第6章 多项式矩阵理论

1、第六章多项式矩阵理论（数学基础部分）引言引言（经典控制理论、现代控制理论、多项式矩阵理论的应用）（经典控制理论、现代控制理论、多项式矩阵理论的应用） 50年代以前，以控制理论和电路理论为两大支柱的线性系统理论已经发展成为相当成熟的“经典线性系统理论”。 经典线性系统理论的主要特征：研究对象 线性定常单变量系统；数学工具 复变函数（特别是傅里叶变换和拉普拉斯变换）；研究方法 频率响应法；理论优点 输入、输出和反馈信号的物理概念清晰、易于测量；理论缺点 只能反映系统的外部特性和行为，是一种外部描述法； 设计自由度小、指标模糊，需要反复试凑才能完成任务。科学家：在频域中通过传递函数矩阵探求与时域中状

2、态空间法并行的有益结果。科学家：在频域中通过传递函数矩阵探求与时域中状态空间法并行的有益结果。 50年代以后，宇航事业、过程控制和计量经济学等的发展，被研究对象从简单的单变量系统发展成规模庞大、结构复杂的多边量系统，人们为了建立精确的模型还要考虑到系统具有的非线性和时变特性。Bellman 和 Kalman 等学者借助于状态概念建立了“现代控制理论”。 现代控制理论的主要特征：研究对象 复杂的多变量系统；数学工具 线性代数；研究方法 状态空间法；理论优点 揭示系统的内部、外部特性和行为，设计自由度大、目标明确；理论缺点 建立复杂系统的状态空间表达式（动态方程）非常困难； 状态变量的物理概念比较

3、隐晦、且并不总具备可测量特性。本章主要内容本章主要内容 多项式矩阵理论是线性系统复频域理论的主要数学基础，这里主要学习与多项式、多项式矩有关的数学知识：多项式及其互质性多项式矩阵极其属性多项式矩阵的初等变换、多项式矩阵的行（列）次行(列）既约多项式矩阵、多项式矩阵互质性1.多项式矩阵的Smith规范型、线性矩阵束sE-A和 Kronecker规范型 1963年，V.Belevitch： 将多项式矩阵的互质性与Kalman提出的可控性、可观测性联系起来。 1970年， H. Rosenbrock：系统地研究了多项式矩阵表达式与状态空间表达式之间的关系；并提出了解耦零点的概念。 随后，大量的学者投

4、身于线性定常系统的多项式矩阵描述、传递函数矩阵的矩阵分式描述方面的研究。 在频域中通过传递函数矩阵获得的与时域中状态空间法并行的有益结果：v传递函数矩阵的矩阵分式描述法（MFDMatrix Fraction Description）；v系统的多项式矩阵描述法（PMDPolynomial Matrix Description ） 。6.1 多项式及其互质性多项式及其互质性) 16(, 2 , 1 , 0,)(0111niRdCsdsdsdsdsdinnnn)26()(deg)(deg)()()()(sdsrsrsdsqsn1 多项式及其性质多项式及其性质 以复数 s 为自变量的实系数多项式 d(

5、s)v d(s) 的次数：n = deg d(s)；v d(s)为n 次多项式 ：最高次幂系数dn 0；v 首一多项式：最高次幂系数 dn = 1 。必为首一多项式。均为首一多项式，、若，若当且仅当)()()()()5();(deg),(maxdeg)()(deg0)()()4(;0)()(deg,0)(deg)(deg)3();(deg)(deg)()(deg)2(;0)()()1 (snsdsnsdsnsdsnsdsnsdsnsdsnsdsnsdsnsdsnsd 定理定理6-1 (欧几里德除法定理)设 d(s), n(s) s 且d(s)0, 则存在唯一的 q(s), r(s) s，使得多

6、项式的性质多项式的性质：设多项式d(s)，n(s) s, d(s) 0, n(s) 0证明：情况证明：情况1： deg n(s) deg d(s), 则 q(s)=0, r(s)=n(s) 情况情况2： deg n(s) deg d(s), 则采用长除法直接用d(s)去除 n(s) 得到商式和余式，商式便是 q(s)，余式便是 r(s)。这里 q(s) 的最低次幂 0。下面证唯一性。设除了商式q(s) 和余式 r(s)外，还有商式q1(s)和余式r1(s)，则)59()()22()(225942217242213022, 2)(, 132)(222323223ssdssnsssssssssss

