D95隐函数求导2实用教案

1、一、一个一、一个(y )方程所确定的隐函数及方程所确定的隐函数及其导数其导数定理定理(dngl)1. (dngl)1. 设函数设函数则方程则方程(fngch(fngchng)ng)单值连续函数单值连续函数 y = f (x) ,并有连续并有连续(隐函数求导公式隐函数求导公式)定理证明从略，定理证明从略，仅就求导公式推导如下：仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数具有连续的偏导数; ;的的某邻域内某邻域内可唯一确定一个可唯一确定一个在点在点的某一邻域内满足的某一邻域内满足满足条件满足条件导数导数第1页/共20页第一页，共21页。两边两边(lingbin)对对 x 求导求导yxFFxydd在在的

2、某邻域的某邻域(ln y)内内则则第2页/共20页第二页，共21页。若若F( x , y ) F( x , y ) 的二阶偏导数的二阶偏导数(do (do sh)sh)也都连续也都连续, ,二阶导数二阶导数(do sh) :xy则还可求隐函数则还可求隐函数(hnsh)(hnsh)的的 第3页/共20页第三页，共21页。例例1. 验证验证(ynzhng)方程方程在点在点(0,0)某邻域某邻域(ln y)可确定一个可确定一个(y (y )单值可单值可导隐函数导隐函数解解: 令令连续连续 ;由由 定理定理1 可知可知, )(xfy 导的隐函数导的隐函数 则则在在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可

3、的某邻域内方程存在单值可且且并求并求第4页/共20页第四页，共21页。,eyFxxxyFy cos第5页/共20页第五页，共21页。两边两边(lingbin)对对 x 求导求导1两边两边(lingbin)再再对对 x 求导求导令令 x = 0 , 注意注意(zh y)此时此时导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导利用隐函数求导第6页/共20页第六页，共21页。定理定理(dngl)2 .若函数若函数(hnsh) 的某邻域内具有连续的某邻域内具有连续(linx)偏导偏导数数 ;则方程则方程在点在点并有连续偏导数并有连续偏导数定一个单值连续函数定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,

4、 定理证明从略定理证明从略, 仅就求导公式推导如下仅就求导公式推导如下:满足满足 在点在点满足满足:某一邻域内可唯一确某一邻域内可唯一确第7页/共20页第七页，共21页。两边两边(lingbin)对对 x 求偏导求偏导同样同样(tngyng)可得可得则则第8页/共20页第八页，共21页。例例2. 设设解法解法(ji f)1 利用隐函数求利用隐函数求导导再对再对 x 求导求导第9页/共20页第九页，共21页。解法解法(ji f)2 利用公式利用公式设设则则两边两边(lingbin)对对 x 求偏导求偏导322)2()2(zxz解法解法(ji f)3 微分法微分法第10页/共20页第十页，共21页

5、。例例3.设设F( x , y)具有具有(jyu)连续偏连续偏导数导数,解法解法1 利用偏导数利用偏导数(do sh)公式公式.确定确定(qudng)的隐的隐函数函数,则则已知方程已知方程故故第11页/共20页第十一页，共21页。对方程两边对方程两边(lingbin)(lingbin)求微求微分分: :解法解法(ji f)2 (ji f)2 微分法微分法. . 2F第12页/共20页第十二页，共21页。解法(ji f)1：解解令则第13页/共20页第十三页，共21页。整理(zhngl)得第14页/共20页第十四页，共21页。整理(zhngl)得整理(zhngl)得第15页/共20页第十五页，共

6、21页。解法解法2. 2. 利用全微分形式不变性同时利用全微分形式不变性同时(tngsh)(tngsh)求求出各偏导数出各偏导数. .第六节 由由d y, d z 的系数即可得的系数即可得 同理可得其他同理可得其他(qt)两个偏导。两个偏导。第16页/共20页第十六页，共21页。内容内容(nirng)小结小结1. 隐函数隐函数( 组组) 存在存在(cnzi)定理定理2. 隐函数隐函数(hnsh) ( 组组) 求求导方法导方法方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算 ;方法方法2. 利用微分形式不变性利用微分形式不变性 ;方法方法3. 代公式代公式 .第17页/共20页第十七页，共21页。作业作业(zuy) (zuy) P89 P89 1, 2, 4, 5, 7 1, 2, 4, 5, 7第18页/共20页第十八页，共21页。解解令则第19页/共20页第十九页，共21页。感谢您的观看(gunkn)！第20页/共20页第二十页，共21页。NoImage内容(nirng)总结一、一个方程所确定的隐函数及其导数。 具有连续的偏导数。在点(0,0)某邻域。解: 令。由 定理1 可知(k zh),。在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可。两边再对 x 求导。两边对 x 求偏导。解法1 利用隐函数求导。