随机过程(4.4)第4章第4节西电宋月

1、 之前对平稳过程的讨论都是在之前对平稳过程的讨论都是在时域上时域上进行的进行的. 相关函数相关函数在时域上描述了平稳过程的统计特征在时域上描述了平稳过程的统计特征. 但对许多物理和工程领域中问题但对许多物理和工程领域中问题,不仅要研究其不仅要研究其 在时域上的特性在时域上的特性,还要研究其在频域内的特征还要研究其在频域内的特征,即即 从从频率的角度频率的角度来研究随机过程的统计特征来研究随机过程的统计特征. 例如对信号处理、线性系统分析以及随机振动的例如对信号处理、线性系统分析以及随机振动的 研究研究. 其中广泛采用的方法是其中广泛采用的方法是频率域分析方法频率域分析方法.4 平稳过程的功率谱

2、密度平稳过程的功率谱密度 频率域分析方法的重要工具是频率域分析方法的重要工具是 Fouier变换变换, 它可以确定时域与频域的转换关系它可以确定时域与频域的转换关系.为了在频域上描述平稳过程的统计特征，需要为了在频域上描述平稳过程的统计特征，需要 研究相关函数的谱分析。为此要引入研究相关函数的谱分析。为此要引入谱密度谱密度. 谱密度是谱密度是在在频域内频域内研究平稳过程的重要指标研究平稳过程的重要指标. 数学上数学上 它是相关函数的它是相关函数的Fouier变换变换,它的物理它的物理 意义是功率谱密度意义是功率谱密度. 时域分析法时域分析法与与频域分析法频域分析法相互联系相互联系,且各有优且各

3、有优 点点,构成了研究平稳过程的两个重要分支构成了研究平稳过程的两个重要分支.1. 功率谱密度的概念功率谱密度的概念21lim( )2TTTPx t dtT工程实际中工程实际中, 能量有限的信号能量有限的信号x(t)称为称为 能量型信号能量型信号, 可以定义它的总能量可以定义它的总能量:2( )x t dt 当时间趋于无穷时当时间趋于无穷时,它的平均功率趋于零它的平均功率趋于零.另一类信号另一类信号x(t),其能量是无限的其能量是无限的,但平均功率有限但平均功率有限.即即称为称为 功率型信号功率型信号.周期信号就是常见的功率信号周期信号就是常见的功率信号.设有确定性信号设有确定性信号x(t)(

4、时间函数时间函数)在区间在区间(-,+ )上绝对上绝对可积可积,则则x(t)的的Fouier变换存在变换存在 (或说或说x(t)具有频谱具有频谱).( )( )j txFx t edt1( )( )2j txx tFed逆变换2( )xWx t dtt记为在(- ,+ )上的总能量21( )( )( )2j txWx t dtxetddtF则1( )( )2j txFx t edt d21( )2xFd221( )( )2(xx tParsevaldtFd即等式)( )( )xFx t2右边的被积式称为信号的能谱密度.说明信号的总能量等于能谱密度在全频域上的积分说明信号的总能量等于能谱密度在全

5、频域上的积分. 右式也是总能量的谱表达式右式也是总能量的谱表达式.( )x t左边为在(- ,+ )上的总能量221( )( )2xx t dtFd即由于实际中很多信号由于实际中很多信号(函数函数)的总能量是无限的的总能量是无限的,不满足绝对可积的条件不满足绝对可积的条件,所以通常研究所以通常研究x(t)在在 (-,+ )上的平均功率上的平均功率,即即21lim( )2TTTx t dtT为了能利用为了能利用Fouier变换给出平均功率的谱表达式变换给出平均功率的谱表达式,构造一个截尾函数构造一个截尾函数:( )( )0Tx ttTx ttT令( )Tx tFourier则绝对可积，存在变换以

6、及逆变换( )( , )( )Tj txj tTTFext dTx t dtetParseval由等式2221( )()2( )TTTxx t dxt dFTdtt,221li1lim( )m( , )42TTxTTx t dtTTFTd21lim12( , )2xTFTTd2211lim( , )lim22( )Tj txTTTxSFTex t dtTTx t称（ ）为（）在 处的功率谱密度21lim221( )Tj tTTTex t dt d定义定义 设设X(t), -t+ 是平稳过程是平稳过程,则称则称1limE( )2Tj tTTeX t dtT2为平稳过程的为平稳过程的功率谱密度功率

7、谱密度. 简称谱密度简称谱密度. 并记并记( , )( )Tj tXTFTeX t dt2211lim( , )lim22( )xxTTTj tTSFTTTxx tet dt即（ ）为确定性信号 ( 在 处的功率谱密度21lim( ).2TTTEXt dtT平为过程的均功率称定理定理1 设设X(t), -t+ 是平稳过程是平稳过程,若若RX() 绝对可积绝对可积,则有则有1lim( )2( )Tj tTTXEeX t dtTS2+2-1lim( , ) =2j uXXTE FTRu eduT（ ）1E( )2Tj tTeX t dtT2证1E( )( )2TTj sj tTTeX s dseX