7、ssssssdsssn)(sq)(sr)36()()()()()()()()()()()()(1111srsrsdsqsqsrsdsqsrsdsqsn或【例例6-1】 如果q(s) - q1(s) 0，则(6-3)式左边阶次大于或等于deg d(s)，而(6-3)式右边阶次应小于deg d(s)，产生矛盾。所以 q(s) = q1(s)， r(s) = r1(s)推论推论6-2 (余式定理)若n(s) (s), , 则n(s)被d(s)=(s- )除余式为常数n()。所以，余式为n()。证毕。)46()(lim)(lim)(, 1)deg()(degrrssqsnrsrssrss为常数证明：证

8、明： 多项式的因式和互质性多项式的因式和互质性 （设d(s)，n(s)，r(s)为多项式）因式因式：如果多项式n(s)可被多项式r(s)整除，则称r(s)为n(s)的一个因式。公因式公因式： r(s) 既是 d(s)的因式又是 n(s) 的因式，则r(s) 是d(s)和 n(s) 的公因式。平凡公因式平凡公因式：非零常数。 注注：非零常数总是每对d(s)和n(s)的公因式。非平凡公因式非平凡公因式：阶次大于或等于1的多项式。最大公因式：最大公因式：如果 r(s) 是 d(s) 和 n(s) 的公因式，而且可被 d(s) 和 n(s) 的每个公因式整除，则称 r(s) 是 d(s) 和 n(s)

9、 的最大公因式。 注：若r(s) 最大公因式，c为常数，则cr(s)也是最大公因式，若限定r(s)为首一多项式，则最大公因式具有唯一性。互质多项式互质多项式：如果 d(s) 和 n(s) 的最大公因式是(与 s 无关的)非零常数，则称 d(s) 和 n(s) 为互质多项式，简称 d(s) 和 n(s) 互质。 定理定理6-3 设有两个多项式 d(s) 和 n(s) 的，d(s)0，当且仅当满足下面条件之一，d(s) 和 n(s) 是互质多项式。)(deg)(deg)126(0)()()()()()()()()116()()()()()()()3()106(1)()()()()()()2()96

10、(, 0)(:, 1)()()86(, 1)()() 1 (00000sdsasnsdsasbsnsasdsbsasbsdsnsbsasnsysdsxsysxCssdssnsdCssnsd且或等价为使得、不存在多项式使得、存在两个多项式或证明：证明：条件(1)的意义是：如果d(s) 和 n(s) 互质，则复域 中不存在任何s使d(s) 和 n(s) 同时为0。 证明略多项式互质的多项式互质的Sylvester 矩阵判据矩阵判据 Sylvester 矩阵：矩阵：)136(,)()136(,)()136(0,)()136(0,)(1110111022102210dsbsbbsbcsasaasabn

11、snsnsnnsnadsdsdsddsdmmnnmmmnnn和设 定义多项式 d(s) 和 n(s) 的 (n+m) 阶Sylvester矩阵 S 为nmnnnnnnnnnnnnndddddddddddddddddddSmmmmmmnmnmnnnnmmnnmm.00000.0.0.00.00000000000101210121011012121011210将 (6-13) 代入 (6-12) 并令 s 相同幂次的系数分别为零，给出 (n + m) 元一次线性齐次代数方程组)156(012101210SABSaaaabbbbnm 如果上式 Sylvester 矩阵是非奇异的，则方程组有唯一的平凡

12、解，相应地(6-12) 有一个平凡解，即 a(s) = 0, b(s) = 0。即定理(6-3)中条件(3)成立，d(s) 和 n(s) 互质。 由此归纳出下述定理。 定理定理6-4 多项式 d(s) 和 n(s) 互质的充要条件是它们的Sylvester矩阵非奇异。 多项式互质问题变为有无非平凡解问题。如果非平凡解存在，怎样求得具有最小阶次的非平凡解。 行搜索法是求解非平凡解的有效方法见“仝茂达” P.293-296。2 有理函数有理函数 有理函数： 两个多项式之比，即 g(s) = n(s)/d(s)。 既约有理函数： 倘若g(s) = n(s)/d(s)中， n(s)和d(s)互质。 可

