拉格朗日定理和函数的单调性PPT学习教案

1、会计学1拉格朗日定理和函数的单调性拉格朗日定理和函数的单调性定理6.1(罗尔中值定理)上上满满足足：区区间间在在设设函函数数,)(baxf那么在开区间(a, b)内必定(至少)存在一点, 使( )0.f (i) 在闭区间 a, b 上连续;(ii) 在开区间 (a, b) 上可导;(iii) f(a) = f(b).第1页/共26页(1) 几何意义据右图, xyabAB1 2 O平的.一点处的切线也是水 看出, 曲线上至少有 的.由几何直观可以所以线段 AB 是水平因为点击上图动画演示f (a) = f (b), 第2页/共26页(2) 条件分析Oxy定理中的三个条件都很重要，缺少一个,结论不

2、 1, 010,)( (a)xxxxf函数函数在 0, 1 上满足条件 (ii) 和一定成立.数在 (0, 1) 上的导数恒为1.(iii), 但条件 (i) 不满足,该函 第3页/共26页1, 1|,|)( (b) xxxf满足条件 (i) 和 (iii), 但条件条件 (i) 和 (ii),但条件 (iii)1, 0,)( (c) xxxf满足Oxy1Oyx1 1处不可导), 结论也不成立.(ii) 却遭到破坏 ( f 在 x = 0 内的导数恒为1. 却遭到破坏,该函数在 (0, 1)第4页/共26页定理的证明因为 f (x) 在 a, b 上连续,所以由连续函数的最大、 情形1 M =

3、 m.此时 f (x) 恒为常数,它的导函数恒 f () = 0 . 小值 m .下面分两种情形加以讨论. 最小值定理,f (x) 在 a, b 上能取得最大值 M 和最 等于零,此时可在 (a, b) 内随意取一点 , 就有 第5页/共26页情形2 m M. 既然最大、最小值不等,从而最大.)(Mf . 0)( f因为在区间内部取到的最大值一定是极大值,所以( , ),a b 使得大值不在端点取到,故存在 值与最小值至少有一个不在端点取到.不妨设最由费马定理,得第6页/共26页12,( ),p xxx是是多多项项式式 所所以以在在上上满满足足罗罗尔尔定定理理, 0)( p这与条件矛盾.例1

4、设 p(x) 是一个多项式, 且方程 p(x) = 0 没有实( , )a b 的的条条件件, ,从从而而存存在在，使使得得证,)(2121xxxxxp 有两个实根有两个实根设设( )p x由由于于重数为 1 .根, 则方程 p(x) = 0 至多有一个实根，且这个根的第7页/共26页10101 ( )()( )()( ),kkp xk xxp xxxp x因因为为, 0)( 0 xp所以所以矛盾.则则次重根次重根有一个有一个又若又若 ,)(0 xkxp. 2),()()(10 kxpxxxpk第8页/共26页设函数 f (x) 满足：定理6.2 (拉格朗日中值定理)(i) f(x) 在闭区间

5、 a, b 上连续;(ii) f(x) 在开区间 (a, b) 内可导.那么在开区间 内 ( 至少 ) 存在一点 , 使得),(ba .)()()(abafbff ( )( ),f af b当当时时 拉拉格格朗朗日日定定理理就就注注是是罗罗尔尔定定理理, ,第9页/共26页几何意义 如右图，( )( ).ABf bf akba ABOxyab ( )yf x 用平行推移的方法,曲线上至少在一点( ,( )f可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一个特例.连线的斜率为 y = f (x) 的两个端点 A, B 处的切线与 AB 平行, 其斜率 也等于( )f .ABk曲线 第10页/共26页定理的证明

6、设)()()()()()(afaxabafbfxfxF ( )( )()( )f bf ayxaf aABba是是直直线线的的方方程程) )可以验证F(x) 满足罗尔定理的三个条件, 所以,),(ba 使, 0)( F即.)()()(abafbff 第11页/共26页推论1设 在区间 I上的导函数 , 则)(xf0)( xf)(xf是一个常值函数.证对于区间 I上的任何两点 与 , , 1x2x21xx )(xf在x1, x2上满足拉格朗日定理的条件, 则有).,(,0)()()(211212xxxxfxfxf 这就是说, 在区间I上的任何两个值都相等, 所)(xf以为常值函数.2,fgI若若