8、 t dtT()1()2TTjt sXTTeRts dsdtT )utsvts (令22(1)( )2TjwuXTueRu duT21)( )( ),220TXXTRRTT（(令lim( )( ) )TXXTRR则( )XjwuTeRu du1lim( )( )2Tj tTTXEeX t dTSt2即lim( )( )XjwuTjwuXTeRu dueRu du( )XS注意：从上面的定理看出，若平稳过程注意：从上面的定理看出，若平稳过程X(t), tT的的相关函数相关函数RX()绝对可积绝对可积，则相关函数的，则相关函数的傅里叶变换和傅里叶变换和逆变换存在逆变换存在，即有，即有( )( ),

9、-1( )( )-2jXXjXXSeRdReSd 称上式为维纳称上式为维纳-辛锌公式辛锌公式2. 谱密度的性质和计算谱密度的性质和计算性质性质1 平稳过程的谱密度是平稳过程的谱密度是非负实函数非负实函数.特别特别 实实平稳过程的谱密度是非负实平稳过程的谱密度是非负实偶偶函数函数.证明证明1( )lim( )2Tj tXTTSEeX t dtT2( )XS为非负实函数.特别特别 对对实实平稳过程平稳过程,( )jXXSdRe（ ）()XjedR()( )XXRR有)( )XjdRe (XS （- ）XXSS（- ）（ ）性质性质20( )XXSRd（ ）1(0)2XXRSd（ ）平均功率平均功率

10、说明说明 00以上是，时,两对特殊的Fourier变换.第一式说明功率谱密度曲线下的总面积第一式说明功率谱密度曲线下的总面积(平均功率平均功率)等于平稳过程的均方值等于平稳过程的均方值.第二式说明功率谱密度的零频率分量等于相关函数第二式说明功率谱密度的零频率分量等于相关函数曲线下的总面积曲线下的总面积.谱密度的计算谱密度的计算广义积分广义积分-可利用复变函数中的留数定理可利用复变函数中的留数定理 利用已知的基本公式和利用已知的基本公式和Fourier变换的性质等变换的性质等121( ),.,( )2Res ( ),nnkkCf zDz zzf z dzjf z z 函数在区域 内除有限个孤立奇

11、点外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则留数定理 利用已知的一些性质计算，利用已知的一些性质计算，P97 是是R(z)的分母在上半复平面的零点的分母在上半复平面的零点。若若假设假设R(x)是分母无实零点的有理函数，且分子分是分母无实零点的有理函数，且分子分母没有相同的零点，而分母的幂次比分子的幂次母没有相同的零点，而分母的幂次比分子的幂次至少高一次，则有至少高一次，则有( )2Re ( ),j a zjaxkkeR x dxjs eR z zkzkz是是R(z)分母的分母的n重零点，则重零点，则(1)1Re ( ),lim( )() (1)!kj a zj a znnkkzzs

12、 eR z zeR z zznFourier变换的性质变换的性质 线性性质线性性质 位移性质位移性质 微分性质微分性质1212( )( )( )( )f tf tf tf tFFF00 () ( )j tf ttef tFF( )( )() ( )nnftjf tFF例例1：计算电报信号过程的谱密度：计算电报信号过程的谱密度.解：电报信号过程的相关函数为解：电报信号过程的相关函数为2( ),(,)XRe 由维纳由维纳-辛锌公式，辛锌公式，X的谱密度为：的谱密度为：22022( )( )2cos4(,)4jXXjSRedeeded 例例2：设：设X=X(t),t(-,+)是零均值的实的正交增量是

13、零均值的实的正交增量过程，且满足过程，且满足EX(t)-X(s)2=|t-s|. 令：令：Y(t)=X(t)-X(t-1), t(-,+)，验证：随机过程，验证：随机过程Y=Y(t), t(-,+)是平是平稳过程，并计算稳过程，并计算Y的谱密度的谱密度.解解( )( ( )( )(1)0Ym tE Y tE X tX t( ,)( ( ) ()( )(1)()(1)YR t tE Y t Y tE X tX tX tX t22221 ( )(1)( )()2(1)()(1)(1) E X tX tE X tX tE X tX tE X tX t1,111210,12 因此，因此，Y是平稳过程，

14、利用公式可得是平稳过程，利用公式可得Y的谱密度如下：的谱密度如下：11222( )( )(1)4sin ()2(1 cos)2,jjYYSeRded 例例3：设平稳过程设平稳过程X=X(t): t (-,+)有谱密度有谱密度242( )32XS试计算平稳过程试计算平稳过程X的平均功率的平均功率RX（0）.解：2042221(0)221111()( 21)2212jXRedd例例4. 已知平稳过程的功率谱密度为已知平稳过程的功率谱密度为2424( )109XS求其相关函数与平均功率求其相关函数与平均功率.利用留数定理1( )( )2jXXReSd222142(9)(1)jed222222142R

