多边形的密铺

1、计算下列正多边形每个内角的度数并填空计算下列正多边形每个内角的度数并填空54054010810872072012012036036090901801806060900900900900/7/7108010801351351440144014414415015018001800地砖地砖美丽的图案美丽的图案请观察请观察,这些图形在拼接时有什么特点这些图形在拼接时有什么特点?如果你是设计师，如果你是设计师，让你设计几种地板让你设计几种地板图案，你如何设计图案，你如何设计呢？呢？基本概念基本概念平面图形的密铺平面图形的密铺: 用形状和大小完全相同的一种或几种用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行

2、拼接，彼此之间不留空平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的图形的镶嵌镶嵌，又称平面图形的，又称平面图形的密铺密铺.学一学学一学密铺密铺的两个条件：的两个条件：1、相相等的一种或几种平面图形；等的一种或几种平面图形；2、无空隙、不重叠铺成一片。、无空隙、不重叠铺成一片。能能密铺密铺的图形在一个拼接的图形在一个拼接点处的特点：点处的特点： 1. 1.各角之和等于各角之和等于360360, , 2. 2.相等的边互相重合。相等的边互相重合。结论结论 1如图如图,为什么有的形状的地砖能铺成为什么有的形状的地砖能铺成无缝隙的地板而有的却不可

3、以呢无缝隙的地板而有的却不可以呢?想想一一想想正方形正方形正三角形正三角形正六边形正六边形正五边形正五边形正八边形正八边形密铺密铺平面图案需要的什么条件？平面图案需要的什么条件？拼接在同一个点的各个角拼接在同一个点的各个角的和恰好等于的和恰好等于360360度度123想一想想一想（1） 正三角形的平面密铺正三角形的平面密铺606060606060（2） 正方形的平面密铺正方形的平面密铺909090 90（3） 正六边形的平面密铺正六边形的平面密铺120 120 120 能能能能能能正三角形正三角形正方形正方形正五边形正五边形正六边形正六边形6 64 43 3不能不能6 64 460606060

4、6060909090 90120 120 120 用同一种正多边形能密铺地面的有三种用同一种正多边形能密铺地面的有三种: :正三角形、正方形、正六边形正三角形、正方形、正六边形还能找到能密铺的其他正多边形吗？还能找到能密铺的其他正多边形吗？ 要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是这种正多边形的一个内角的倍数是否是360，在正多边形里，正三角形的每个在正多边形里，正三角形的每个内角都是内角都是60，正四边形的每个内角都是，正四边形的每个内角都是90，正六边形的每个内角都是，正六边形的每个内角都是120，这三种多边形的一个内角

5、的倍数都是这三种多边形的一个内角的倍数都是360，而其他的正多边形的每个内角的，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是倍数都不是360，所以说：，所以说：在正多边形在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可里只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺以密铺，而其他的正多边形不可密铺 解得解得仅用一个正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，仅用一个正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须要求必须要求在公共顶点上所有内角和为在公共顶点上所有内角和为360360度度。(2)180360nmn63mn44mn36mn24222nmnn3,nn m因为且都是正整数故n只能取3,4,6

6、能单独镶嵌平面的正多边形只有三种：能单独镶嵌平面的正多边形只有三种： 正三角形、正四边形、正六边形正三角形、正四边形、正六边形令正多边形的边数为令正多边形的边数为n,n,个数为个数为m,m,则有则有正多边形可以镶嵌的条件：正多边形可以镶嵌的条件：每个内角都能被每个内角都能被360360o o 整除。整除。 小博士的妈妈准备把一些形状，大小相同的三角小博士的妈妈准备把一些形状，大小相同的三角形花布丢掉，形花布丢掉，小博士：小博士：妈妈，这些花布很好看，您为什么要丢妈妈，这些花布很好看，您为什么要丢掉呢？掉呢？妈妈：妈妈：小聪，这些布是很漂亮，可是面积太小，小聪，这些布是很漂亮，可是面积太小，做不

7、了什么东西只好丢掉！做不了什么东西只好丢掉！小博士：小博士：别扔，让我想想办法，把这些布头拼成别扔，让我想想办法，把这些布头拼成一块漂亮的桌布吧一块漂亮的桌布吧.结论：结论：形状、大小完全相同的任意三角形能密铺形状、大小完全相同的任意三角形能密铺成平面图形成平面图形. .在一个车间的角落里，正堆放着大量的四边在一个车间的角落里，正堆放着大量的四边形木块，这些废木块的大小、形状是一样的，它形木块，这些废木块的大小、形状是一样的，它们既不是正方形，也不是长方形，都是不规则的们既不是正方形，也不是长方形，都是不规则的四边形，如果把它们做成比较规则的形状，必须四边形，如果把它们做成比较规则的形状，必须

8、剧掉一些边角，就要浪费很多木料，有人建议用剧掉一些边角，就要浪费很多木料，有人建议用这些木料来铺地板！同学们说说行吗？这些木料来铺地板！同学们说说行吗？结论：结论：形状、大小相同的任意四边形能密铺成形状、大小相同的任意四边形能密铺成平面图形平面图形（2 2）用一种）用一种形状、大小完全相同形状、大小完全相同的的三角三角形形，四边形四边形也能密铺地面也能密铺地面（1 1）同）同一种正多边形一种正多边形能密铺地面的有三种能密铺地面的有三种: : 正三角形、正方形、正六边形正三角形、正方形、正六边形结论一：结论一：是不是密铺只能用一种多边形呢？用两种是不是密铺只能用一种多边形呢？用两种正多边形可以吗

