D96多元函数微分学的几何应用实用教案

1、复习复习(fx): (fx): 平面曲线的平面曲线的切线与法线切线与法线已知平面(pngmin)光滑曲线切线(qixin)方程法线方程0yy 若平面光滑曲线方程为故在点),(00yx切线方程法线方程在点有有因 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共27页第一页，共28页。一、空间一、空间(kngjin)曲线的切线与法曲线的切线与法平面平面过点 M 与切线垂直的平面称为(chn wi)曲线在该点的法机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 位置.空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.点击图中任意点动画开始或暂停第2页/共27页第二页，共28页。1. 曲线曲线

2、(qxin)方程为参数方程方程为参数方程的情况的情况切线切线(qixin)方程方程机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 TMM第3页/共27页第三页，共28页。此处要求(yoqi)也是法平面的法向量(xingling),切线(qixin)的方向向量:称为曲线的切向量切向量 .如个别为0, 则理解为分子为 0 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 M不全为0, )(, )(, )(000tttTT因此得法平面方程法平面方程 说明说明: 若引进向量函数 ) )(, )(, )()(ttttr, 则 为 r (t) 的矢端曲线, 处的导向量 )(, )(, )()(0000ttttr就是该

3、点的切向量.o)(trT第4页/共27页第四页，共28页。zyxo例例1.求圆柱(yunzh)螺旋线 对应点处的切线(qixin)方程和法平面方程.切线(qixin)方程法平面方程即即解解: 由于对应的切向量为在机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),0,(kRT, 故第5页/共27页第五页，共28页。2. 曲线为一般曲线为一般(ybn)式式的情况的情况光滑(gung hu)曲线当曲线(qxin)上一点, 且有时, 可表示为处的切向量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(, )(, 100 xxT第6页/共27页第六页，共28页。则在点切线切线(qixin)方方程程法平面方程法平面方程(

4、fngchng)有MzyGF),(),()(0 xx 或或机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(第7页/共27页第七页，共28页。也可表为法平面方程法平面方程(fngchng)机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第8页/共27页第八页，共28页。例例2. 求曲线求曲线(qxin)在点M ( 1,2, 1) 处的切线(qixin)方程与法平面方程. 切线(qixin)方程解法解法1 令则即切向量xyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 )6,0, 6(T第9页/共27页第九页，共28页。法平面方程法平面方程(f

5、ngchng)即机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 解法解法(ji f)2. 方程组两边对方程组两边对 x 求求导导, 得得曲线在点 M(1,2, 1) 处有:切向量解得MMxzxyTdd,dd,1第10页/共27页第十页，共28页。切线(qixin)方程121zyx即0202yzx法平面方程(fngchng)即点 M (1,2, 1) 处的切向量(xingling)0机动 目录 上页 下页 返回 结束 )1,0, 1(T第11页/共27页第十一页，共28页。二、曲面二、曲面(qmin)的切平面与的切平面与法线法线 设 有光滑(gung hu)曲面通过(tnggu)其上定点对应点

6、M,切线方程为不全为0 . 则 在且点 M 的切向量切向量为任意引一条光滑曲线MT下面证明:此平面称为 在该点的切平面切平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. )(, )(, )(000tttT第12页/共27页第十二页，共28页。MT证证:机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 在 上,0得)(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于(yuy)曲线 的任意性 , 表明(biomng)这些切线都在以为法向量n的平面上 , 从而切平面存在 .n第13页

7、/共27页第十三页，共28页。曲面(qmin) 在点 M 的法向量法线法线(f xin)方程方程切平面切平面(pngmin)方方程程),(000zyxFxMTn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx复习 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共27页第十四页，共28页。曲面(qmin)时, 则在点故当函数(hnsh) 法线法线(f xin)方程方程令特别特别, 当光滑曲面当光滑曲面 的方程为显式的方程为显式 在点有连续偏导数时, 切平面方程切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共27页第十五页，共28页。法向量法向量(xingling)

8、用将法向量的方向法向量的方向(fngxing)余弦：余弦：表示法向量(xingling)的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx复习 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共27页第十六页，共28页。例例3. 求球面求球面(qimin)在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线(f xin)方程. 解解:所以(suy)球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 即法线方程法线方程法向量令机动 目录 上页 下页 返回 结束 )6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n第17页/共27页第十七页，共28页。

9、例例4. 确定正数确定正数(zhngsh) 使曲面使曲面在点),(000zyxM解解: 二曲面二曲面(qmin)在在 M 点的法向量点的法向量分别为分别为二曲面(qmin)在点 M 相切, 故又点 M 在球面上,于是有相切.与球面机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有22第18页/共27页第十八页，共28页。1. 空间(kngjin)曲线的切线与法平面 切线(qixin)方程法平面方程(fngchng)(00 xxt1) 参数式情况. 空间光滑曲线切向量内容小结内容小结)( )(00yyt0)(00zzt机动 目

10、录 上页 下页 返回 结束 )(, )(, )(000tttT第19页/共27页第十九页，共28页。切线(qixin)方程法平面方程(fngchng)空间光滑(gung hu)曲线切向量2) 一般式情况一般式情况.)(0 xx )(0yy 0)(0 zz机动 目录 上页 下页 返回 结束 T第20页/共27页第二十页，共28页。空间光滑(gung hu)曲面0),(:zyxF曲面(qmin) 在点法线法线(f xin)方程方程1) 隐式情况 .的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线机动 目录 上页 下页

11、返回 结束 ),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx第21页/共27页第二十一页，共28页。空间光滑(gung hu)曲面切平面切平面(pngmin)方方程程法线法线(f xin)方程方程2) 显式情况显式情况.法线的方向余弦方向余弦法向量法向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1 ,(yxffn第22页/共27页第二十二页，共28页。思考思考(sko)与与练习练习1. 如果(rgu)平面与椭球面相切,提示提示(tsh): 设切设切点为点为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 (二法向量平行) (切点在平面上)(切点在椭球面上)第23页/共27页第二十

12、三页，共28页。证明(zhngmng) 曲面上任(shng rn)一点处的切平面(pngmin)都通过原点.提示提示: 在曲面上任意取一点则通过此 作业作业 P45 2，3，4，5，8，9，102. 设设 f ( u ) 可可微微,第七节 目录 上页 下页 返回 结束 证明原点坐标满足上述方程 .点的切平面为第24页/共27页第二十四页，共28页。 1. 证明证明(zhngmng)曲面曲面与定直线(zhxin)平行,证证: 曲面上任曲面上任(shng rn)一点一点的法向量的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立 .的所有切平面恒备用题机动 目录 上页 下页 返回 结束 (n(l,0nl第25页/共27页第二十五页，共28页。2. 求曲求曲线线(qxin)在点(1,1,1) 的切线(qixin)解解: 点点 (1,1,1) 处两曲面处两曲面(qmin)的法的法向量为向量为因此切线的方向向量为由此得切线:9法平面:即与法平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1 , 1 , 1 (1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl第26页/共27页第二十六页，共28页。感谢您的观看(gunkn)！第27页/共27页第二十七页，共28页。NoImage内容(nirng)总结复习(f