15、es(, )2(9)(1)4Res(,3 )(9)(1)jjjejej335()1648jeejj3351648ee222222443Res(, )lim()(9)(1)(9)(1)16jjjejjeej222222344Res(,3 )lim(3 )(9)(1)(9)(1)548jjjejjeej225131( )8981XS解-22244e利用F3122222231225 143 148 64( )8 24( )113122222231225434( )484( )164( )XRFF3534816ee7(0)24XR例例5. 已知平稳过程的相关函数已知平稳过程的相关函数32( )54(c

16、os 2 )XRe求其谱密度求其谱密度.33( )522cos4 )XRee解( )XXSRF3325 122cos 4 eeFF F10( ) 2129223329(4)9(4)上面讨论的平稳过程的谱密度是针对连续时间参数上面讨论的平稳过程的谱密度是针对连续时间参数的，对于离散时间参数的平稳序列有类似的概念和的，对于离散时间参数的平稳序列有类似的概念和结论结论.设设Xn, n=0, 1,为为平稳时间序列平稳时间序列,且其相关函数且其相关函数绝绝对收敛对收敛，即，即( )XmRm 则以下级数收敛，并记为则以下级数收敛，并记为SX(),即即( ),j mXXmSeRm （ ）称函数SX()是平稳

17、过程是平稳过程X的谱密度的谱密度.且有反变换且有反变换1( ),0, 1, 2,2j mXXRmeSdm （ ）举例举例2 设设Xn, n=0, 1,为复随机变量序列为复随机变量序列,且且2E0,0, 1,.EX(m)X(n)=,0, 1,.nmnXnn m 试求试求Y(n), n=0, 1, 2,的谱密度的谱密度. 2,0, 1,()l.i.m()nnnnnNkkMkkMNC nCCC X nkC X nk 为一复数序列,且令 Y(n)=1.要证该序列为平稳序列2.说明相关函数是绝对收敛的3.利用维纳-辛钦公式计算谱密度.( )()YkkmnC X nk=E()0kkCX nk=E( ,)(

18、 ) ()YRn nmY n Y nm=E()()kllC X nkC X nml+k=-=-EE()()klklC CX nk X nml +=-2( )kk mYRmC C+k=- ( ),1,.Y n n 为平稳时间序列2( )kk mYmmC CRm+k=-又2mkk mCC+k=-22nlklnCCC +k=-）（( )Y n存在谱密度，且为2( )j mj mXXmkk mmC CSeRme+k=-（ ）2lkjj kllkC eCe +=-22j kkkeC3. 互谱密度及其性质互谱密度及其性质定义定义 设设X(t), -t+ , Y(t), -t+ 是联合平是联合平 稳的平稳过

19、程稳的平稳过程,如果互相关函数绝对可积如果互相关函数绝对可积,即即( )XYRd 则称则称( ),jXYXYSeRd （ ）为平稳过程为平稳过程X(t), -t+ 和和 Y(t), -t+ 的的互谱密度互谱密度.设设X(t), -t+ , Y(t), -t+ 是联合平稳的是联合平稳的平稳过程平稳过程,如果互相关函数绝对可积如果互相关函数绝对可积,则则1( )lim( , )( , )2XYXYTSE FTFTT定理定理2其中其中,( , )()( ),TjTj ttYTXTFFTeX tTYtdet dt说明说明 互谱密度没有明确的物理意义互谱密度没有明确的物理意义,引入它主要是为了引入它主要

20、是为了能在频率域上描述两个平稳过程的相关性能在频率域上描述两个平稳过程的相关性. 互谱密度的性质互谱密度的性质( )(1)( )XYYXSS)2)().(XYXYRSFourier和是一对变换1( ),2jXYXYReSd （ ）( ),jXYXYSeRd （ ）( )() )XYYXRR(3) 若若X(t), -t+ , Y(t), -t+ 是实联合是实联合 平稳的平稳过程平稳的平稳过程,则则SXY()的实部为偶函数的实部为偶函数,虚部虚部 为奇函数为奇函数.( )jXYXYSeRd（ ）( )cos( )sinXYXYRdjRd （ 的偶函数）（ 的奇函数）22( )( )( )( )(4)( )XYXYYXXYSSSSSS，221( )lim( , )( , )2XYXYTSE FTFTT2221limE( , ) E( , ) 4XYTFTFTT2211limE( , ) limE( , ) 22XYTTFTFTTT( )( )XYSS同理证明另一个同理证明另一个.举例举例 设设X(t), -t+ , Y(t), -t+ 是联合平是联合平 稳的平稳过程稳的平稳过程,它们的谱密度与互谱密度分别为它们的谱密度与互谱密度分别为 SX (), SY() ,SXY().令令Z(t)=X(t)+Y(t), -t+ 试求试求 Z(t), -t 0 ,试证试证: