chIIR数字滤波器的设计新实用实用教案

1、 6.1 数字(shz)滤波器的基本概念 数字滤波器数字滤波器(DF)的定义的定义 输入和输出均是数字信号，通过一定运算关系输入和输出均是数字信号，通过一定运算关系(gun x)(数值运算数值运算)，改变输入数，改变输入数字信号所含频率成份的相对比例或滤除某些频率成份的器件。字信号所含频率成份的相对比例或滤除某些频率成份的器件。 如何用数字滤波器处理模拟信号？如何用数字滤波器处理模拟信号？通过通过A/DC和和D/AC，用数字滤波器对模拟信号进行处理。，用数字滤波器对模拟信号进行处理。第1页/共75页第一页，共76页。1、数字滤波器的分类、数字滤波器的分类(1) 一般分类一般分类经典滤波器（选频

2、滤波器）：适用于信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分占用不经典滤波器（选频滤波器）：适用于信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分占用不同的频带的情况，通过选频滤波器达到滤波的目的。同的频带的情况，通过选频滤波器达到滤波的目的。现代滤波器：适用于信号和干扰的频带相互重叠的情况，通过现代滤波器利用信号的统计现代滤波器：适用于信号和干扰的频带相互重叠的情况，通过现代滤波器利用信号的统计分布规律分布规律(gul)，从干扰中最佳提取信号。如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器和自适应，从干扰中最佳提取信号。如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器和自适应滤波器等。滤波器等。 本书只讨论选频滤波器的设计。本书只讨论选频滤

3、波器的设计。(2) 从滤波器的功能上来分类从滤波器的功能上来分类 分为低通、高通、带通、带阻滤波器分为低通、高通、带通、带阻滤波器第2页/共75页第二页，共76页。理想滤波器幅度理想滤波器幅度(fd)特性特性 低通(LP)频率响应w0-|H(ejw)|2-2w0-|H(ejw)|高通(HP)频率响应2-2w0-|H(ejw)|带通BP频率响应2-2w0-|H(ejw)|带阻BS频率响应2-2特点：(1)h(n)非因果且无限长，物理不可实现，只能尽可能逼近；(2)DF的频率响应以2为周期，低频区域处于(chy)的偶数倍附近，高频区域处于(chy)的奇数倍附近。第3页/共75页第三页，共76页。(

4、3)从滤波器的实现网络结构或从单位从滤波器的实现网络结构或从单位(dnwi)脉冲响应来分类脉冲响应来分类无限脉冲响应无限脉冲响应(IIR)数字滤波器数字滤波器有限脉冲响应有限脉冲响应(FIR)数字滤波器：数字滤波器：0110( )1( )( )MiiiNiiiNnnb zH za zH zh n z 0110( )1( )( )MrrrNkkkNnnb zH za zH zh n z 在数字滤波器中，一般考察其半个周期=0，的频域特性(txng)；在模拟滤波器中，通常考察其=0，范围内频率域的特性(txng)。 N阶IIR滤波器系统(xtng)函数N1阶FIR滤波器系统函数第4页/共75页第四

5、页，共76页。2、数字滤波器的技术要求、数字滤波器的技术要求(1) 数字滤波器的传输函数数字滤波器的传输函数H(ejw)|H(ejw)|系统的幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况。系统的幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况。Q()系统的相频特性：反映系统的相频特性：反映(fnyng)各频率成分通过滤波器后在时间上的延时各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。情况。()()()jjjH eH ee 第5页/共75页第五页，共76页。(2)数字数字(shz)滤波器的幅频特性滤波器的幅频特性|H(ejw)|的指标的指标过渡带低通数字滤波器的幅频特性技术指标|H(ejw)

6、|通带阻带21-1p0.70701CS指标说明(shumng)：p：通带截止频率，通带频率范围：0 p ；S ：阻带截止频率，阻带频率范围：s ； C ：3dB截止频率；P：通带最大衰减；S：阻带最小衰减1：通带内幅度响应误差范围；2：阻带内幅度响应误差范围；PS第6页/共75页第六页，共76页。通带内和阻带内允许的衰减一般用通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，数表示，P和和S分别分别(fnbi)定义为：定义为：如将如将|H(ej0)|归一化为归一化为1，上两式则表示成，上两式则表示成当幅度衰减到当幅度衰减到2/2倍时，所对应频率倍时，所对应频率 c，此时，此时P 3dB，称，称c为为3

7、dB截止频率。截止频率。00()20lg()()20lg()psjpjjsjH edBH eH edBH e 00()20lg()()20lg()psjpjjsjH edBH eH edBH e 20lg()20lg()psjpjsH edBH edB 20lg()20lg()psjpjsH edBH edB 第7页/共75页第七页，共76页。3. 数字滤波器设计方法数字滤波器设计方法 IIR滤波器设计方法：滤波器设计方法： (1)先设计模拟先设计模拟(mn)滤波器滤波器(AF)的系统函数的系统函数Ha(s)；然后按某种变换，将；然后按某种变换，将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数转换成数字