13、化简有理函数：倘若g(s) = n(s)/d(s)中， n(s)和d(s)不互质。 6.2 6.2 多项式矩阵及其属性多项式矩阵及其属性1 多项式矩阵多项式矩阵 多项式矩阵多项式矩阵：以多项式为元素的矩阵。 以aij(s)为元素的mn多项式矩阵A(s)记为 【例例6-3】一个23的多项式矩阵 多项式矩阵的行列式：多项式矩阵的行列式：和实数矩阵一样，只有行数和列数相等的方多项式矩阵才可取行列式，且具有相同的运算规则。 如：)()()()()(1111sasasasasAmnmn76423251271)(2232ssssssssssA452331)(22sssssssA按实数矩阵运算规则，即可求出

14、22)23)(3()45)(1()(det22ssssssssA2 方多项式矩阵的奇异和奇异方多项式矩阵的奇异和奇异 多项式矩阵的奇异性和非奇异性在含义上等同于实数矩阵。 定义定义6-5 奇异非奇异如果方多项式矩阵A(s)的行列式为有理分式域 (s)上的零元，即det A(s)0， 则A(s)为奇异；如果方多项式矩阵A(s)的行列式为有理分式域 (s)上的非零元，即det A(s) 0，则A(s)为非奇异。 【例例6-4】 两个22的多项式矩阵如下：652331)(;452331)(222221sssssssAsssssssA容易求出它们的行列式为0)23)(3()65)(1()(det22)

15、23)(3()45)(1()(det222221sssssssAssssssssA根据定义知，则A1(s)为非奇异，则A2(s)为奇异。3 方多项式矩阵的逆方多项式矩阵的逆 多项式矩阵A(s)有逆的充分必要条件是A(s)非奇异。当且仅当A(s) 非奇异，存在同维方有理分式矩阵B(s)，使下式成立： B(s)A(s) = A(s)B(s) = I ， 所有s且有 B(s) = A-1(s) 计算A-1(s)的基本关系式为有理分式矩阵多项式多项式矩阵/)(det)()(1sAsadjAsA 定义定义6-6 线性相关和线性无关 称多项式向量组q1(s), q2(s), , qm(s)为线性相关，当且

16、仅当存在一组不全为零的多项式1(s), 2(s), , m(s)使下式成立： 1(s)q1(s)+2(s)q2(s)+ +m(s)qm(s) = 0 (6-17)称多项式向量组q1(s), q2(s), , qm(s)为线性无关，当且仅当不存在一组不全为零的多项式1(s), 2(s), , m(s)使(6-17)成立，即当且仅当使(6-17)成立的 1(s) = 2(s) = =m(s) = 0。 【例例6-6】 给定两个2维行多项式向量： q1(s) = s+2, s-1, q2(s) = s2+3s+2, s2-1选取多项式 1(s) = s+1, 2(s) = -1，有 1(s)q1(s

17、)+2(s)q2(s) = s2+3s+2, s2-1 - s2+3s+2, s2-1 = 0, 0根据定义知，q1(s), q2(s)为线性相关。4 线性相关和线性无关线性相关和线性无关 给定元属于有理分式域 (s)的m个n维列或行多项式向量 q1(s), q2(s), qm(s) (6-16)其中， m n。 定义定义6-7 秩 称mn多项式矩阵A(s)的秩为r，记为RankA(s) = r，如果至少存在一个rr子式不恒等于零，而所有大于和等于(r+1)(r+1)的子式恒等于零。 容易看出，A(s)的所有11子式即所有元均不恒等于零，而22子式：652331)(22sssssssA0)23

18、)(3()65)(1(652331det)(det2222sssssssssssssA根据定义， RankA(s) = 1。5 多项式矩阵的秩多项式矩阵的秩 【例例6-8】 给定22多项式矩阵：6 6 多项式矩阵的正则秩与局部秩多项式矩阵的正则秩与局部秩 正则秩：正则秩：多项式矩阵在有理函数域上的秩。 局部秩：局部秩：多项式矩阵在复数域上的秩。 定义定义6-8 单模矩阵又称么模矩阵 称方多项式矩阵A(s)为单模阵，当且仅当其行列式detA(s) = c为独立于s的非零常数。 计算可得：4321)(sssssA2)3)(2()4)(1()(detsssssA根据定义可知，A(s) 为单模阵。7

