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文档简介

1、数值分析复习试题*1.x*er=f(x*,y*)为二元函数y2x*-xx*f(x,y)的近似值,请写出下面的公式:*工e二x*-x:*yifx*x*x*fx*fx*第一章绪论一.填空题为精确值X的近似值;y=f(x)为一元函数y1=f(x)的近似值;身(x*,y*)仙x*广Wf(x*,y*)My*)ex*;ry2;/(x*,y*,e(x*)Jfx*,y*)e(y*)ex|y2*|访y2*舍入误差.6位和72、计算方法实际计算时,对数据只能取有限位表示,这时所产生的误差叫3、分别用2.718281,2.718282作数e的近似值,那么其有效数字分别有位;又取书为1.73(三位有效数字),那么J3

2、173E1父10一224、设为=1.216,x2=3.654均具有3位有效数字,那么xx?的相对误差限为0.0055.5、设x,=1.216,x2=3.654均具有3位有效数字,那么为+用的误差限为0.01.6、近似值xA=2.4560是由真值xT经四舍五入得到,那么相对误差限为0.0000204.7、递推公式0=石,如果取y0=行电1.41作计算,那么计算到y10时,误差为yn=10yn-i-1,n=1,2|l18-M10;这个计算公式数值稳定不稳定不稳定.2_-t、匚ft.*A.*A/A.A.8、精确值n=3.14159265,那么近似值*=3.141和n2*=3.1415分别有位和4位有

3、效数字.-59、假设x=e电2.71828=x,那么x有6位有效数字,其绝对误差限为1/2*10.10、设x*的相对误差为2%,求(x*)n的相对误差0.02n*C/-Vc/.11、近似值X=0.231关于真值乂=0.229有(2)位有效数字;12、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差;13、为了使计算y=10+4_十426-_的乘除法次数尽量地少,应将该表达式改X-1X-1XC、1y=10(3(4-6t)t)t,t:写为X-1,为了减少舍入误差,应将表达式V2001-V1999改写为2J2001+1999.14、改变函数f(x)=Vx+1-Vx(X1)的形式,使计算结果较精确1fX-V

4、X十1+4x.15、设工=2一3149541,取5位有效数字,那么所得的近似值X=_2.3150.16、数e=2.718281828.,取近似值x=2.7182,那麽X具有的有效数字是4.二、单项选择题:1、舍入误差是(A)产生的误差.A.只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值2、3.141580是兀白有(B)位有效数字的近似值.A.6B.5C.4D.73、用1+x近似表示eX所产生的误差是(C)误差.A,模型B.观测C.截断D.舍入X4、用1+3近似表示3不仅所产生的误差是(D)误差.A,舍入B.观测C.模型D.截断5、-324.7500是

5、舍入得到的近似值,它有(C)位有效数字.A.5B.6C.7D.86、(D)的3位有效数字是0.236X102.(A)0.0023549X103(B)2354.82X102(C)235.418(D)235.54X1017、取血之1.732计算X=(Q-1)4,以下方法中哪种最好(C)_16_16_(A)28-163.(B)(4-2扬2.(4+22.(+1)1三、计算题1.有一个长方形水池,由测量知长为(500.01)米,宽为(250.01)米,深为(200.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限.解:设长方形水池的长为L,宽

6、为W,深为H,那么该水池的面积为V=LWH当L=50,W=25,H=20时,有V=50*25*20=25000(米3)此时,该近似值的绝对误差可估计为NV二VV:丁LFW丁H二L:W:H=WH.:LHL:WLW.:H相对误差可估计为:V=VV而该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足A(Lj0,01,A(Wj0,01,A(Hj0.01故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为(V)WH|i(Lj+HLi(Wj+LW|i(H225*20*0.0150*20*0.0150*25*0.01=27.50A(V27.50上r(V=1.1*10V25000.一一、_.r._*2.测量某长万形场地的长a=

7、110米,宽b=80米.假设aa0.1(米),b-b试求其面积的绝对误差限和相对误差限.解:设长方形的面积为s=ab当a=110,b=80时,有s=110*80=8800(米2)此时,该近似值的绝对误差可估计为;:s:ssab二a:b=b:aa:bL;s相对误差可估计为:rs=s而长方形长、宽的数据的绝对误差满足(a)0.1,A(b卜0.1故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为(s)Mb(a)+aA(b)80*0.1110*0.1=19.0r(si=|s-)W90=0.002159s|8800绝对误差限为19.0;相对误差限为0.002159.3、设x*的相对误差为2%,求(x*)n的相