8、滤波器的系统函数H(z)。 (2) 借助借助CAD(计算机辅助设计计算机辅助设计)在频域或时域直接设计；在频域或时域直接设计； FIR滤波器设计方法滤波器设计方法 (1)经常采用的是窗函数设计法和频率采样法经常采用的是窗函数设计法和频率采样法. (2)用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。第8页/共75页第八页，共76页。6.2 模拟(mn)滤波器(AF)的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器可以选择模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器可以选择(xunz)。如：巴特沃斯。如：巴特沃

9、斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、滤波器、椭圆椭圆(Kllipse)滤波器、贝塞尔滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。现成的曲线和图表供设计人员使用。 AF的表示(biosh)： ( )aaLah tHjHs FAF的设计：找到ha(t) 或Ha(s)（更多时候）, 即找到典型滤波器公式中的阶和未知参数。第9页/共75页第九页，共76页。)(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c)(jaH低通带通带阻高通)(ja

10、H)(jaH)(jaH000c)(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c)(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c各种( zhn)理想模拟滤波器的幅度特性第10页/共75页第十页，共76页。1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法(1) 设计指标有：设计指标有：p、s、 p、 s其中：其中：p和和s分别分别(fnbi)称为通带截止频率和阻带截止频率称为通带截止频率和阻带截止频率; p是通带是通带 (0p)内允许的最大衰减系数，内允许的最大衰减系数， s是阻带（是阻带（s）内允许的最小衰减系数，）内允许的最小衰减系数，阻

11、带pS1|Ha(j)|0.707ps通带0C过渡带第11页/共75页第十一页，共76页。2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj 2210lg()10lg()papsasHjHj 2210lg()10lg()papsasHjHj 图中c称为(chn wi)3dB截止频率，因()1/220lg()3acacHjHjdB ()1/2,20lg()3acacHjHjdB p和和 s一般一般(ybn)用用dB表示表示:2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj 如果(rgu)=0处幅度已归一化到1，即:|Ha(j0)|=1技术指标高指： p

12、越小、s越大、过渡带越小越好。模方函数第12页/共75页第十二页，共76页。ppss 所以所以(suy)技术指标可归纳为：技术指标可归纳为：而高通、带通等的技术指标，可以(ky)通过频率转换成低通指标。因此重要的是低通设计。第13页/共75页第十三页，共76页。(2) 用模拟滤波器逼近方法设计数字用模拟滤波器逼近方法设计数字IIR滤波器步骤滤波器步骤(bzhu)：给出模拟滤波器的技术指标给出模拟滤波器的技术指标 ；设计传输函数设计传输函数 Ha(s)：使其幅度平方函数满足给定指标：使其幅度平方函数满足给定指标ap和和as，|Ha(j)|2 = Ha(j)Ha*(j) = Ha(s)Ha(-s)

13、|S=j确定确定Ha(s)：系统：系统Ha(s)应是稳定的系统，因此，极点应位于应是稳定的系统，因此，极点应位于S 左半平面内。左半平面内。 第14页/共75页第十四页，共76页。特点：单调变化。当=0时，|H(j)|=1；3dB点必通过。当=c时，|H(j)|=N越大，曲线越陡峭。当N=,就是(jish)理想滤波器。2、Butterworth 低通滤波器的设计低通滤波器的设计(shj)方法方法巴特沃斯低通滤波器的模方函数巴特沃斯低通滤波器的模方函数|Ha(j)|2用下式表示：用下式表示：221()1()aNcHj ()1/2, 20lg()3acacHjHjdBN: 滤波器阶数。c是3dB截

14、止频率。第15页/共75页第十五页，共76页。巴特沃斯滤波器的设计巴特沃斯滤波器的设计(shj)步骤步骤(1) 根据给出的技术指标根据给出的技术指标P、S、p、S，求，求N， c用上式求出的N可能有小数(xiosh)部分，应取大于等于N的最小整数。22110lg1()110lg1()ppNcsNsc 求N，c（约定用通带(tn di)公式求）(2) 由模方函数|Ha(j)|2 Ha(s)两种方法：解析法和图表法第16页/共75页第十六页，共76页。1. 解析(ji x)法将模方函数将模方函数(hnsh)|Ha(j)|2写成写成s的函数的函数(hnsh)：2*2()( )( )( )()1( )