7、函函数数和和均均在在区区间间上上推推可可导导论论且且第12页/共26页( )( )If xg x则则在在区区间间上上与与只只差差某某一一常常数数, ,即即( )( ),fxg xxI( )( )f xg xcc ( ( 为为某某一一常常数数).).0)3 (fx设设函函数数在在点点导导推推论论数数极极限限定定理理的的某某邻邻域域00()lim( )xxfxfx证 分别按左右极限来证明.000()()lim( )xxU xUxfx 内连续,在内可导,且极限内连续,在内可导,且极限0fx存在,则在点可导,且存在,则在点可导,且第13页/共26页0(,),xx 定定理理条条件件, ,则则存存在在使使

8、得得00( )()( ).f xf xfxx 000,xxxxx由由于于因因此此当当时时 随随之之有有对上式两边求极限，便得00000( )()limlim( )(0).xxxxf xf xffxxx 00(1)(),( ),xUxf xxx 任任取取在在上上满满足足拉拉格格朗朗日日第14页/共26页00(2)()(0).fxfx同同理理可可得得000lim( ),(0)(0),xxfxkfxfxk因因为为所所以以000()(),().fxfxkfxk从从而而即即第15页/共26页例2设 f(x)在区间 I 上可微, 且, 则函数Kxf | )(|f(x)在区间I上一致连续.证对于任意正数 ,

9、 取 , 对任意的1 K ,21Ixx ,21xx 只要 , 便有 |21xx|)(| )()(|1212xxfxfxf ,121xxKK 故 在I上一致连续.)(xf第16页/共26页例3求证: ).(,arctanarctanbaabab 证设 显然 在区间 上.arctan)(xxf )(xf,ba满足拉格朗日定理的条件，故有.,)(11arctanarctan2baababab 注例3中的不等号可以成为严格的. 事实上, 当式成立. 当 时，ba 0ba 0和 时, 显然不为零, 严格不等0 ba 第17页/共26页abarctan0arctan0arctanarctan abarct

10、anarctan .)(11112221abab 使得使得存在存在),0,(), 0(21ab 第18页/共26页改为严格不等号, 则相应地称它为严格增 (减).下面的定理是本节中的两个主要定理, 今后将不若函数,)(21IxxIxf 上上对对任任意意在在区区间间,21xx ),()()()(2121xfxfxfxf 必有必有则称函数则称函数若“”.)(单调减单调减上单调增上单调增在区间在区间 I)( )(xf断地使用.第19页/共26页定理6.3IxfIxf在在区区间间上上可可导导，则则在在区区间间设设)()(:( )0 ( 0).fx上上单单调调增增( (减减) )的的充充要要条条件件是是

11、证00,fx xI xx若若为为递递增增函函数数 则则当当时时, ,有有00( )()0.f xf xxx00,()0.xxfx令令即即得得1212( )0,.,()fxxIx xIxx反反之之, ,若若设设12,(,) ,x x 由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理第20页/共26页定理6.4 可微函数 f (x) 在区间 I 上严格递增的充,0)()()(1212 xxfxfxf 即),()(12xfxf( ).f x这这就就证证明明了了函函数数递递增增12121,()xxI xxf x是是严严格格递递增增, ,则则存存在在使使6.3( ).( )f xf x 由由定定理理可可知知递递增增

12、 若若充充分分性性不不证个区间.12( )(,),f xxx这这就就得得到到在在区区间间上上恒恒为为常常数数 故故2().f x满足 的点集不含一( )0,fx ( )0fx 要条件是：第21页/共26页),(,0)(21xxxxf 矛盾. 充分性得证.注 请读者写出相应于递减和严格递减的判别定理.必要性请读者自证.( )0( )0),Ifxfx设设函函数数在在区区间间 上上可可微微推推, ,若若论论().fI则则在在 上上严严格格递递增增 严严格格递递减减在实际应用中我们经常会用到下面这个事实.性质),()(),(,)(减减递增递增严格严格上上上连续，上连续，在在若若babaxf第22页/共26页( ) , ()().f xa b则则在在上上 严严格格 递递增增 减减作为应用，下面再举两个简单的例子.例7 求证.0,1e xxx证则则设设,1e)(xxFx . 1e)( xxF所所以以( )0,0,),0,F xxx且且当当时时( )0F x( )0).F x的的点点不不含含一一个个区区间间故故( )0,)F x在在,0 ,x 上上严严格格递递增增 所所以以对对任任意意恒有, 0)0()( FxF第23页/共26页例8 设 f (x) =