2b+3ab2 + b3新知(xn zh)探究对(a+b)3展开式的分析(1)3个括号(kuho)中全都取a得： C33 a3(2)2个括号(kuho)中有2个取a，剩下的1个取b得:C32a2C11b(4)3 3个括号中全都取b得：C33b3(3)3 3个括号中有1 1个取a，剩下的2 2个取b得: :C31aC22b2同理：(1) 不取b得： C30 a3(2)取1 1个b得： C31 a2b (3)取2 2个b得： C32ab2 (4)取3 3个b得： C33b3(a+b)3= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3第15页/共16页第十五页，共17页。谢谢(xi xie)大家观赏！第16页/共16页第十六页，共17页。NoImage内容(nirng)总结1.填空。展开后其项的形式为：a2，ab ，b2