八二角平分线画法及性质

1、人教版八年级数学(上)12.3角平分线的角平分线的性质（性质（1）ADBCEADCB 不利用工具，请你将一张用纸不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？么办法？AOBC活活 动动1（对折）（对折）1、如图，是一个角平分仪，、如图，是一个角平分仪，其中其中AB=AD,BC=DC。将点将点A放在角的顶点放在角的顶点,AB和和AD沿着角的两边放下沿着角的两边放下,沿沿AC画一画一条射线条射线AE,AE就是角平分线，就是角平分线，你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗?活活 动动2ADBCE 如果前面活动中的纸片换成木板、如果前面活动中的纸片换成

2、木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢板等没法折的角，又该怎么办呢？p2、证明： 在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知） DC=BC（已知）（已知） CA=CA（公共边）（公共边） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应边相等）对应边相等） AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADBCE 根据角平分仪的制作原理怎样作根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）角器）OABCE活活 动动3NOMCENM 知识点一知识点一 画已知角的平分线画已知角的平分线 已知：已知：AO

3、B.求作：求作：AOB的平分线的平分线. 作法：（作法：（1）以）以 为圆心，适当长为半径画弧，交为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点于点M，交，交OB于点于点N.（2）分别以）分别以 为圆心，大于为圆心，大于 的长为半径画的长为半径画弧，两弧在弧，两弧在AOB的内部交于点的内部交于点 .（3）画射线）画射线 .射线射线 即为所求（如图即为所求（如图1236）.OCOCC点点M，N点点O MN211 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，以后，把它反向延长得到直线把它反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线ABAB是什

4、么关系？是什么关系？ 3 3结论：作平角的平分线即可平分平角，结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。线的方法。活活 动动4ABOCD探究角平分线的性质 (1)实验实验：将：将AOB对折，再折出一个直角对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活活 动动5 (2)(2)猜想猜想: :角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角的两边的距离相等两边的距离相等. . 1.角平分

5、线的性质是以命题的形式给出的，证明几何命题角平分线的性质是以命题的形式给出的，证明几何命题要按下列步骤进行：要按下列步骤进行：（1）明确命题中的）明确命题中的“已知已知”和和“求证求证”；在这个性质中已知是在这个性质中已知是 ，要证明的结论是要证明的结论是 .一个点在一个角的平分线上一个点在一个角的平分线上这个点到这个角两边的距离相等这个点到这个角两边的距离相等（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示）根据题意，画出图形，并用数学符号表示“已知已知”和和“求证求证”.图形：图形：已知：已知： .求证：求证： . AOCBOC，点，点P在在OC上，上，PDOA，PEOB，垂足分别为，垂足分别为

6、D，EPDPE（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程证明过程.证明：证明： 知识点二知识点二 角平分线的性质角平分线的性质 性质：角的平分线上的点到角的两边的距离性质：角的平分线上的点到角的两边的距离 .相等相等注意注意 这一性质题设必须具备两个条件：这一性质题设必须具备两个条件：已知角的平已知角的平分线；分线；角平分线上的点到角两边的距离，然后才可以得角平分线上的点到角两边的距离，然后才可以得结论结论.(4)得到角得到角平分线的平分线的性质：性质：活活 动动5 利 用 此 性 质利 用 此 性 质怎样书写推理过怎样书写推理

7、过程程? 1= 2, PD OA， PE OB（已知）（已知）PD=PE（角平分（角平分线的性质）线的性质）P PA AOOB BC CE EDD12思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路 如 图 ： 在如 图 ： 在 A B C 中 ，中 ，C=90 AD是是BAC的平分的平分线，线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF； 求证：求证：CF=EBACDEBF 分析分析:要证要证CF=EB,首先我们想到

8、的是要证它首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等们所在的两个三角形全等,即即RtCDF RtEDB. 现已有一个条件现已有一个条件BD=DF(斜边相等斜边相等),还需还需要我们找什么条件要我们找什么条件DC=DE (因为角的平分线的性质因为角的平分线的性质) 再用再用HL证明证明.试试自己写试试自己写证明。你一证明。你一定行！定行！ 做一做做一做驶向胜利的彼岸w已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分线是它的角平分线, ,且且BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.w求证求证:EB=FC. :EB

