数学物理方法第6章

1、第六章第六章 拉普拉氏变换拉普拉氏变换6.2 6.2 拉普拉氏变换拉普拉氏变换6.3 6.3 拉普拉氏变换反演拉普拉氏变换反演6.1 6.1 符号法符号法（一）、（一）、拉普拉氏变换的定义拉普拉氏变换的定义6.2 6.2 拉普拉氏变换拉普拉氏变换dteetfGetftitt)(21)()(ip对于任意函数对于任意函数 f(t)，设，设 t0, f(t) 0, 只要只要 足够大，足够大，g(t)=f(t)e - t 的付氏变换为的付氏变换为0)()(21dtetfti令令记记2)()(pfG2)()(21)(0)(pfdtetfGtipi0)()(dtetfpftp称为称为 f(t) 的的拉普拉

2、普拉氏变换函数拉氏变换函数（像函数）（像函数）G( ) 的逆变换的逆变换deGetftit)()(depfti2)(idpd/iitpdpepfitf)(21)(称称 f(t) 为原为原函数函数)()(pftf)()(tfLpf像函数像函数例：求例：求 L1原原函数函数f(t) )()(1pfLtf)( pf01 1 dteLtpp1pL1 1 )0(Rep解：解：例：求例：求 Lt, Ltn 0dtettLtpnn1!npn0dtettLtp0)(1tpedtp0011dtepetptptp21ptL)0(Rep)0(Rep解：解：21p1!nnpntL例：求例：求 Lest , s为常数为

3、常数0dteetetLtpstnstn1)(!nstnspnetL0dteeeLtpstst0)(1tspespspeLst1)Re(Resp )Re(Resp 解：解：sp11)(!nspn例：求例：求 Ltf(t) , f(t)为任意函数为任意函数dppf dttfL)()(0)()(dtetfpftp解：解：0)()(dtetftdppf dtpnnnndppfdtftL)() 1()(（二）、（二）、拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质（1）、线性定理）、线性定理证明：证明：)()(tfLpf)()(11tfLpf如：如：)()(22tfLpf则则)()()()(22112211pfc

4、pfctfctfcL)()(2211tfctfcL02211)()(dtetfctfctp022011)()(dtetfcdtetfctptp)()(2211pfcpfc（2）、导数定理）、导数定理)0()()( fpfptfL证明：证明：0)( dtetftp)( tfL0)(tdfetp)()()(00tptpedtftfedtetfpftp0)()0()0()(fpfp)0()0()0( )0()()()1()2(21)(nnnnnnfpffpfppfptfL)0()()( fpfptfL（3）、积分定理）、积分定理)(1)(0ppdLt证明：证明：令令dtft0)()()()( ttf

5、)0()()( fpfptfL0)0(f)( 1)(tfLppf)(1)(0ppdLt（4）、相似定理）、相似定理)(1)(apfaatfL证明：证明：)(atfL0)(dteatftp0)()(1atdeatfaatap)(1apfa0)()(1defaap（5）、延迟定理）、延迟定理)()(00pfettfLpt证明：证明：00)(dtettfpt0)(0)(deftp0)(0defeppt)(0ttfL)(0pfept（6）、位移定理）、位移定理)()(pftfeLt证明：证明：0)(dtetfeptt0)()(dtetftp)(tfeLt)(pf（7）、卷积定理）、卷积定理证明：证明：

6、dtedtffptt 0021)()()()(11pftfL若若)()()(*)(2121pfpftftfLtdtfftftf02121)()()(*)(其中其中称为称为 f1(t)与与 f2(t) 的卷积的卷积)()(22pftfL)(*)(21tftfLdefdttfpt )()(102tt=令令ddeffp)()()(0012)()(0012defdefpp)(*)(21tftfL t)()(21pfpfdefdttfpt )()(102例：求例：求 Lsin t , Lcos t)(21sintitieeitspeLst1解：解：)(21costitieetsintL1121ipipi

7、22p)0(RepcostL1121ipip22pp)0(Rep6.3 6.3 拉普拉氏变换反演拉普拉氏变换反演例：求例：求解：解：52)(2ppppf的的 Laplace 逆变换逆变换52)(2ppppf4) 1(112pp4) 1(14) 1(122ppp由位移定理由位移定理)()(pftfeLt)(1pfLtet2cos4) 1(22121pLtet2costet2sin21例：求例：求解：解：apebpppf)(1)(的的 Laplace 逆变换逆变换和位移定理和位移定理)()(pftfeLt)(1pfL)(1atHb)(1)(atHebatbapebpppf)(1)(apebppb1

8、11由延迟定理由延迟定理)()(00pfettfLpt)(11tHpL例：求例：求解：解：222)1()(pppf的的 Laplace 逆变换逆变换)()(211pfpfL222) 1()(pppf1122ppppcoscostLtL由卷积定理由卷积定理)()()(*)(2121pfpftftfL)(*)(21tftftdt0)cos(cos)sincos(21ttt例：求例：求解：解：4)()(cpppf的的 Laplace 逆变换逆变换4)()(cpppf)()()()(234cpEcpDcpBcpA4)(cpp32)()()(cpEcpDcpBApcpcA求导求导2)(3)(21cpEc

9、pDBcp1B求导求导2)(3)(21cpEcpDBcp1BcA再求再求导导)(620cpEDcp0D0E4)()(cpppf34)(1)(cpcpc! 3!2)(32ctctetcettf6.4 6.4 拉普拉氏变换应用拉普拉氏变换应用例：求电路方程例：求电路方程解：解：tERjjdtdLsin00)0(j220pEjRjLp220pRLpEj220/1pLRpLEteLEjLtRsin*0)cossin(2220tLtRLREtLReLRLE)/(2220tLtRdeLEj0)(0sinteLEjLtRsin*0例：求常微分方例：求常微分方 程初值问题程初值问题解：解：42 yyy2)0(