15、()1()aaaaasjsjaaNcHjHs HsHs HsHs Hssj 该式有2N个极点(jdin)，极点(jdin)sk用下式表示：1121()222( 1)()kjNNkccsje 其中，k=0,1,(2N-1)第17页/共75页第十七页，共76页。1121()222( 1)()kjNNkccsje 其中，k=0,1,(2N-1)2N个极点(jdin)等间隔分布在半径为c的圆上，间隔是/Nrad，其中，一半是Ha(s)的极点(jdin)，另一半是Ha(-s)的极点(jdin)。则左半平面的N个极点(jdin)属于Ha(s) (稳定系统)，右半平面N个极点(jdin)属于Ha(-s).1

16、0( )()NcaNkkHsss Ha(s)表示(biosh)为：第18页/共75页第十八页，共76页。2. 图表法：为使各滤波器的幅频特性设计为使各滤波器的幅频特性设计(shj)统一，将所有的频率对统一，将所有的频率对3dB截止频率截止频率c归一化，归一化，归一化后的归一化后的Ha(s)表示为表示为 ：101( )()aNkkccHsss 101()()aNkkHppp 令s/c = j/c，=/c，称为归一化频率，令p=j，p称为归一化复变量(binling)，归一化巴特沃斯的传输函数为：第19页/共75页第十九页，共76页。221()( )()1aaaNpjHjHp Hp 可知：只要知道

17、(zh do)阶数N，就可得到极点pk。查表P157 表6.2.1可直接得到极点pk和归一化系统函数Ha(p)101()()aNkkHppp 由然后，然后， 将将Ha(p)去归一化，得到系统去归一化，得到系统(xtng)函数函数Ha(s)( )( )csaapHsHp 第20页/共75页第二十页，共76页。表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数(cnsh) 表示(biosh)两极点P1、PN-2第21页/共75页第二十一页，共76页。第22页/共75页第二十二页，共76页。第23页/共75页第二十三页，共76页。总结：巴特沃斯滤波器的设计步骤总结：巴特沃斯滤波器的设计步骤(bzhu)(1)

18、 根据给出的技术指标根据给出的技术指标P、S、p、S，求，求N， c22110lg1()110lg1()ppNcsNsc 求N，c（约定用通带(tn di)公式求）(2) 由N（查表）Ha(p)反归一化( )( )csaapH sHp 第24页/共75页第二十四页，共76页。【例】已知通带截止频率【例】已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计，按照以上技术指标设计(shj)巴特沃斯低通巴特沃斯低通滤波器。滤波器。解：解：(1) 设计设计(shj)模拟滤波器的指标

19、为模拟滤波器的指标为 p=2fp=104(rad/s)， ap=2dB s=2fs=2.4104(rad/s)， as=30dB (2) 确定阶数确定阶数N和和c4242110lg2101()110lg302.4 101()NcNc 4.252 *5.2755/cNkrad s N取5第25页/共75页第二十五页，共76页。5432432101( )aHppb pb pb pb pb 由N=5，直接(zhji)查表得到：分母因式的形式： (3) 由N，查表确定(qudng)Ha(p)b0=1.0000、b1=3.2361、b2=5.2361、b3=5.2361、b4=3.2361(4) 将将p

20、=s/c 代入代入Ha(p)去归一化，得去归一化，得Ha(s)55423324543210( )cacccccHssbsbsbsbsb 第26页/共75页第二十六页，共76页。6.2.6 模拟(mn)高通、带通、带阻滤波器的设计各类模拟滤波器的设计过程图 HPBPBS指标LP指标G(p)系统函数HHP(s)HBP(s)HBS(s)系统函数频率变换频率变换设计LP滤波器其他AF滤波器HP, BP, BS设：系统函数G(s)H(s)归一化频率归一化拉氏变量p=jq=j归一化系统函数G(p)H(q)第27页/共75页第二十七页，共76页。p s 1) 高通的设计(shj)为了简单(jindn)，通带

21、指标通常为：3ppssdB 归一化以为基准p 1p ssp s p 1 频率变换当1 ppss 0 0 第28页/共75页第二十八页，共76页。高通的设计(shj)步骤：1）确定归一化的高通滤波器技术指标：2）频率(pnl)转换成归一化的低通技术指标：3ppssdB 13ppssspdB 13ppssspdB 1 131ppsssdB 第29页/共75页第二十九页，共76页。3）由低通指标(zhbio)设计归一化的巴特沃斯低通滤波器：22110lg1110lg1pNpsNs 求N，c（已知= p)（查表）G(p)4) 频率反变换(binhun)为高通H(q), 再去归一化求模拟高通的H(s)。

22、( )( )ppsH sG p pc 失效(sh xio)第30页/共75页第三十页，共76页。 【例】 设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度(fd)特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减s=15dB。解：解： 高通技术指标：高通技术指标：fp=200Hz,p=3dB;fs=100Hz,s=15dB归一化高通技术指标：归一化高通技术指标：1,0.5,ppppssspffff 归一化低通技术指标：1,312,15ppsssdBdB 第31页/共75页第三十一页，共76页。 设计设计(shj)归一化低通归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器。采用巴特沃斯滤波器221