9、？观察这些密铺图案，总正多边形可以吗？观察这些密铺图案，总结一下哪两种正多边形可以密铺？结一下哪两种正多边形可以密铺？二、用两种正多边形进行平面镶嵌二、用两种正多边形进行平面镶嵌1、正三角形与正方形、正三角形与正方形设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有m个正三角形的角，个正三角形的角，n个正个正方形的角，那么这些角的和应该满足方程：方形的角，那么这些角的和应该满足方程：m.60+ n.90= 360即即 2m+ 3n= 12这个方程的正整数解为这个方程的正整数解为m=3,n=2则记作（则记作（3，3，3，4，4）3 3个个正三角形正三角形+2+2个个正方形正方形二、用两种正多边形进行平面镶嵌二

10、、用两种正多边形进行平面镶嵌1、正三角形与正六边形、正三角形与正六边形设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有m个正三角形的角，个正三角形的角，n个正个正六边形的角，那么这些角的和应该满足方程：六边形的角，那么这些角的和应该满足方程：m.60+ n.120= 360即即 m+ 2n= 6这个方程的正整数解为这个方程的正整数解为m=4,n=1或者或者m=2,n=21201206060图案图案（）（3，3，6，6）2 2个个正三角形正三角形+2+2个个正六边形正六边形图案图案（）60601206060每个顶点处正六边形每个顶点处正六边形1 1个，正三角形个，正三角形4 4个个. .（3，3， 3， 3

11、，6）4 4个个正三角形正三角形+1+1个个正六边形正六边形1、如果用正四边形与正八边形，如何、如果用正四边形与正八边形，如何密铺密铺？2、如果用正三角形与、如果用正三角形与正十二边形，如何正十二边形，如何密铺密铺？正八边形与正方正八边形与正方形的平面镶嵌形的平面镶嵌正十二边形与正三角形正十二边形与正三角形的平面镶嵌的平面镶嵌1 1个个正三角形正三角形+2+2个个正十二边形正十二边形1 1个个正方形正方形+2+2个个正八边形正八边形2 2个个正五边形正五边形+1+1个个正十边形正十边形正三角形、正方形、正六边形的镶嵌正三角形、正方形、正六边形的镶嵌用用两种正多边形两种正多边形进行密铺时，一般有

12、进行密铺时，一般有五种组合：五种组合：正三角形和正三角形和正方形正方形正六边形正六边形正十二边形正十二边形正方形和正八边形正方形和正八边形正五边形和正十边形正五边形和正十边形结论二：结论二：用三种多边形可以密铺吗？看看这些密铺用三种多边形可以密铺吗？看看这些密铺的图案。总结一下，哪三种正多边形可以的图案。总结一下，哪三种正多边形可以密铺？密铺？用三种正多边形进行密铺时，一般有两用三种正多边形进行密铺时，一般有两种组合：种组合：正三角形、正方形和正六边形正三角形、正方形和正六边形正方形、正六边形和正十二边形正方形、正六边形和正十二边形结论三：结论三：发现二发现二:用一种用一种形状、大小完全相同的

13、三角形，形状、大小完全相同的三角形，四边形四边形也能进行平面镶嵌也能进行平面镶嵌发现一发现一:同一种正多边形进行平面镶嵌的图形同一种正多边形进行平面镶嵌的图形只有三种只有三种:正三角形、正方形、正六边形正三角形、正方形、正六边形发现三发现三:正多边形镶嵌的条件：正多边形镶嵌的条件：（1）同一顶点的各角度数和为）同一顶点的各角度数和为360度；度；（2）各个正多边形的边长要相等。）各个正多边形的边长要相等。1 1、用同一种多边形密铺：、用同一种多边形密铺：（1 1）正多边形：）正多边形：正三、正四、正六正三、正四、正六（2 2）非正多边形：）非正多边形：三角形、四边形三角形、四边形2 2、用两种

14、正多边形密铺：、用两种正多边形密铺：正三、正六正三、正六 正三、正四正三、正四正三、正十二正三、正十二 正四、正八正四、正八正五、正十正五、正十3 3、用三种多边形密铺：、用三种多边形密铺：正三、正四、正六正三、正四、正六或或正四、正六、正十二正四、正六、正十二1 1用边长相等的正多边形进行密铺，下列正多用边长相等的正多边形进行密铺，下列正多边形能和正八边形密铺的是边形能和正八边形密铺的是( )( )(A)(A)正三角形正三角形 (B) (B)正六边形正六边形 (C)(C)正五边形正五边形 (D) (D)正四边形正四边形 2 2下列多边形的组合中，能够铺满地面的是（下列多边形的组合中，能够铺满

15、地面的是（ ) )A A 正三角形和正五边形正三角形和正五边形 B B 正六边形和正三角形正六边形和正三角形 C C 正五边形和正八边形正五边形和正八边形 D D 正八边形和正三角形正八边形和正三角形课堂检测课堂检测3 3用若干同样大小的正三角形能拼成的图形是用若干同样大小的正三角形能拼成的图形是（ ）A A 正八边形正八边形 B B 正六边形正六边形 C C 正五边形正五边形 D D 正方形正方形4 4、下列多边形一定不能进行密铺的是（、下列多边形一定不能进行密铺的是（ ）A A三角形三角形 B B正方形正方形 C C任意四边形任意四边形 D D正八边形正八边形5 5、用正方形一种图形进行密铺时，在它的一个、用正方形一种图形进行密铺时，在它的一个顶点周围的正方形的个数是（顶点周围的正方形的个数是（ ） A A、 3 B 3 B 、4 C4 C、5 D 5 D 、6 6 6 6、如果只用一种正多边形进行密铺，而且在、如果只用一种正多边形进行密铺，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有每一个正多边形的每一个顶点周围都有6 6个正个正多边形，则该正多边形的边数为（多边形，则该正多边形的边数为（ ）A A、3 B