高二数学正弦定理余弦定理的应用.

1、第八节正、余弦定理的应用第八节正、余弦定理的应用基础梳理基础梳理解三角形(1)解三角形：_.一般地，把三角形三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 (2)解三角形的类型：已知三边求三角，用_定理；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角， 用_定理；已知两角和任一边，求其他两边和一角，用_定理；已知两边和一边的对角，求第三边和其他两角，用_定理 余弦 余弦 正弦 正弦 基础达标基础达标 1.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60，C点的俯角为70，则BAC=_.解析：如图，由已知BAD=60，CAD=70，

2、BAC=60+70=130.2. 若P在Q的北偏东44，则Q在P的_方向解析：如图，依题意知AQP=44，则点Q在点P的南偏西44. 3. (必修5P18例1改编)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)要测算出A、B两点间的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC=100 m，B=60，C=45，则AB=_m.解析：B=60，C=45， A=75. ABsinC,BCsinAAB= 21002100( 31).624BCsinCsinA4. (必修5P21第8题改编)如图，A、B两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C，测得CA=80 m，CB=40 mACB=60，

3、则A、B两地之间距离为_ m.解析：由余弦定理，得AB2=CA2+CB2-2CACBcosC =802+402-2 218040403,2AB=403.5. 已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC边上的中线AD的长为_解析： 如图所示，B=60，AB=1，BD=2，由余弦定理得AD=2222260122 1 2603.ABBDAB BDcoscos 经典例题经典例题题型一距离问题【例1】一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30方向若货轮的速度为30 n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮

4、的西北方向处，求A、D两处的距离分析：如图所示，由条件可知ACD是等腰直角三角形，故只要求出AC即可，而ABC中，AB可知，CAB，CBA都可知利用正弦定理可求出AC. 解：如图所示，在ABC中，CAB=45，ABC=90+30=120，ACB=180-45-120=15，AB=30 0.5=15(n mile)则由正弦定理，得 ,ACABsin ABCsin ACB即 15.12015ACsinsin又sin 15= 62,4sin 120= 3,2AC= 151203 26152sinsin15(n mile) 在ACD中，A=D=45，ACD是等腰直角三角形，AD= 2AC=15(3+

5、3)(n mile)， A、D两处的距离为15(3+ 3) n mile.题型二高度问题【例2】某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30，求塔高分析：依题意画出示意图形如图所示，在BDC中，可用正弦定理求BD的长，要使仰角AEB最大，即使tanAEB最大由于AB是塔高，是定值，故只要BE最小就可以了，故当BEDC时为最小，即BE长可求出然后在RtABE中求出塔高AB的长解：如图所示，在BDC中，CD=40 m， BCD=90-60=30，DBC=180-45=135.由正弦定理，得 CDBDsin DBCsin BCD，BD= 40302

6、0 2135CDsin BCDsinsin DBCsin（m）.在RtABE中， tanAEB=.ABBEAB为定值，若要使仰角AEB最大， 则BE要最小，即BECD，这时AEB=30.在RtBED中， BDE=180-135-30=15， BE=BDsinBDE=20 2sin 15 10( 31)( )m在RtABE中，AB=BEtanAEB 1010( 31)tan30(33)( ).3m塔的高度为 10(33) .3m题型三角度问题【例3】近几年来，印度洋海域索马里海盗活动猖獗，并频频袭击过往货轮，2011年某月某日，巡逻人员在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A处 ( 31)海里的B

7、处一货轮遭到抢劫，立即发出阻截信号，此时，在A处北偏西75方向，距离A处2海里的C处的中国编队接到信号后，立即以10 海里/小时的速度追截海盗船，而海盗船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问：中国编队沿什么方向行驶能最快追上海盗船？ 3分析：画出示意图如图所示，设 中国编队应按CD方向行驶，且在D处追上海盗船在ABC中，可由余弦定理求出BC；然后，再在BCD中，由正弦定理求出BCD，则追截方向可定解：如图，设中国编队用t h在D处追上海盗船，则有CD=10 3 , tBD=10t，在ABC中，AB= 31,AC=2，BAC=120，由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB

8、ACcosBAC22( 31)22 ( 31) 2 cos1206,BC= 6,cosCBA= 222263142,222 631BCABACBC AB CBA=45，即B在C的正东方向CBD=90+30=120，在BCD中，由正弦定理得sinBCD= 101201,210 3BD sin CBDtsinCDtBCD=30，ECD=60.故中国编队应沿北偏东60方向才能最快追上海盗船变式3-1甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距10海里，乙船向正北方向行驶，若甲船速度是乙船的 3倍，问：甲船应向什么方向行驶才能追上乙船？ 解析：如图，设乙船行驶了x海里，则甲船行驶了 3x海里，两船在C处相遇 在ABC中，ABC=