19、单模矩阵单模矩阵 【例例6-10】给定22多项式矩阵6.3 6.3 多项式矩阵的初等变换多项式矩阵的初等变换1 初等变换初等变换 将某行或列乘以非零的实数或复数(c 0) ；00010010000010010000000012E 上述三种初等矩阵的逆阵分别为上述三种初等矩阵的逆阵分别为：)186(10000010)(0001000001000001;10000000000100000100000113212111sdEEEcE 初等矩阵初等矩阵(以五阶方阵为例，c 0) : 左乘改变行，右乘改变列。左乘改变行，右乘改变列。 任意两行或两列位置互相交换； 将某行或列乘上多项式加到另外一行或一列上

20、。 初等矩阵初等矩阵(以五阶方阵为例) ： 左乘换行，右乘换列左乘换行，右乘换列 初等矩阵初等矩阵 (以五阶方阵为例, d(s)为多项式)： 左乘改变行，右乘改变列。左乘改变行，右乘改变列。1000000000010000010000011cE10000010)(00010000010000013sdE初等矩阵性质初等矩阵性质：初等矩阵的逆阵仍是初等矩阵，且两者都为单模矩阵。2 单模变换和初等变换单模变换和初等变换 定义定义6-9 单模变换 对mn多项式矩阵A(s)，设mm的多项式矩阵R(s)和nn的多项式矩阵T(s)为任意单模阵，则称R(s)A(s)、A(s)T(s)和R(s)A(s)T(s

21、)为A(s)的单模变换。 推论推论6-10 初等变换属性 初等矩阵的乘积阵为单模阵， 对矩阵A(s)作一系列行初等变换等价于A(s)左乘相应单模阵即相应左单模变换， 对矩阵A(s)作一系列列初等变换等价于A(s)右乘相应单模阵即相应右单模变换。 推论推论6-11 单模变换属性 对矩阵A(s)左乘单模阵即左单模变换，可等价地化为对A(s)的相应一系列行初等变换。 对矩阵A(s)右乘单模阵即右单模变换，可等价地化为对A(s)的相应一系列列初等变换。 推论推论6-12 单模变换和初等变换的关系 矩阵A(s)的单模变换和初等变换存在如下对应关系： R(s)A(s) 对A(s)作等价的一系列行初等变换

22、A(s)T(s) 对A(s)作等价的一系列列初等变换 R(s)A(s)T(s) 对A(s)同时作等价的一系列行和列初等变换 行行Hermite型的特点：型的特点：v前 r 行为非零行（其中的非零元素为多项式），后m-r行为零行；v每行左起第一个非零元素aiki为首一多项式；v aiki所在的位置随 i 增加而右移，即 k1k2kr；1)与aiki同列的下面元素为零，上面元素阶次低于 deg aiki，若 aiki=1，上面元素为零。)196(000000000000000000000000000000000000001133131221221111111111122222211rrrrrrrr

23、rkrkkkkkkkkkkkkkkkaaaaaaaaaaaaaaaa1k2k3krk123 kk 定理定理6-13 行Hermite型设A(s)是秩为 r 的mn多项式矩阵，应用初等矩阵左乘可将其化成行Hermite型矩阵3 Hermite型型 埃尔米特(Hermite)型是多项式矩阵的一种规范型。多项式矩阵规范型的特点是能够凸显矩阵的某些特性，为分析提供直观性和方便性。 列Hermite型的形式为行Hermite型的转置。 结论结论6-14 行Hermite型的性质 设A(s)为nn的非奇异多项式矩阵, (s) = R(s)A(s), R(s)为任意 nn单模阵，则多项式矩阵A(s)和(s)

24、具有相同行Hermite型。 Hermite型的性质型的性质 结论结论6-16 Hermite型强惟一性 非奇异多项式矩阵和左乘或右乘同维任意单模阵导出的所有多项式矩阵，都具有等同Hermite型。 根据上述结论可知，对非奇异多项式矩阵引入单模变换，不改变其Hermite型。 下面给出了Hermite型的一些基本性质。 结论结论6-15 列Hermite型的性质 设A(s)为nn的非奇异多项式矩阵, (s) = A(s)T(s), T(s)为任意 nn单模阵，则多项式矩阵A(s)和(s)具有相同列Hermite型。6.4 多项式矩阵的行次和列次多项式矩阵的行次和列次1 向量次数向量次数 向量中

