CH一阶微分方程在经济中的应用PPT课件

1、1第1页/共49页2第二节 一阶微分方程( , ,)0 ,( , ) ,( , )( , )0F x y yyf x yP x y dxQ x y dyv1、可分离变量的微分方程v2、齐次方程v3、一阶线性微分方程第2页/共49页可分离变量的微分方程的解法两边积分，得则如果 方程的通解,必须予以补上。在分离变量时，解可能它不包含在第3页/共49页4kydxdy 解: 当 y0 时分离变量得kdxdyy 1ckxy lnkxBe 另外 y=0 也是原微分方程的解，因此通解为( B为任意常数 ).kxBey 第4页/共49页例 求方程的特解.满足初始条件 解 分离变量, 得 两边积分，得于是原方程

2、的通解为又将初始条件 故满足初始条件的特解为代入通解中, 得 22c xcos22cosy 第5页/共49页6第二节 一阶微分方程( , ,)0 ,( , ) ,( , )( , )0F x y yyf x yP x y dxQ x y dyv1、可分离变量的微分方程v2、齐次方程v3、一阶线性微分方程第6页/共49页7形如的方程叫做齐次微分方程.第7页/共49页8令代入原方程得两边积分, 得积分后再用代替 u, 便得原方程的通解.分离变量: 第8页/共49页9如果 有实根 那末 （i=1，2，k）也为方程的解。第9页/共49页10第10页/共49页11第11页/共49页12第二节 一阶微分方

3、程( , ,)0 ,( , ) ,( , )( , )0F x y yyf x yP x y dxQ x y dyv1、可分离变量的微分方程v2、齐次方程v3、一阶线性微分方程第12页/共49页13第13页/共49页14,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的;非线性的.第14页/共49页15. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,ln)(ln1CdxxPy 齐次方程的通解为分离变量积分第15页/共49页16常数变易法第16页/共49页17例例5 解方程解方程 解1: 先解即积分得即用常数变易法把C换成 u(x)，即令则代入非齐次方程得

4、u=(x+1)1/2解得故原方程通解为第17页/共49页18例例5 解方程解方程 解2: 公式法由通解公式得 第18页/共49页19解：yceyCC 1e-yeedyyeeyyyyy例第19页/共49页20第二节 一阶微分方程v1、可分离变量的微分方程v2、齐次方程v3、一阶线性微分方程v4、一阶微分方程的平衡解及其稳定性第20页/共49页21 在本书中，牛顿提出万有引力定律，然后用数学的形式常微分方程推出了开普勒定律，完成了日心地动说的力学解释，也同时开始了以常微分方程为对象的动力系统的研究. 第21页/共49页22第22页/共49页23第23页/共49页24初始值的极微小的扰动而会造成系统

5、巨大变化.第24页/共49页25第25页/共49页26第26页/共49页作业作业P384P3841，2（偶数），3（奇数），4（偶数），6，7第27页/共49页28第三节 一阶微分方程在经济学中的综合应用一、需求量（供给量）与价格的关系二、预测可再生资源的产量三、成本分析四、公司的净资产分析第28页/共49页29?,P. 3.,1. 2kg)Q;.(pPQ. 11200)Q,0P1200(,lnPPQ需需求求量量的的变变化化趋趋势势如如何何时时当当市市场场对对该该产产品品的的需需求求量量元元时时求求当当价价格格为为：元元的的函函数数关关系系与与价价格格试试求求需需求求量量时时即即为为若若该该商

6、商品品的的最最大大需需求求量量的的弹弹性性为为对对价价格格某某商商品品的的需需求求量量 3例1( )Eydyxyf xExdxyxPyQ：价格：需求量解（1）由需求的价格弹性公式得分离变量解微分方程得Pln3PdQln3dPQCeC 3Q PP 0Q|1200,C1200.Q12003.由得即第29页/共49页30解（1）由需求的价格弹性公式得分离变量解微分方程得?,P. 3.,1. 2kg)Q;.(pPQ. 11200)Q,0P1200(,lnPPQ需需求求量量的的变变化化趋趋势势如如何何时时当当市市场场对对该该产产品品的的需需求求量量元元时时求求当当价价格格为为：元元的的函函数数关关系系与

7、与价价格格试试求求需需求求量量时时即即为为若若该该商商品品的的最最大大需需求求量量的的弹弹性性为为对对价价格格某某商商品品的的需需求求量量 3例1Pln3PdQln3dPQCeC 3Q PP 0Q|1200,C1200.Q12003.由得即（2）kg40031200Q,)1(P1 时时元元当当（3）0Q,P, 时时当当显显然然第30页/共49页第31页/共49页32例3 某林区实行封山养林，现有木材10万立方米，如果在每一时刻t木材的变化率与当时木材数成正比(比例常数为k0)。 假设10年时这林区的木材为20万立方米。若规定，该林区的木材量达到40万立方米时才可砍伐，问至少多少年后才能砍伐。解

8、 若时间t以年为单位，假设任一时刻t木材的数量为p(t)万立方米，由题意可知(1)dpkpdt010|10 ,|20(2)ttpp微分方程（1）的通解为将条件（2）带入得特解为.ktpceln2/10101010 2.ttpe要使p=40，则t=20. 故至少20年后才能砍伐.第32页/共49页33第33页/共49页34kydxdy 解: 当 y0 时分离变量得kdxdyy 1ckxy lnkxBe 另外 y=0 也是原微分方程的解，因此通解为( B为任意常数 ).kxBey 第34页/共49页35三、成本分析三、成本分析 例5 某商场的销售成本 y 和存储费用 S 均是时间 t 的函数，随时

