D91二重积分概念2实用教案

1、回顾回顾(hug)(hug)定积定积分定义的引出分定义的引出求曲边梯形求曲边梯形(txng)的面积的面积设曲边梯形是由连续(linx)曲线以及两直线所围成 ,求其面积 A .“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 第1页/共27页第一页，共28页。1xix1ixxabyo解决解决(jiju)步步骤骤 :1) 大化大化(d hu)小小.将曲边梯形(txng)分成 n 个小曲边梯形(txng);2) 常代变常代变.以小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积第2页/共27页第二页，共28页。3) 近似近似(jn s)和和.4) 取极限取极限(jxin).令则曲边梯形(txng)面积xabyo1xix1

2、ixi第3页/共27页第三页，共28页。解法解法: 类似类似(li s)定积分解决问题的思定积分解决问题的思想想:一、引例一、引例(yn l)1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积(tj) 给定曲顶柱体:底：底： xoy 面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” D),(yxfz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共27页第四页，共28页。1) 大化(d hu)小用任意(rny)曲线网分D为 n 个区域以它们(t men)为底把曲顶柱体分为 n 个2) 常代变在每个3)近似和则中任取一点

3、小曲顶柱体k),(kk机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共27页第五页，共28页。4)取极限(jxin)令),(yxfz ),(kkfk),(kk机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第6页/共27页第六页，共28页。2. 平面平面(pngmin)薄片薄片的质量的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有(zhnyu)区域 D ,计算(j sun)该薄片的质量 M .度为设D 的面积为 ,则若非常数 ,仍可用其面密 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小区域 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

4、 yx第7页/共27页第七页，共28页。2)“常代变”中任取一点(y din)3)“近似(jn s)和”4)“取极限(jxin)”k),(kk则第 k 小块的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx第8页/共27页第八页，共28页。两个问题(wnt)的共性：(1) 解决问题的步骤(bzhu)相同(2) 所求量的结构式相同(xin tn)“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共27页第九页，共28页。二、二重积分的定义二、二重积分的定义(dngy)及可积性

5、及可积性定义定义(dngy):将区域 D 任意(rny)分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I , 使可积可积 , 在D上的二重积分二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共27页第十页，共28页。引例(yn l)1中曲顶柱体体积:引例(yn l)2中平面薄板的质量:如果(rgu) 在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共27页第十一页，共28页。二重积分存在二重积分存在(cnzi)定理定理:若函数

6、(hnsh),(yxf定理(dngl)2.),(yxf(证明略)定理1.在D上可积可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如, 在D :上二重积分存在 ;在D 上 y1xo1D二重积分不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共27页第十二页，共28页。三、二重积分的性质三、二重积分的性质(xngzh)( k 为常数(chngsh) 为D 的面积(min j), 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共27页第十三页，共28页。特别(tbi), 由于则5. 若在D上),(yxf6. 设D 的面

7、积(min j)为 ,则有机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共27页第十四页，共28页。7.(二重积分的中值(zhn zh)定理)证证: 由性质由性质(xngzh)6 可知可知,由连续函数介值定理, 至少(zhsho)有一点在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共27页第十五页，共28页。xyo8. 设函数设函数(hnsh),(yxfD 位于 x 轴上方(shn fn)的部分为D1 , 当区域关于 y 轴对称, 函数(hnsh)关于变量 x 有奇偶性时, 仍1D在 D 上在闭区域上连续,域D 关于x 轴对

8、称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共27页第十六页，共28页。例例1. 比较下列积分比较下列积分(jfn)的大小的大小:其中(qzhng)解解: 积分积分(jfn)域域 D 的边界为圆周的边界为圆周与 x 轴交于点 (1,0) ,(3,0).而域 D 位从而于直线的上方, 故在 D 上 y2xo1D机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共27页第十七页，共28页。例例2. 估计下列估计下列(xili)积分之值积分之值解解: D 的面积的面积(min j)为为由于(yuy)积分性质6即: 1.96 I 210101010Dxyo机动

9、目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共27页第十八页，共28页。被积函数(hnsh)相同, 且非负, 思考思考(sko)与练习与练习解解: 由它们的积分(jfn)域范围可知11xyo1. 比较下列积分值的大小关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共27页第十九页，共28页。2. 设设D 是第二是第二(d r)象限的一个有界闭域象限的一个有界闭域 , 且且 0 y 1, 则则的大小(dxio)顺序为 ( )提示(tsh): 因 0 y 1, 故故在D上有yox1D机动 目录 上页 下页 返回 结束 D第20页/共27页第二十页，共28页。内容内容(nirng)小结小结1. 二重

10、积分的定义(dngy)2. 二重积分的性质(xngzh)(与定积分性质相似)机动 目录 上页 下页 返回 结束 比较积分值大小估计积分值比较被积函数比较积分区域估值不等式第21页/共27页第二十一页，共28页。 P78 2，4，5 第二节 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 作业作业(zuy)第22页/共27页第二十二页，共28页。四、曲顶柱体体积四、曲顶柱体体积(tj)的的计算计算设曲顶柱体的底为任取平面(pngmin)故曲顶柱体体积(tj)为截面积为截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共27页第二十三页，共28页。ydcxo)(2

11、yx)(1yx同样(tngyng), 曲顶柱的底为则其体积(tj)可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共27页第二十四页，共28页。例例3. 求两个求两个(lin )底圆半径为底圆半径为R 的直角圆柱面所的直角圆柱面所围的体积围的体积.xyzRRo解解: 设两个设两个(lin )直圆柱方直圆柱方程为程为利用对称性, 考虑第一(dy)卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为222RzxD机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共27页第二十五页，共28页。练习练习(linx)：计算计算解解:02机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第26页/共27页第二十六页，共28页。感谢您的欣赏(xnshng)！第27页/共27页第二十七页，共28页。NoImage内容(nirng)总结回顾定积分定义的引出。用任意曲线网分D为 n 个区域。以它们