25、所有元素的 s 的最高次幂指数。 设向量2 行次行次 多项式矩阵M(s)第 i 行的次数，记为 riM(s) ，又可写成kri。3 列次列次 多项式矩阵M(s)第 j 列的次数，记为 cjM(s) ，又可写成kcj 。 【例例6-14】 01121)(32sssssssM 解解：行次 kr1 = 2， kr2 = 3；列次 kc1 = 1，kc2 = 3， kc3 = 1。)()()()(21sasasasna则， a(s)的次数 = a(s) maxdeg ai(s), i=1, 2, , n (6-20) 为了讨论多项式矩阵的既约性，这一节里，我们将引入行次和列次的概念。多项式矩阵的行次和

26、列次的定义与多项式次数的定义有所不同，因为行次对应的是行多项式向量的次数，列次对应的是列多项式向量的次数。4 行次表达式和列次表达式行次表达式和列次表达式 列次表达式列次表达式：令cjM(s) = kcj ，多项式矩阵 M(s) 可以写成 M(s) = MhcHc(s) + Mlc(s) (6-23)其中mjsdiagsHcjkc, 2 , 1,)( 常数矩阵 Mhc 称作M(s)的列次系数矩阵列次系数矩阵，且有 Mhc 列 j = M(s)列 j 中相应 的系数组成的列，j =1, 2, , m (6-24)cjks 【例例6-16】 根据式（6-23），M(s)可写成sssssssM312

27、23)(220312001123)()()(2sssssMsHMsMlcchc 多项式矩阵的行次表达式和列次表达式是行次与列次在多项式矩阵中的一个直接应用，而行次表达式和列次表达式有助于简化线性系统的复频域分析中某些问题的讨论。 行次表达式行次表达式：令riM(s) = kri ，多项式矩阵 M(s) 可以写成 M(s) = Hr(s) Mhr + Mlr(s) (6-25)其中misdiagsHrikr, 2 , 1,)( 常数矩阵 Mhr 称作M(s)的行次系数矩阵行次系数矩阵 ，且有 Mhr行 i = M(s)行 i 中相应 的系数组成的行，i =1, 2, , m (6-26)ssss

28、sssMMsHsMlrhrr3122010300)()()(22 上例中的M(s)可写成riks6.5 既约性（既约性（Reduced Property）2 列既约（列化简）多项式矩阵列既约（列化简）多项式矩阵 满足下列关系式的非奇异 m 阶多项式方阵 M(s) 是列既约多项式矩阵。)226()()(detdeg1mjcjsMsM1 行既约（行化简）多项式矩阵行既约（行化简）多项式矩阵 满足下列关系式的非奇异 m 阶多项式方阵 M(s) 是行既约多项式矩阵。)216()()(detdeg1mirisMsM 【例例6-17】二个多项式矩阵如下111)(;31223)(222ssssBssssss

29、sA 解解：根据A(s)，容易求出 kc1 = 2， kc2 = 1； kr1 = 2, kr2 = 2 deg detA(s) = 3因而，有即A(s)不是行既约的，而是列既约的。 同理可得，B(s)既不是行既约的，也不是列既约的 ; 3)(detdeg3;3)(detdeg42121sAksAkjcjiri 既约性实质：多项式矩阵在次数上的不可简约属性。3 多项式矩阵既约性判据多项式矩阵既约性判据 (1) 行行/列次系数矩阵判矩列次系数矩阵判矩 多项式方阵情形：多项式方阵情形：给定mm非奇异多项式方阵 M(s)，令Mhr和Mhc为行次系数矩阵和列次系数矩阵，kri和kci（i = 1, 2

30、, , m）为行次数和列次数。则 M(s)行既约 行次系数矩阵Mhr非奇异 M(s)列既约 列次系数矩阵Mhc非奇异 非多项式方阵情形：非多项式方阵情形：给定mn非方满秩多项式矩阵 M(s)，令Mhr和Mhc为行次系数矩阵和列次系数矩阵，kri和kcj（i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n）为行次数和列次数。则 M(s)行既约 n m 且RankMhr= m M(s)列既约 m n 且RankMhc= n 【例例6-18】 给定22非奇异多项式方阵 M(s)为 sssssssM734223)(22 基于行(列)既约性知识，下面给出判别多项式矩阵既约性的常用判据。 解解：容易

31、定出7123,0103hchrMM从而，由Mhr奇异和Mhc非奇异知， M(s)不是行既约的，而是列既约的。4 非既约多项式矩阵的既约化非既约多项式矩阵的既约化 非既约多项式矩阵的既约化，是通过单模变换完成的，引入单模变换能够降低某些高行次数或高列次数。 给定非既约mm非奇异多项式方阵 M(s)，则必可找到一对mm单模阵U(s)和V(s)，使U(s)M(s)和M(s)V(s)为行既约或列既约。 【例例6-19】 给定22非奇异多项式方阵 M(s)为 30)3()2()3()2()(222ssssssM 解解：容易定出，列次系数阵为 0011hcM 由Mhc为奇异可知， M(s)不是列既约。分别

