D1121对坐标曲线积分实用教案

1、ABxy1) “大化大化(d hu)小小”.2) “常代变”把L分成(fn chn) n 个小弧段,有向小弧段kkMM1近似(jn s)代替, 则有所做的功为F 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkF则用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点在kykx机动 目录 上页 下页 返回 结束 cosABFW 常力沿直线所作的功ABF ABF第1页/共27页第一页，共28页。3) “近似近似(jn s)和和”4) “取极限(jxin)”1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中(qzhng) 为 n 个小弧段的 最大长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共27页第二页，共

2、28页。2. 定义定义(dngy).设 L 为xoy 平面(pngmin)内从 A 到B 的一条有向光滑弧,若对 L 的任意分割(fng)和在局部弧段上任意取点, 都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L 称为积分弧段 或 积分路径 .称为被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数极限),(, ),(),(yxQyxPyxF记作),(yxF机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共27页第三页，共28页。若 为空间(kngjin)曲线弧 , 记称为对 x 的曲线(qxin)积分;称为(chn wi)对 y 的曲线积分.若记, 对坐标的曲线积分也

3、可写作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd ),(d ),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd ),(d ),(d ),(d)d,d,(ddzyxs 类似地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果L是封闭曲线，记为第4页/共27页第四页，共28页。3. 性质性质(xngzh)(1) 若 L 可分成(fn chn) k 条有向光滑曲线弧LyyxQxyxPd ),(d ),(2) 用L 表示(biosh) L 的反向弧 , 则则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !机动

4、 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共27页第五页，共28页。二、对坐标的曲线二、对坐标的曲线(qxin)积分的积分的计算法计算法定理(dngl):在有向光滑(gung hu)弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分LyyxQxyxPd ),(d ),(连续,证明: 下面先证LxyxPd ),()(t存在, 且有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共27页第六页，共28页。对应(duyng)参数设分点根据(gnj)定义由于(yuy)niiiP10)(, )(lim)(tLxyxPd ),(对应参数因为L 为光滑弧 ,同理可证)(t机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共2

5、7页第七页，共28页。特别(tbi)是, 如果 L 的方程为则LyyxQxyxPd ),(d ),(对空间光滑(gung hu)曲线弧 :类似(li s)有)(t)(t定理 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共27页第八页，共28页。例例1. 计算计算(j sun)其中(qzhng)L 为沿抛物线解法(ji f)1 取 x 为参数, 则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxddd解法2 取 y 为参数, 则从点的一段. )1 , 1(B)1, 1(Aoyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共27页第九页，共28页。例例2. 计算计算(j

6、sun)其中(qzhng) L 为yBAoaa x(1) 半径(bnjng)为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为(2) 取 L 的方程为则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共27页第十页，共28页。yxo例例3. 计算计算(j sun)其中(qzhng)L为(1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线(zhxin) 解: (1) 原式(2) 原式(3) 原式)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 11机动 目录 上页 下页 返回 结束 10:,:x

7、xyL练习第11页/共27页第十一页，共28页。例例4. 设在力场设在力场作用(zuyng)下, 质点由沿移动(ydng)到解: (1)(2) 的参数(cnsh)方程为BAzyx试求力场对质点所作的功.其中为),(zxyFsFWdsFWd机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共27页第十二页，共28页。ozyx例例5. 求求其中(qzhng)从 z 轴正向(zhn xin)看为顺时针方向.解: 取 的参数(cnsh)方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共27页第十三页，共28页。三、两类曲线三、两类曲线(qxin)积分之间积分之间的联系的联系设有向光滑弧 L 的参数(cn

8、sh)方程为已知L切向量(xingling)为机动 目录 上页 下页 返回 结束 弧微分和方向余弦为 )(),(ttP)(ttd)(),(ttQ)(tABLxyo第14页/共27页第十四页，共28页。则两类曲线积分有如下(rxi)联系LyyxQxyxPd),(d),(机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 )(),(ttP)(ttd)(),(ttQ)(t )(),(ttP)(),(ttQLsyxQyxPdcos),(cos),(第15页/共27页第十五页，共28页。类似类似(li s)地地, 在空间曲线在空间曲线 上的两类曲线积分的上的两类曲线积分的联系是联系是令, ),(RQPA)d,d

9、,(ddzyxs )cos,cos,(cost sA d sA dstAd记 A 在 t 上的投影为机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第16页/共27页第十六页，共28页。二者夹角(ji jio)为 例例6. 设设曲线段 L 的长度(chngd)为s, 证明续,证:设说明: 上述证法(zhn f)可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连 )cos,(cos, ),(tQPAstALdsALdcos机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共27页第十七页，共28页。例例7. .将积分(jfn)化为对弧长的积分,解：oyx其中(qzhng)L 沿上半圆周机动 目录 上页 下页 返

10、回(fnhu) 结束 第18页/共27页第十八页，共28页。1. 定义(dngy)LyyxQxyxPd ),(d ),(2. 性质(xngzh)(1) L可分成 k 条有向光滑(gung hu)曲线弧(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd ),(d ),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共27页第十九页，共28页。3. 计算计算(j sun)LyyxQxyxPd ),(d ),()(t)(t 对有向光滑(gung hu)弧 对有向光滑(gung hu)弧)(xLyyxQxyxPd ),(d ),(机动 目录 上页

11、 下页 返回 结束 第20页/共27页第二十页，共28页。zzyxRyzyxQxzyxPd),(d ),(d ),()(t)(t)(t4. 两类曲线(qxin)积分的联系 对空间对空间(kngjin)有有向光滑弧向光滑弧 :机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第21页/共27页第二十一页，共28页。 F原点 O 的距离(jl)成正比,思考思考(sko)与练习与练习1. 设一个(y )质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到),(yxMxyo提示:yykxxkWdd AB:AB, ),(yxOM F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. ),(yxkFF

12、思考: 若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共27页第二十二页，共28页。)0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Coxyz2. 已已知知为折线(zhxin) ABCOA(如图), 计算提示(tsh):yxABddzyyBCddOAxd机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共27页第二十三页，共28页。补充补充(bchng)题题 1.解:zxoyAB线移动(ydng)到向坐标(zubio)原点,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.沿直sFWLdF)(0r) 1 , 2

13、 , 2(ABr求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共27页第二十四页，共28页。2. 设曲线设曲线(qxin)C为曲为曲面面与曲面(qmin)从 ox 轴正向(zhn xin)看去为逆时针方向,(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;(2) 计算曲线积分解: (1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxzao代入第25页/共27页第二十五页，共28页。(2) 原式 =令利用(lyng)“偶倍奇零”机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第26页/共27页第二十六页，共28页。感谢您的欣赏(xnshng)！第27页/共27页第二十七页，共28页。NoImage内容(nirng)总结1) “大化小”.。2. 定义.。L 称为积分(jfn)弧段 或 积分(jfn)路径 .。定积分(