9、=FC. 老师期望老师期望: :做完题目后做完题目后, ,一定要一定要“悟悟”到点东到点东西西, ,纳入到自己的认知结构中去纳入到自己的认知结构中去. . BAEDCF例 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.v证明：过点证明：过点P作作PD 、PE、PF分别分别垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足为，垂足为D、E、FvBM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上（已知）（已知）vPD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离在角平分线上的点到角的两边的距离相等相等）v同理同理 PE=PF.v PD=PE=PF.v即点即点P到边到

10、边AB、BC、CA的距离相等的距离相等DEFABCPMN练习：练习：如图，如图，的的的外角的平的外角的平分线与分线与的外角的平分线相交于的外角的平分线相交于点求证：点到三边，点求证：点到三边，所在直线的距离相等所在直线的距离相等F FGH（请同学们自己写出证明过程。）探究问题一探究问题一应用角平分线的定义解决有关问题应用角平分线的定义解决有关问题 例例1 如图如图1237，OP平分平分AOB，且，且OAOB.（1）写出图中三对你认为全等的三角形（注：不添加任何）写出图中三对你认为全等的三角形（注：不添加任何辅助线）；辅助线）；（2）从（）从（1）中任选一对进行证明）中任选一对进行证明. 点评点

11、评 （1）一个角的平分线把该角分成两个相等的角）一个角的平分线把该角分成两个相等的角.（2）解此类结论开放性问题可以根据自己的意愿及题意）解此类结论开放性问题可以根据自己的意愿及题意进行选择进行选择.归纳总结归纳总结 由角平分线可得到：由角平分线可得到：等等两个角相等；两个角相等；倍倍一角是另一角的二倍；一角是另一角的二倍；分分一角是另一角的二分之一一角是另一角的二分之一.探究问题二探究问题二利用角平分线的性质解决有关问题利用角平分线的性质解决有关问题例例2 如图如图1238，在，在ABC中，中，C90，AM平分平分CAB，BM5.2 cm，点，点M到到AB的距离为的距离为3 cm，求，求BC

12、的长的长. 解析解析 只需补出点只需补出点M到到AB的距离，的距离，利用角平分线的性质得到利用角平分线的性质得到CM3 cm，从，从而求出而求出BC的长的长.解解：如图：如图1239，过点，过点M作作MNAB于点于点N.AM平分平分CAB，C90，CMMN3 cm.又又BM5.2 cm，BCCMBM8.2（cm）. 例例3 如图如图12310所示，已知所示，已知OD平分平分AOB，在直线，在直线OA，OB上截取线段上截取线段OAOB，点，点P在在OD上，且上，且PMBD于点于点M，PNAD于点于点N.求证：求证：PMPN. 解析解析 由已知条件由已知条件OD平分平分AOB和和OAOB，可证明，

13、可证明OAD OBD，从而得到，从而得到ODAODB，即，即DO是是ADB的平分线的平分线.又由又由PMBD，PNAD知知PMPN，使问题获证，使问题获证.点评点评 欲证欲证PMPN，有两种思路：一是证，有两种思路：一是证DPM DPN；二是证明；二是证明P点在点在ADB的平分线上，因为的平分线上，因为有条件有条件PMBD，PNAD，所以选择第二种思路，所以选择第二种思路.由此可见由此可见用角平分线的性质证线段相等能简化证题过程用角平分线的性质证线段相等能简化证题过程.归纳总结归纳总结 （1）角的平分线的性质是由两个条件（一条）角的平分线的性质是由两个条件（一条角平分线，两条垂线段）得到一个结

14、论（线段相等）；（角平分线，两条垂线段）得到一个结论（线段相等）；（2）角的平分线的性质可独立地作为证明两条线段相等的依据角的平分线的性质可独立地作为证明两条线段相等的依据.备选例题备选例题 如图如图12311，已知，已知CDAB于点于点D，BEAC于点于点E，BE，CD交于点交于点O，且，且AO平分平分BAC.求证：求证：OBOC.解析解析 本题利用角平分线的性质本题利用角平分线的性质得到得到ODOE，很容易证得，很容易证得OB，OC所在的三角形全等所在的三角形全等.一、过程小结：一、过程小结：情境情境观察观察作图作图应用应用探究探究再应用再应用二、知识小结：二、知识小结：本节课学习了那些知识？有哪些运用？你本节课学习了那些知识？有哪些运用？你学了吗？做了吗？用了吗？学了吗？做了吗？用了吗？回