8、对误差解:由于f(x)=xn,f(x)=nxn,故;_(xjn_xn:n(x*)n(x-x*)*E;x-x故;r=*-n*=n;r=0.02n(x)nx4、计算球体积要使相对误差为1%问度量半径R允许的相对误差限是多少?解:令/f/R4由3,根据一元函数相对误差估计公式,得R=3qR1%从而得;RRV=f|R=.R13005.正方形的边长大约为100cm,问怎样测量才能使面积的误差不超过1cm2揖:da=ds/(2a)=1cm2/(2*100)cm=0.5*10-2cm,即边长a的误差不超过0.005cm时,才能保证其面积误差不超过1平方厘米.6.假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50

9、.00m和100.00m,且其测量误差为0.005m.试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差.解:V=-:r2hV*-V=2二rh(r*r)=2*3.1415926*50*100*0.005=157.07963251=2=0.0002Vr第二章插值法一、填空题:41 .设xi(i=0,1,2,3,4)为互异节点,(x)为相应的四次插值基函数,那么z(xi4+2)i(x)=i=0(x4+2).2 .设xi(i=0,1,2,3,4,5)为互异节点,li(x)为相应的五次插值基函数,那么5、.xi52xi4x31lix=x52x4x31i=02,f1,2,3,4,5=0,f1,2,3,4=0.3f

10、(x)=2x3+5,那么f1,2,3,4=3 .匚;下U4 .f(x)=3x2+1,那么f1,2,3=35.设汽x)=3/+5,她比=0,123,6 .设A=4/+2/+3/十1和节点改二上/2%=012那么和加=4.7 .设f(0)=0,f(1)=16,“2)=46,那么f10,1=16,f10,1,2=7,f(x)的二次牛顿插值多项式为0+16(x-0)+7(x-0)(x-1).8 .如有以下表函数:Xi0.20.30.4fxi0.040.090.16那么一次差商f0.2,0.41=坐9、2、f(1)=1,f(2)=2,f(3)=1,那么过这三点的二次插值多项式中x2的系数为-211拉格朗

11、日插值多项式为L2(x)=(x2Xx3)2(x1)(x-3)+-(x-1)(x-2),或-2x29x-810、对f(x)=x3+x+1,差商f0,1,2,3=(1),f0,1,2,3,4=(0).11、f(1)=2,f(2)=3,f(4)=5.9,那么二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15)12、设f=,f=16,f=46,那么l1(x)=_x(x-2),f(x)的二次牛顿插值多项式为N2(x)=16x7x(x-1)13、1o(X),1i(X),1n(x)是以整数点Xo,Xi),xn为节点的Lagrange插值基函数,那么1k(x)=k-0nn,(X:-X2-3)1k(X)=1,Zx

12、jXk)=?当n之2时(xx?+3)k014、设一阶差商.小一_/5)/&)_6一1_5丁(为,勺)_二-T7一s_对如42乙那么二阶差商了五1,心,石)*为)Q(/,心)_%一(-3).1卜/3趋44-1-615、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足三阶均差为0,那么p(x)是不超过二次的多项式16、假设f(x)=3x4+2x+1,那么差商f2,4,8,16,32=7.二、单项选择题:1、设f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,那么抛物插值多项式中x2的系数为(A)A-0.5B,0.5C.2D.-22、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿插值多项式的余项是(C)(A)f(x

13、,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn),(B)R(x)=f(x)-Pn(x)=f(n1)()(n1)!(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn),5、设L(x)是以xk=k(k=0,1,M,9)为节点的、kh(k)=Lagrange插值基函数,那么k=0(C)f(n1)()Rn(x)=f(x)_Pn(x)n1(x)(D)(n1)!3、有以下数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是(A).(A)二次;(B)三次;(C)四次;(D)五次4、由以下数表进行Newt

14、on插值,所确定的插值多项式的最高次数是(D)Xi11.522.533.5f(Xi)-10.52.55.08.011.5(A)5;(B)4;(C)3;(D)2.9(A)x;(B)k;(Oi;(D)1.6、由以下数据X01234f(x)1243-5确定的唯一插值多项式的次数为(A)(A)4;(B)2;(C)1;(D)3三、问做题1,7=j=L,力的n次插值多1 .什么是Lagrange插值基函数它们有什么特性?4(勺4答:插值基函数式力口二工中)是满足插值条件火幻二.s-%)&-%)-%)/=1项式,它可表示为也一)(马马-1)5一勺)并有以下性质,占2 .给定插值点(丐用)0=,n)可分别构造

15、Lagrange插值多项式和Newton插值多项式,它们是否相同为什么它们各有何优点?答:给定插值点后构造的Lagrange多项式为L/x)Newton插值多项式为“?它们形式不同但都满足条件工九=小=0,L小,于是1式再-占=,工述它说明门次多项式口.-M初有n+1个零点,这与n次多项式只有n个零点矛盾,故LS二明即14幻与收式工是相同的.L*x是用基函数表达的,便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和应用,但不便于计算,而NK幻每增加一个插值点就增加一项前面计算都有效,因此较适合于计算.3 .Hermite插值与Lagrange插值公式的构造与余项表达式有何异同答:Hermite插值的插值