23、10lg1110lg1pNpsNs 2.47N 3N 取321( )221G pppp （查表） 求模拟(mn)高通H(s)：33223( )( )222cpcccscpsH sG psssf 第32页/共75页第三十二页，共76页。2) 模拟(mn)带通的设计归一化基准(jzhn)：ulB 120120,sslussluBBBBB几何中心：0ul 表6.2.2 与的对应(duyng)关系 频率变换关系：220 第33页/共75页第三十三页，共76页。带通的设计步骤(bzhu)：1）确定带通滤波器的归一化技术指标：12,lupsss 2）频率(pnl)转换成归一化低通指标：2222201021

24、1,ppsssssss 归一化基准(jzhn)：ulB 频率变换关系：220 s与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s，这样保证在较大的s处更能满足要求。 第34页/共75页第三十四页，共76页。(3) 设计(shj)归一化低通G(p)。22110lg1110lg1pNpsNs 求N（查表）G(p)失效(sh xio)4) 频率(pnl)反变换为带通H(q), 再去归一化求模拟带通的H(s)。220( )( )spsBH sG p 第35页/共75页第三十五页，共76页。模拟(mn)带阻的设计归一化基准(jzhn)：ulB 120120,sslussluBBBBB频率变换关系：220 0

25、ul 几何中心：第36页/共75页第三十六页，共76页。带阻的设计步骤(bzhu)：1）确定带阻滤波器的归一化技术指标：12,lupsss 2）频率(pnl)转换成归一化低通指标：12222210201,ppsssssss 归一化基准(jzhn)：ulB 频率变换关系：s与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s，这样保证在较大的s处更能满足要求。 220 第37页/共75页第三十七页，共76页。220( )( )sBpsH sG p (3) 设计(shj)归一化低通G(p)。22110lg1110lg1pNpsNs 求N（查表）G(p)失效(sh xio)4) 频率(pnl)反变换为带阻H

26、(q), 再去归一化求模拟带阻的H(s)。第38页/共75页第三十八页，共76页。6.3 用脉冲响应不变法(bin f)设计IIR数字低通滤波器利用模拟滤波器设计利用模拟滤波器设计(shj)IIR数字滤波器设计数字滤波器设计(shj)过程：过程：设计技术(jsh)成熟有相当简便的公式和图表模拟滤波器)(sHaAF由此设计数字滤波器)(zHDF要求DF特性模仿AF的特性实际上是个映射问题Mapping离散时间域(Z平面)转换关系连续时间域(S平面)第39页/共75页第三十九页，共76页。Re(z)jIm(z)0z平面1z1z2若转换后的若转换后的H(z)稳定且满足技术要求，则设计过程要满足：稳定

27、且满足技术要求，则设计过程要满足：(1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字因果稳定的模拟滤波器转换成数字(shz)滤波器，仍是因果稳定的。滤波器，仍是因果稳定的。 (2) 数字数字(shz)滤波器的频响模仿模拟滤波器的频响，滤波器的频响模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射到平面的虚轴映射到z平面的单位平面的单位圆上，相应的频率之间成线性关系。圆上，相应的频率之间成线性关系。j0S平面S1xS2x满足(mnz)上述转换关系的映射方法有：脉冲响应不变法(bin f)和双线性变换法第40页/共75页第四十页，共76页。一、脉冲响应不变法的基本思想一、脉冲响应不变法的基本思想 使使h(n)模仿模仿ha

28、(t)，让，让h(n)正好等于正好等于ha(t)的采样值的采样值二、变换方法二、变换方法1、设模拟滤波器、设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将将Ha(s)用部分用部分(b fen)分式表示：分式表示： Ha(s)LT-1Ha(s)ha(t)时域采样(ci yn)h(n)ZTh(n)H(z)所以说脉冲响应不变法是一种时域上的变换(binhun)方法1( )NiaiiAHsss si为Ha(s)的单阶极点1( )( )iNs ntaiihtA eu t 1( )( )iNs n taiihtA eutL

29、T-1Ha(s)U(t)为单位阶跃函数第41页/共75页第四十一页，共76页。对对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：，得到：对上式进行对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：结论结论:(1) S平面的单极点平面的单极点s=si映射到映射到Z平面的极点平面的极点z=esiT。 (2) Ha(s)部分分式的系数部分分式的系数(xsh)与与H(z)部分分式的系数部分分式的系数(xsh)相同。相同。 1( )()()iNs nTaiih nh nTAeu nT11( )1iNis TiAH zez第42页/共75页第四十二