32、引入如下22单模阵U(s)和V(s)，使有和 不难看出， U(s)M(s)和M(s)V(s)为列既约，实现了非列既约 M(s)的列既约化。300)3()2(30)3()2()3()2(10)2(1)()(222222ssssssssssMsU3)3()3()2(0130130)3()2()3()2()()(22222sssssssssssVsM1 左右因式、左右倍式左右因式、左右倍式 设三个阶次适当的多项式矩阵满足下述关系式：6.6 多项式矩阵的公因式、最大公因式和互质性多项式矩阵的公因式、最大公因式和互质性 因多项式矩阵的乘积一般不满足交换率，进一步引入一些新概念。 多项式矩阵的公因式和最大

33、公因式是多项式矩阵之间关系的基本表征。是讨论多项式矩阵之间互质性的基础。)206()()()(sCsBsA则称 B(s) 是 A(s) 的左因式，C(s) 是 A(s) 的右因式； A(s) 是 C(s) 的左倍式，A(s) 是 B(s) 的右倍式。2 右公因式、最大右公因式、右互质右公因式、最大右公因式、右互质 设两个多项式矩阵N(s)、D(s)的列数同为 m，另有一个 m 阶多项式方阵 R(s) 使得下式成立，)216()()()()()()(sRsDsDsRsNsN则称 R(s) 是 N(s)和D(s)的右公因式。如果R(s)不仅是N(s)和D(s)的右公因式，而且是N(s)和D(s)所

34、有其它右公因式的左倍式，则称R(s)是N(s)和D(s)的最大右公因式。如果最大右公因式是单模矩阵，则称N(s)和D(s)右互质。 与最大右公因式和右互质对偶的概念是最大左公因式和左互质。 定理定理6-16 设m阶多项式方阵 R(s)为mm和 rm 阶多项式矩阵D(s)和N(s)的最大右公因式，可通过 mm 阶和 mr 阶多项式矩阵X(s)和Y(s)表达为)266()(detdeg)(detdeg0)()()()()()()()()()()3()256()()()()(Bezout)()()2()246(,0)(det:,)()(Rank)236(,)()(Rank)1 (00000sDsAs

35、NsDsAsBsNsAsDsBsAsBrrmrIsNsYsDsXsYsXrmmmCssDsmsNsDCsmsNsDm且使得和的两个多项式矩阵和不存在阶次为式成立恒等使得下面和的两个多项式矩阵和存在阶次为或)226()()()()()(sNsYsDsXsR 推论推论6-17 如果DT(s) NT(s)T 为列满秩，特别是D(s)非奇异，则 D(s)和 N(s) 的所有最大公因式是非奇异的，且彼此间通过单模矩阵联系起来。 定理定理6-18 (右互质定理右互质定理)设 D(s) 和 N(s) 是 mm 和 rm 阶多项式矩阵，并且 D(s) 非奇异，则当且仅当下面三个条件之一成立， D(s)和N(s

36、)右互质。 【例例6-22】 判定下面多项式矩阵D(s)和N(s)是否右互质。1)(,1)2)(1(01)(ssNsssssD 解解 detD(s) = (s+1)(s-1) 0，D(s)非奇异。 由 detD(s) = 0 解出s0= -1，1 对于 s0 = -1，有msNsD2112200Rank)()(Rank00 对于 s0 = 1，有msNsD2110002Rank)()(Rank00 即 D(s)与N(s)右互质。 定理定理6-18的对偶定理的对偶定理(左互质定理左互质定理) 设A(s)和B(s)是r r和rm 阶多项式矩阵，且A(s)非奇异，当且仅当下面三个条件之一成立，A(s

37、)和B(s)左互质。)(detdeg)(detdeg0)()()()()()()()()()()3()()()()(Bezout)()()2(,0)(det:,)()(Rank,)()(Rank)1 (00000sAsDsDsNsBsAsDsBsNsAsDsNmmmrIsYsBsXsAsYsXmrrrCssAsrsBsACsrsBsAr且使得和的多项式矩阵和不存在阶次为式成立恒等使得下面和的两个多项式矩阵和存在阶次为或 推论推论6-19 设 D(s) 和 N(s) 是mm和 rm 阶多项式矩阵，且 D(s) 非奇异，若存在单模矩阵 U(s) 使得rmsRsNsDsUsUsUsUsNsDsU0)