10、 2)0( 1)0(yyypypypypypypypyyppyp/4)0()()0( )0()(2)0( )0( )0()(223) 12(/44) 1(2) 12()(22ppppppppy222) 1(4) 1(4) 1(21ppppppp222) 1(4) 1(4) 1(21)(ppppppppy11pL) 1(4221ppL) 1(21ppL111121ppL22te) 1(2) 1(21ppppL) 1(*) 1(4tteettdee0) 1)(1(4)22(4tetett) 1(421ppLttee*) 1(4ttdee0) 1(4) 1(4ttete) 1(2) 1(21pppL

11、tetty243)(222) 1(4) 1(4) 1(21)(ppppppppy例：求定解例：求定解 问题解问题解解：方程两边进行解：方程两边进行 Laplace 变换变换)()()()(2tftTlantT0)0( 0)0(TT)()()()0( )0()(22pfpTlanTpTpTp)()(1)(22pflanppT)()(122pflanplanlan)()(1)(22pflanplanlanpT)()(1pTLtTtdftlan0)()(sin1)(*sin1tftlan例：求例：求 RLC 电路电路 的初值问题的初值问题解：解：0)0(ipipILpIRpICp)0()()()(1

12、)1()(2LCpLRpLpI)()()(10tidtdLtRidttiCt22)2(1)2(1LRLCLRpLLCRK 22)2(1)2(1)(LRLCLRpLpI2)2(1LRLC1）2222)2(1)2()2(1)2(11)(LRLCLRpLRLCLRLCLpItLRLCeLRLCLtItLR222)2(1sin)2(11)(2)2(1LRLC2）2)2(1)(LRpLpItLRteLtI2)(2)2(1LRLC3）1)2()2(1)(22LCLRLRpLpI1)2(12)(1)2(21)2(2222tLCLRLRtLCLRLReeLCLRLtILCLRLRpLCLRLRpLCLRL1)

13、2(211)2(211)2(12222例：积分例：积分解：解：dxxtxI022sindxxxppppI02221)41(21)(dxxxppx022221)4(421dxxpp022)4(2dxpxp022)2/(121dxxtxI022sindxpxppI022)2/(121)()2/(1Re2122pxsip上半平面pp21t2例：试用例：试用Cauchy积积分定理计算函数分定理计算函数解：解：)9()2()(23zzezfz1z分别沿分别沿:l1:l2:31 z的积分的积分albl1l0 x2l0)9()2(123dzzzelzbalzlzlzdzzzedzzzedzzzeI) 9()

14、 2() 9() 2() 9() 2(23232321l0 xalbl2lbalzlzlzdzzzedzzzedzzze) 9() 2() 9() 2() 9() 2(2323232dzzzedzzzeaalzlz3223) 2() 9/() 9() 2(22)9/(!22zzzedzdiie125872dzzzzedzzzebblzlz3)3() 2/() 9() 2(32333) 3() 2(2zzzzeiie522ieI125632)0,()()(lim0包括为常数zfazr留数定理补充留数定理补充120 x小弧引理：小弧引理：设：设：f(z)沿圆弧沿圆弧Cr：z-a= rei ( 1

15、2 , r充分小），上连充分小），上连续，且续，且在在Cr上一致成立，则上一致成立，则)()(lim120idzzfCr证：证：azdzzfazdzzfCrCr)()(lim)(lim00Crazdzzfaz)()(lim0)(12 i例：计算积分例：计算积分解：解：02)00(coscosbadxxbxaxIC0 xRRRClibziazdzzeeI2RCibziazRibxiaxCibziazRibxiaxdzzeedxxeedzzeedxxee2222Ribxiaxdxxee2Ribxiaxdxxee2C0 xRRRClibziazdzzeeI2RCibziazRibxiaxCibzia

16、zRibxiaxdzzeedxxeedzzeedxxeeI2222RCibziazCibziazRdzzeedzzeedxxbxax222coscos2)(122idzzeeCibziazlim20zeezibziazlim0zeeibziazibia )(baC0 xRRRClibziazdzzeeI2RCibziazCibziazRdzzeedzzeedxxbxaxI222coscos2由约当引理由约当引理02RCibziazdzzee0Cibziazdzzee2)(ba02coscosdxxbxaxI)(21ab例：计算积分例：计算积分解：解：021dxxxIC0 xRRRCRCRCRd

17、zzzdxxxdzzzdzxx22221111Rdxxx21ldzzzI21)(Re2ifsiRdxxx21Ridxxxe221RCRCRdzzzdxxxdzzzdzxxI22221111RiRdxxxedxxx22211C0 xRRRC)(Re2ifsiCdzzz21212100RCdzzz21RRR21RRR12R0RCRCRdzzzdxxxdzzzdzxxI22221111RiRdxxxedxxx22211C0 xRRRC)(Re2ifsiRidxxxeI221)1 (izzzifs2)(Reii2021dxxx2/ )1 (ii)1/(222ieiii021dxxx2例：计算积分例：计算积分解：解：0sindxxxIRCizRiyiCizRixdzzeiydiyedzzedxxe)()(lizdzzeI0C0 xRRRC考虑考虑Riyiiydiye)()(RydyyeiRCizRiyiCizRixdzzeiydiyedzzedxxeI)()(0C0 xRRRCRiyiiy