30、页，共76页。2、Ha(s)有共轭复数对极点有共轭复数对极点Ha(s)的极点的极点si一般是一个复数，以共轭成对一般是一个复数，以共轭成对(chn du)的形式出现，将一对复的形式出现，将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。AF二阶基本节形式一：二阶基本节形式一：21211)s(s)s(Ha:+=形式一极点(jdin)-1j1ha(t)=LT-1Ha(s)=e- tcos1tu(t)，对ha(t)进行等间隔采样1h(n)=ha(nT)= e- nTcos(1nT)u(nT)，进行Z变换1+=0nnnT1jnT1jnT1nnz)ee(21ez )

31、n( h)z(H1111121211cos12cosTTTzeTzeTze第43页/共75页第四十三页，共76页。AF二阶基本二阶基本(jbn)节形式二：节形式二：ha(t)=LT-1Ha(s)=e- tsin1tu(t)，对ha(t)进行等间隔采样1h(n)=ha(nT)= e- nTsin(1nT)u(nT)，进行Z变换121211)s()s(Ha:+=形式二极点-1j1+=0nnnT1jnT1jnT1nnz)ee(21ez )n( h)z(H1111112211112121,()sin12cosTTTjsz eTz eTz e 第44页/共75页第四十四页，共76页。三、S平面和Z平面之

32、间的映射关系1、采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系：(1) 设ha(t)的采样信号表示(biosh)为:(2) 对 进行拉氏变换，得到( )( ) ()aanhth ttnT( )aht( )( )()()staastansnTHsh t edth tnT edtnT e nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenTtthsH)()()()()()()( nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenTtthsH)()()()()()()( nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenT

33、tthsH)()()()()()()( nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenTtthsH)()()()()()()(nnznhzH)()()()(sHzHaezsT)()(sHzHaezsTsTze第45页/共75页第四十五页，共76页。2、模拟信号的拉氏变换与相应的序列的、模拟信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系：变换之间的映射关系：模拟信号模拟信号ha(t)的傅里叶变换的傅里叶变换Ha(j)和其采样信号和其采样信号 的傅里叶变换的傅里叶变换 之间的关系满足：之间的关系满足：结论结论(jiln)：采样信号的拉氏变换是原模拟信号的拉氏变换在：采

34、样信号的拉氏变换是原模拟信号的拉氏变换在S平面沿虚轴以平面沿虚轴以s=2/T为周期进行的周期延拓；为周期进行的周期延拓；( )aht( )aht1()()1( )()1( )()sTaaskaaskasz ekHjHjjkTHsHsjkTH zHsjkT 1()()1( )()1( )()sTaaskaaskasz ekHjHjjkTHsHsjkTH zHsjkT ()aHj将s=j代入上式，得：第46页/共75页第四十六页，共76页。说明：采用脉冲响应不变法将说明：采用脉冲响应不变法将AF变换为数字变换为数字DF时时 Ha(s)沿虚轴以沿虚轴以s=2/T为周期进行周期延拓为周期进行周期延拓;

35、 再经过再经过Z=eST的映射关系映射到的映射关系映射到Z平面上，从而得到平面上，从而得到H(z)上面的这种转换是否满足对转换关系提出上面的这种转换是否满足对转换关系提出(t ch)的的2点要求点要求:设：设：S=j，Z=rejw 脉冲响应不变法标准映射关系：脉冲响应不变法标准映射关系： Z=eST rejw=e(j)T=eTe jT得到：得到：r= eT； w=T频率域的坐标(zubio)变换是线性的1()()1( )()1( )()sTaaskaaskasz ekHjHjjkTHsHsjkTH zHsjkT 因果(yngu)稳定模仿频响由采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系

36、：第47页/共75页第四十七页，共76页。 0时，时，S平面的左半平面映射到平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内平面的单位圆内(r=|z|0时，时，S平面的右半平面映射到平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外平面的单位圆外(r=|z|1)以上分析结论：若以上分析结论：若Ha(s)是因果是因果(yngu)稳定的，则转换后的稳定的，则转换后的H(z)也是因果也是因果(yngu)稳定的。稳定的。r= eT因果(yngu)稳定的分析j0-/T3/T-3/T/TS平面1Re(z)jIm(z)0Z平面第48页/共75页第四十八页，共76页。当当不变，模拟角频率不变，模拟角频率变化变化2/T整数倍，映射值不变

37、，整数倍，映射值不变，S平面上每一条宽度为平面上每一条宽度为2/T的水平横带都重迭的水平横带都重迭(zhn di)地映射到地映射到Z平面的整个全平面上平面的整个全平面上 每条水平横带的左半部分映射到每条水平横带的左半部分映射到Z平面单位圆内；平面单位圆内； 水平横带右半部分映射到水平横带右半部分映射到Z平面的单位圆外平面的单位圆外 j虚轴上每虚轴上每2/T段都对应着单位圆一周段都对应着单位圆一周j0-/T3/T-3/T/TS平面1Re(z)jIm(z)0Z平面2(),jM TsTTj TTTeeeeeMz=esT是周期函数(zhu q hn sh)第49页/共75页第四十九页，共76页。由上面