38、()()()()()()()()()(22211211则 U22(s)和U21(s)左互质， U22(s)非奇异和N(s)D-1(s) = -U22-1(s) U21(s) 当且仅当 deg detD(s) = deg det U22(s)，D(s)和N(s)右互质。6.7 Smith型、型、Popov型、矩阵束和型、矩阵束和Kronecker型型 本节将介绍除Hermite型之外的另外几种多项式矩阵规范型。)416(2303489)(2ssssssA其中，i(s)（i = 1, 2, , p）为非零的首一多项式；而且i(s)可以整除i+1(s)（i = 1, 2, , p-1）。 1 Smi

39、th型型 定理定理6-25 设A(s)为rm 阶多项式矩阵， Rank A(s) = p，0 pmin(r, m)，总可以通过一系列初等的行和列变换，将其变换为下式表示的 Smith 型)406(00)(0)()()()()()(21ssssVsAsUspmr 证明证明 略。 【例例6-24】 试求以下23阶多项式矩阵的Smith型 解解 p = Rank A(s) = 2，现通过行和列初等变换使其变成Smith型)(0100010)1(5 .30004)1(25.0)1(5 .30004)1(5 .3)1(25.00004)89)(3(25.0)1(25.00004)1(25.0)89)(3

40、(25.00004)1(25.0)89)(3(25.0038942033894)()5 .3/1(24/1114/)1(232322)10(23223222)3(25.013)892(25.012222)3(25.012221ssssssssssssssssssssssssssssAssssss行，第行第列第列第列交换列与第第列第列第列交换列与第第列第列第列第列第行第行第列交换列与第第 Smith型的特性型的特性 下面将进一步给出多项式矩阵A(s)的Smith型(s)所具有的基本特性。)426()()(21sAsAs （1）不变多项式）不变多项式 对rm 阶多项式矩阵A(s)，Rank A(s

41、) = p，0 pmin(r, m)，其Smith 型(s)中i(s)（i = 1, 2, , p）为A(s)的不变多项式。 注注 A(s)的不变多项式的含义是指与施加于其上的行和列初等变换无关的多项式。 （2）Smith 型的惟一性型的惟一性 对rm 阶多项式矩阵A(s)，Rank A(s) = p，0 pmin(r, m)，其Smith 型(s)是惟一的。 （3）Smith 型的单模变换的不惟一性型的单模变换的不惟一性 对rm 阶多项式矩阵A(s)，Rank A(s) = p，0 pmin(r, m)，使其变换为Smith型(s)的单模变换矩阵对U(s), V(s)不惟一。 （4）Smit

42、h 意义上的等价性意义上的等价性 对于两个rm 阶多项式矩阵A1(s)、A2(s)，当且仅当A1(s)、A2(s) 具有相同Smith型(s)时，它们为Smith意义等价。记为 Smith 意义等价具有如下特性：意义等价具有如下特性：)476(0)(Smith)()(mrrIssNsD型的 自反性： 定理定理6-26 设A和B是两个n阶常值方阵，由它们构成的n阶多项式方阵(sI-A)和(sI-B)彼此严格等价的充要条件是 A 和 B 相似。 注注：常值方阵A、B相似是指存在非奇异常值方阵T，使得A = T-1BT)436()()(11sAsAs 对称性： 传递性： )446()()()()(1

43、221sAsAsAsAss)456()()()()(),()(313221sAsAsAsAsAsAsss Smith 意义等价的条件：意义等价的条件： 两个rm 阶多项式矩阵A1(s)、A2(s)为Smith意义等价，当且仅当存在rr和mm单模阵P(s)、T(s)，使下式成立：)466()()()()(12sTsAsPsA （5）基于）基于Smith型的互质性判据型的互质性判据 定理定理6-27互质性判据 rm阶和mm阶的列数相同的矩阵Nr(s)和Dr(s)为右互质的充要条件是 2 Popov型型 波波夫（ Popov）型又称多项式阶梯型，是由Popov在20世纪60年代末引入的一种规范型。