9、间t的增长，销售成本的变化率等于存储费用的倒数与常数5的和，而存储费用的变化率为存储费用的（-1/3）倍 . 若当t=0时，销售成本y=0，存储费用S=10，试求销售成本与时间t的函数关系及存储费用与时间t的函数关系。解：由已知dy15(4)dtSdS1S(5)dt3 解（5）得3tCeS 10C10|S0t 代入代入将将故存储费用与时间t的函数关系是：将S代入（4）式得103C0|y10t 代入代入将将故销售成本与时间t的函数关系是：第35页/共49页36 一个公司的资产运营可以被看作有两个方面的作用。 一方面 ，它的资产可以象银行存款一样获得利息（盈取），另一方面还要用于发放职工工资。 用

10、W0表示该公司的初始资产，若用W表示 t 时某公司的净资产，则率率就就表表示示净净资资产产的的增增长长速速dtdW四、公司的净资产分析四、公司的净资产分析净资产的增长速率 = 利息盈取（增长）的速率工资支付速率第36页/共49页37例6 某公司t年净资产有 W（t）（单位：百万元），并且资产以每年5%的速度增长,同时该公司每年要以200百万元的数额连续支付职工工资. （1）给出描述净资产W（t）的微分方程；（2）假设初始净资产为W0，求解方程；（3）当W0=3000，4000，5000三种情况下W（t）的变化特点。解（1）根据： 净资产的增长速率 = 利息盈取（增长）的速率工资支付速率0.05

11、200dWWdt0.054000dWWdt（）这就是该公司的净资产W所满足的微分方程。第37页/共49页38例6 某公司t年净资产有 W（t）（单位：百万元），并且资产以每年5%的速度增长,同时该公司每年要以200百万元的数额连续支付职工工资. （1）给出描述净资产W（t）的微分方程；（2）假设初始净资产为W0，求解方程；（3）当W0=3000，4000，5000三种情况下W（t）的变化特点。解（1）0.054000dWWdt（）（2）分离变量0.054000dWdtW00WWt |由于由于所以，该公司净资产表达式为：0.051ln |4000| 0.05C4000tWtWce04000cW第

12、38页/共49页39例6 某公司t年净资产有 W（t）（单位：百万元），并且资产以每年5%的速度增长,同时该公司每年要以200百万元的数额连续支付职工工资. （1）给出描述净资产W（t）的微分方程；（2）假设初始净资产为W0，求解方程；（3）当W0=3000，4000，5000三种情况下W（t）的变化特点。解（1）0.054000dWWdt（）（2）（3）若W0=4000，则W=4000为平衡解.公司净资产将不断增长公司净资产将不断减少第39页/共49页40练练 习习6041003sddPQPdtdPQPdt第40页/共49页41P3915 某养鱼池最多养1000条鱼，鱼数y是时间t的函数，且

13、鱼数变化率与y和1000-y的乘积成正比(比例常数为k0). 现知养鱼100条，3个月后变成250条，求函数y(t)以及6个月后鱼池里有多少鱼。解 若时间t以月为单位，由题意可知 （1）)(ykydtdy 1000先解（1）式：kdtyydy )1000(分分离离变变量量第41页/共49页42P3915 某养鱼池最多养1000条鱼，鱼数y是时间t的函数，且鱼数变化率与y和1000-y的乘积成正比(比例常数为k0).现知养鱼100条，3个月后变成250条，求函数y(t)以及6个月后鱼池里有多少鱼。解 若时间t以月为单位，由题意可知 （1）)(ykydtdy 1000先解（1）式得将条件（2）代入

14、得3000335001ln,ln kc)3ln500130003ln(10001000 teyy特特解解条条个个月月后后有有鱼鱼即即时时，当当50065006 yt第42页/共49页436041003sddPQPdtdPQPdtdsQQ 2604100320tdPdPPPdtdtPCeteP2122020)(limtPt第43页/共49页作业作业 P391P3911, 3, 51, 3, 5第44页/共49页五、关于国民收入、储蓄与投资的关系问题y发发现现某某地地区区的的国国民民收收入入在在宏宏观观经经济济研研究究中中 ,tt且且在在任任一一时时刻刻的的函函数数均均是是时时间间和和投投资资国国

15、民民储储蓄蓄,IS是是国国民民收收投投资资额额倍倍的的为为国国民民收收入入储储蓄蓄额额)I(t,101y(t)S(t)设设在在亿亿元元国国民民收收入入为为时时倍倍的的入入增增长长率率),(5,0,31 tdtdy.,试求国民收入函数试求国民收入函数的储蓄额全部用于投资的储蓄额全部用于投资时刻时刻t由假设，时刻t的储蓄全部用于投资，那么于是有分析例5第45页/共49页解此微分方程得解此微分方程得tcey103 tey1035 即即国国民民收收入入函函数数为为为为而储蓄函数和投资函数而储蓄函数和投资函数teIS10321 550 cyt得得时时由由第46页/共49页济南大明湖蓄水量为V，每年流入湖泊内含污染物A的污水量为 ，流出湖泊的水量为 ，已知1999年湖中污染物A的含量为 ，超过国家指标，为了治理污染，从2000年起，限制流入湖泊中含污水的浓度不超过 问至少需要多少年湖泊中污染物A的含量降至 以内，假设湖水中污染物A的分布是均匀的。分析,)(),(VtmtmAt则浓度为则浓度为的含量为的含量为年湖泊中污染物年湖泊中污染物设设入入量量为为的的一一段段时时间间内内