38、分析结果：由上面分析结果： S S平面与平面与Z Z平面的映射关系满足转换平面的映射关系满足转换(zhunhun)(zhunhun)条件；条件； 但存在着多值但存在着多值(s)(s)单值单值(z)(z)映射关系映射关系(3) DF的频响是AF频响的周期(zhuq)延拓)(jeH0T0T)( jHa频率(pnl)混叠sTez (1)虽然)(sHa)(zH直接映射但并非)(sHa而是)(zH映射注意：只有AF频响限于/T之内，DF频响才不失真地复现AF频响，否则，设计出来的DF在w=附近产生频率混叠。(2) 采样信号的拉氏变换是其模拟信号的拉氏变换以2/T为周期，沿虚轴进行周期化。第50页/共75

39、页第五十页，共76页。脉冲响应不变法的应用受限脉冲响应不变法的应用受限只适合只适合(shh)设计带限滤波器，如：低通、带通滤波器的设计，不适合设计带限滤波器，如：低通、带通滤波器的设计，不适合(shh)高高通、带阻滤波器的设计。通、带阻滤波器的设计。假设 没有频率混叠现象，即满足： ()aHj()0,/aHjT 按照(nzho)上式，并将关系式s=j代入，=T，代入得到：1()()1( )()1( )()sTaaskaaskasz ekHjHjjkTHsHsjkTH zHsjkT 1()(),jaH eHjTT数字滤波器的频响可以(ky)很好模仿模拟滤波器的频响第51页/共75页第五十一页，共

40、76页。四、四、 脉冲响应不变法的优缺点脉冲响应不变法的优缺点优点：优点： 1、频率变换是线性关系、频率变换是线性关系; w=T ，模数字滤波器可以很好重现模拟滤波器的频响特，模数字滤波器可以很好重现模拟滤波器的频响特性；性； 2、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近(bjn)好；好；缺点：缺点： 1. 有频谱混迭失真现象；有频谱混迭失真现象；(S平面到平面到Z平面有多值映射关系平面有多值映射关系) 2. 由于频谱混迭，使应用受到限制。由于频谱混迭，使应用受到限制。(T失真失真，但运算量，

41、但运算量,实现困难实现困难)第52页/共75页第五十二页，共76页。【例】【例】 已知模拟滤波器的传输函数已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为为用脉冲响应不变法用脉冲响应不变法(bin f)将将Ha(s)转换成数字滤波转换成数字滤波器的系统函数器的系统函数H(z)解：首先将解：首先将Ha(s)写成部分分式：写成部分分式：极点为：极点为：根据：根据： ，H(z)的极点为：的极点为：20.5012( )0.64490.7079aHsss0.32240.3224( )0.32240.77720.32240.7772ajjHssjsj12(0.32240.772),(0.32240.7772)sjsj

42、 sTze1212,s Ts Tzeze第53页/共75页第五十三页，共76页。按照：按照： ，经过整理，得到，经过整理，得到(d do)当：当：T=1s时用时用H1(z)表示，表示，T=0.1s时用时用H2(z)表示，则：表示，则：将将Ha(j) 、H1(ejw)、 H2(ejw)的幅度特性用它们最大值归一化后，得到的幅度特性用它们最大值归一化后，得到(d do)它们的幅度特性曲线，如下图所示：它们的幅度特性曲线，如下图所示：11( )1iNis TiAH zez111212120.3276( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.93070.9375zH zzzzHzzz1

43、11212120.3276( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.93070.9375zH zzzzHzzz26449. 011T3224. 0ze)T7772. 0cos(z1z )T7772. 0sin(3224. 0 .e2)z(H-+2-=第54页/共75页第五十四页，共76页。很轻的混叠现象(xinxing)严重(ynzhng)的混叠现象第55页/共75页第五十五页，共76页。 脉冲响应不变法的主要缺点脉冲响应不变法的主要缺点:产生频率谱混迭现象。产生频率谱混迭现象。 原因：模拟低通的最高频率超过了折叠频率原因：模拟低通的最高频率超过了折叠频率/T，数字化后在，数字

44、化后在w= 形成频谱混形成频谱混叠现象。叠现象。 解决方法：采用非线性压缩解决方法：采用非线性压缩(y su)方法，将整个频率轴上的频率范围压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩(y su)到到/T 之间，而后再用之间，而后再用 Z=eST 转换到转换到 Z 平面上。平面上。 第56页/共75页第五十六页，共76页。6.4 用双线性变换法设计(shj)IIR数字低通滤波器一双线性变换法消除频谱混迭的原理一双线性变换法消除频谱混迭的原理1、非线性压缩：、非线性压缩：(S平面平面S1平面映射平面映射)双线性变换法用正切变换实现非线性频率压缩，设双线性变换法用正切变换实现非线性频率压缩，设Ha(s)