44、定义定义6-28 Popov型 称pp多项式方阵)486()()()()()(1111sdsdsdsdsDppppE为Popov型，如果具有如下特性 (i) DE(s)为列既约，且列次数非降即kc1 kc2 kcp。 (ii) 对列 j（j=1,2, p），存在主指数mj 1,2, p，使主元 满足如下条件： )(sdjmj)506(,)(deg)()5(;,)4()496(,)(deg)(31)()2(;)(deg)1 (jqksdsdmmkkjijimiksdsdjsdksdcjqmjmjicjcijcjijjmjmcjjmjjjjj，即在所在行中为次数最高则有而，如果和列对列数均小于列次

45、数，即以下所有元多项式的次中位于列）（多项式；为首 Popov型的基本特性型的基本特性 下面给出Popov型的一些基本特性。 （1）Popov型的矩阵系数多项式型的矩阵系数多项式 对pp阶Popov型多项式矩阵DE(s)，表 列次数 = kci ， i=1,2, p （6-51） L = maxkc1，kc2 ， ，kcp （6-52）则可把DE(s)表为矩阵系数多项式： DE(s) = DLsL+ DL-1sL-1+ D1s+ D0 （6-53）其中，矩阵系数Di（i=0, 1 , 2, , L）均为pp常阵。 （2） Popov型的扩展系数矩阵型的扩展系数矩阵 对pp阶Popov型多项式矩

46、阵DE(s)及其矩阵系数多项式（6-53），定义DE(s)的pp(L+1)扩展系数矩阵为 E = D0 D1 DL （6-54）其中，Di为系数矩阵的转置。则E 呈现为阶梯型常阵，而这正是将Popov型称为多项式阶梯型矩阵的原因。 【例例6-26】 给定33阶Popov型多项式矩阵DE(s)，表其为矩阵系数多项式，并组成扩展系数矩阵。 解解 矩阵系数多项式： 扩展系数矩阵： 53721243642315)(232ssssssssssDE537214621001023435000100010000100000)(23ssssDE0100100045260000010233120000001357

47、41ED111显然， DE中“圈内元1”对应于DE(s)中相应列“主元多项式首系数”，并因此称其为DE的主元。可以看出， DE形状上呈现为以主元为支点的阶梯型。并且， DE包含了Popov型DE(s)的一切特征。 （3） Popov型的强惟一性型的强惟一性 给定pp多项式矩阵D(s)和任意一个pp单模阵V(s)，则D(s)和D(s)V(s)具有相同的Popov型DE(s) 。 证证 略。 3 矩阵束和矩阵束和Kronecker型型 矩阵束是一种特殊的多项式矩阵。克罗内克（Kronecker）型是相对于矩阵束的一种多项式矩阵规范型。 Kronecker型能够直接反映和分析矩阵束的正则性和奇异性。

48、 矩阵束矩阵束 矩阵束的定义：矩阵束的定义：令E和A为mn实常阵，s ，则有 矩阵束 (sE - A) (6-70) 由定义可以看出，矩阵束是行次和列次均不大于1的一种多项式矩阵。 矩阵束的实质：矩阵束的实质：mn矩阵束 (sE - A )是对nn特征矩阵(sI - A )的推广。 矩阵束的背景：矩阵束的背景：在控制理论中，矩阵束 (sE - A )的提出是基于广义线性系统的需要。在经济、社会和工程等领域，都存在一些系统需要采用广义线性系统模型描述。 广义线性时不变系统状态方程的形式为 )716(BuAxxE 广义线性系统的特征结构由矩阵束 (sE - A )所表征。 严格等价性：严格等价性：

49、对于两个mn的矩阵束(sE - A ) 和(sE - )，如果存在mm和nn非奇异常阵U和V，使得下式成立： (sE - A ) = U(sE - )V (6-72)则矩阵束(sE - A ) 和(sE - )严格等价。 矩阵束的正则性和奇异性：矩阵束的正则性和奇异性：对于mn矩阵束(sE - A )，当且仅当同时满足 m = n 和 det (sE - A ) 0 (6-73)时，矩阵束(sE - A )为正则。 当且仅当mn矩阵束(sE - A )不是正则的，则矩阵束(sE - A )奇异。 Kronecker型型 对任一mn矩阵束(sE - A)，都可通过合适的mm和nn非奇异变换阵U和V，使之化为克罗内克尔（Kronecker）型。 Kronecker型的形式：型的形式： 任一mn矩阵束(sE - A)在mm和nn非奇异阵U和V的变换下，都可导出Kronecker型