45、，s=j，经，经过非线性频率压缩后用过非线性频率压缩后用Ha(s1)， s1=j1 表示表示(biosh)。则：。则：上式表明：当上式表明：当1从从/T经过经过0变化到变化到-/T时，时，则由则由经过经过0变化到变化到-，这样实现了，这样实现了s平面上整个虚轴完全压缩到平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的平面上虚轴的/T之之间的转换。间的转换。121tan()2TT 0 /T-/T1T：时域采样(ci yn)间隔；第57页/共75页第五十七页，共76页。由上面由上面(shng min)可得：可得：(- ，+ )， 1 (- /T，+ /T) ；)2(11)2tan(jS12/2/2/2/1

46、111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj 121tan()2TT )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj 121tan()2TT )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj

47、 )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj 121tan()2TT )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj 121tan()2TT )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj 2、S1平面(pngmin)到Z平面(pngmin)的映射将S1平面映

48、射(yngsh)到Z平面上，用标准映射(yngsh)Z=eS1T。代入上式SCSCzzzCeeCSTSezTSTS ,111111111即即SCSCzzzCeeCSTSezTSTS ,111111111即即121tan()2TT SCSCzzzCeeCSTSezTSTS ,111111111即即121tan()2TT SCSCzzzCeeCSTSezTSTS ,111111111即即112 1122zsTzsTzsT推出第58页/共75页第五十八页，共76页。3、双线性不变法的映射关系、双线性不变法的映射关系映射过程：从映射过程：从s平面映射到平面映射到s1平面，再从平面，再从s1平面映射到平

49、面映射到z平面。平面。 S平面与平面与Z平面是一一对应的单值映射关系，消除了脉冲响应不变法的多值映射关系，平面是一一对应的单值映射关系，消除了脉冲响应不变法的多值映射关系，消除了频谱混迭现象。消除了频谱混迭现象。 只要模拟只要模拟(mn)滤波器滤波器Ha(s)因果稳定，其极点应位于因果稳定，其极点应位于S左半平面，转换成的左半平面，转换成的H(z)也是因果稳定的，位于单位圆内。也是因果稳定的，位于单位圆内。001j1j/T-/T2/T tan(1T)Z=es1TS平面S1平面Re(z)jIm(z)0z平面S 2/T th(S1T)第59页/共75页第五十九页，共76页。二、模拟频率二、模拟频率

50、(pnl)和数字频率和数字频率(pnl)之间的关系之间的关系将：将：Z=ej ，S=j，代入，代入SZ平面映射关系式：平面映射关系式：112 1122zsTzsTzsT-0W)2(2wtgT 说明：s平面上 与z平面的成非线性正切关系(gun x)，当增加时， 增加得很快，当 趋于 时，趋于，由于这种非线性关系(gun x)，消除了频率混叠现象。代价：影响数字滤波器频响逼真模拟滤波器的频响的逼真度，存在幅度失真和相位失真。2 1121tan2jjejTeT )2/cos(2)2/sin(221122/2/wwjeeTeeTjSjwjwjwjw )2/cos(2)2/sin(221122/2/w

51、wjeeTeeTjSjwjwjwjw )2/cos(2)2/sin(221122/2/wwjeeTeeTjSjwjwjwjw )2/cos(2)2/sin(221122/2/wwjeeTeeTjSjwjwjwjw )2(2)2(2wtgTwtgTj 2 1121tan2jjejTeT 第60页/共75页第六十页，共76页。三、双线性变换法特点三、双线性变换法特点1、优点、优点 消除了频谱混迭失真消除了频谱混迭失真(sh zhn)；频率映射；频率映射 表明表明S平面与平面与Z平面是一一对应的单值映射关系，避免了脉冲响应不变法的频谱平面是一一对应的单值映射关系，避免了脉冲响应不变法的频谱“混迭混迭

52、”现象。现象。2.缺点缺点 以频率变换的非线性为代价，模拟域和数字域进行非线性映射，其瞬时响应不如以频率变换的非线性为代价，模拟域和数字域进行非线性映射，其瞬时响应不如脉冲响应不变法好。脉冲响应不变法好。2 1121tan2jjejTeT 第61页/共75页第六十一页，共76页。四、双线性变换法的幅度失真四、双线性变换法的幅度失真(sh zhn)和相位失真和相位失真(sh zhn)情况情况如果如果的刻度是均匀的，通过非线性正切关系，映射到的刻度是均匀的，通过非线性正切关系，映射到z平面的平面的刻度不均匀，随刻度不均匀，随增加越增加越来越密，即边界频率发生畸变。来越密，即边界频率发生畸变。如果模

53、拟滤波器具有片段常数特性，则转换到如果模拟滤波器具有片段常数特性，则转换到z平面仍具有片段常数特性。适于片段常系平面仍具有片段常数特性。适于片段常系数滤波器的设计。数滤波器的设计。幅度(fd)特性失真相位特性(txng)失真第62页/共75页第六十二页，共76页。五、双线性变换法的预畸变五、双线性变换法的预畸变(jbin)对边缘临界频率点产生的畸变对边缘临界频率点产生的畸变(jbin)，可通过频率的预畸变，可通过频率的预畸变(jbin)加以校正。加以校正。例：数字低通滤波器的两个截止频率：例：数字低通滤波器的两个截止频率： p和和s，如果按照线性变换所对应的模拟滤波，如果按照线性变换所对应的模

54、拟滤波器的截止频率分别为：器的截止频率分别为：再利用非线性的频率变换公式，得到的数字滤波器的截止频率就不等于原来的频率再利用非线性的频率变换公式，得到的数字滤波器的截止频率就不等于原来的频率 。解决方法：数字频率转换成模拟频率时，先进行预畸变解决方法：数字频率转换成模拟频率时，先进行预畸变(jbin)的处理：的处理：pp /Tss /T2 1121tan2jjejTeT 第63页/共75页第六十三页，共76页。例例：例：例6.4.1，已知，已知Ha(s)=a/(a+s)，a=1/(RC)，求，求H(z)。解：解：1、用脉冲响应不变法时，先确定、用脉冲响应不变法时，先确定(qudng)极极点：点

55、：s= a，则，则 2. 用双线性不变法时用双线性不变法时11)( zeazHaTT为采样(ci yn)间隔1111112)2()2()1(112)()(11 zaTaTzaTzzTaaSHazHzzTS1111112)2()2()1(112)()(11 zaTaTzaTzzTaaSHazHzzTS111121212112(1)( )( )12,22azsTzzHzHsa zTTTT111121212112(1)( )( )12,22azsTzzHzHsa zTTTT其中(qzhng)：第64页/共75页第六十四页，共76页。设设:a1000,T=0.001和和T=0.002，H1(z)和和H

56、2(z)的归一化幅频特性如图所示的归一化幅频特性如图所示双线性变换法脉冲响应不变法模拟滤波器幅频特性250Hz500Hz存在(cnzi)混叠不存在混叠，曲线(qxin)形状差别大第65页/共75页第六十五页，共76页。五、用模拟滤波器设计五、用模拟滤波器设计(shj)IIR数字低通滤波器步骤数字低通滤波器步骤(1)确定数字低通滤波器的性能指标；确定数字低通滤波器的性能指标；(Wp，ap，Ws，aS)(2)确定相应模拟低通滤波器的性能指标；确定相应模拟低通滤波器的性能指标； 脉冲响应不变法：脉冲响应不变法： = W /T 双线性变换法：双线性变换法： =2/Ttan(W)预畸变；预畸变；(3)设

57、计设计(shj)模拟低通滤波器的传输函数模拟低通滤波器的传输函数Ha(S)；(4)将将Ha(S) 转换成数字滤波器系统函数转换成数字滤波器系统函数 H(z)；利用脉冲响应不变法设计利用脉冲响应不变法设计(shj)时，应先确定时，应先确定Ha(s)极点，按极点，按 Z=eST 映射极点，映射极点，并根据并根据P171页公式表示出页公式表示出H(z)。 若利用双线性变换法，设采样间隔为若利用双线性变换法，设采样间隔为T，则，则, | )()(11112 zzTsasHzH第66页/共75页第六十六页，共76页。例例1：要求设计一数字低通滤波器，指标为：在通带内频率低于：要求设计一数字低通滤波器，指

58、标为：在通带内频率低于0.2rad/s时，容许幅时，容许幅度误差度误差(wch)在在1dB以内；在频率以内；在频率0.3之间，阻带衰减大于之间，阻带衰减大于15dB。指定模拟。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计H(z)。(dB)w11500.30.2数字域指标图对应模拟域指标图(dB)1150 sp第67页/共75页第六十七页，共76页。解：采用脉冲响应不变法解：采用脉冲响应不变法(1)数字域指标数字域指标: P=0.2 rad，p=1dB ，S=0.3 rad，S=15dB(2)模拟域指标：取模拟域指标：取T=1， 则：则：p=Wp/T=0.2rad/s，s=0.3rad/s，P=1dB， s=15dB。(3) 设计模拟低通设计模拟低通AF：要求：要求(yoqi)采用巴特沃斯低通滤滤器采用巴特沃斯低通滤滤器,884. 5lglgN 1.5; ;092. 0110110SPSP1 . 01 . 0 SPPSspkkSP ,884.5lglgN 1.5; ;092.0110110SPSP1.01.0 SPPSspkkSP ,884.5lglgN 1.5; ;092.0110110SPSP1.01.0 SPPSspkkSP 取N=6，查P167页表6.2.1，得归一化传