16、点除满足函数值条件外还有导数值条件比Lagrange插值复什一些,但它们都用基函数方法构造,余项表达式也相似,对Lagrange插值余项表达式为RaU=_-而工一45+11,而Hermite插值余项在有条件的点看看作重节点,多一个条件相当于多一点,假设一共有m+1个条件,那么余项中前面因子为肉+1!后面相因子5一冉改为R-kJ即可得到Hermite插值余项.四、计算题1、设fx=x7+5x3+1,求差商f20.21,f20,21,22,f20,21|l,27,f20,211,28解:f-2O=7,f-21=169,f-22=16705,故f-20,21=162,f2,22=8268,f-202

17、,22=2702根据差商的性质,得f20,2111,27=2=1- 7!018ff2,2,|H,2=0- 8!为:122、求满足以下条件的埃尔米特插值多项式:y23V1-1解:根据条件可求得220x=2x-1x-2,:1x=-2x5x-1p0x=x-1x-2f,p1x=x-2x-n2代入埃尔米特三次插值多项式公式P3x=y0:0xyv1xy;oxy;1x2222=22x-1x-23-2x5x-1ix-1x-2-x-2x-1为01234fxi361118273、如有以下表函数:xfi皿73fi%03163211513187104279100试计算此列表函数的差分表,并给出它的牛顿插值多项式及余项

18、公式解:查分表如下:x0.400.500.600.70Inx一0.916291一0.693147一0.510826一0.356675Nk(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x2+2x+3,0x14、给出Inx的函数表如下:试用线性插值和抛物插值求In0.54的近似值.解答线性插值,取与=0.5,兄l=0.5,那么1口0544催1,静-6693147)十53U.bU0540弓5(-0.510826)=-0,620219二次插值,取/h0.5i与=0,6,与=0.7,得InO.54=(0.54二.-0)(0,50,6)(0.5-0,7)*(一.,6史14-0.540.5)(0,j4

19、-0,7)&6一二力15)960.7)X(-0.510826)十一0.5)(.54二.:6)兀了一0,5)(0.7二五旷X(-0.356675);_0.6168382注记假设取工*=0.4.$=0.5.40,6,那么1nd.54%0,615319g.5.x-112F(x)31-1请依据上述数据求f(x)的2次Lagrange插值多项式.解:记x0=_1,x1=1,x2=2,那么f(x0)=3,f(x1)=1,f(x2)=-1(XX)(XX2)(x-xo)(x-x2)L2(x)=f(xo)f(x1)(x0-x1)(xo-x2)(x1-xo)(x0-x2)fd)(xx0)(x-x1)(x2-x0)

20、(x2-x1)c(x-1)(x-2),(x1)(x-2)=3I(-1-1)(-1-2)(11)(12)(x(21)(2-1)1 11(x-1)(x-2)-(x1)(x-2)-(x1)(x-1)2 236 .用插值法求满足以下条件的不超过三次的插值多项式f(0)=1,f(1)=2,f(2)=9,f(1)=3,并写出插值余项.解:根据Lagrange插值多项式和Newton插值多项式得出2L2x=N2x=3x-2x1设待插值函数为:H3x=N2xkx-0x-1x-2根据H3(1)=f(1)=3,得参数k=1,那么H3x=x31.插值余项为:4f4i2R3x=fx-H3xxx-1x-24!7 、为1

21、345f(xi)2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x),并求f(2)的近似值(保留四位小数)2H3答案:(1-3)(1-4)(1-5)6(x-1)(x-4)(x-5)(3-1)(3-4)(3-5)5(x-1)(x-3)(x-5)4(x-1)(x-3)(x-4)(4-1)(4-3)(4-5)(5-1)(5-3)(5-4)差商表为xiyi一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-10141P3(x)=N3(x)=22(x-1)-(x-1)(x-3)(x-1)(x-3)(x-4)4f(2):P3(2)=5.5答案:解:应选三个节点,使误差M3133卜,

22、3(x)|尽量小,即应使3(x)|尽量小,插值点的三个节点满足上述要求.即取节点0.5,0.6,0.7最好,实际计最靠近算结果8、sinx区间0.4,0.8的函数表xii0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值,如何选择节点才能使误差最小并求该近似值.Sin0.63891为0.596274,且Sin0.63891-0.596274一1-(0.63891-0.5)(0.63891-9-0.6)(0.63891-0.7)3!_40.5503210P2(x)CCL一,、一x9、取节点xo=0,x

23、i=0.5,x2=1,求函数f(x)=e在区间0,1上的二次插值多项式并估计误差.P山)=e-0(x-0.5)(x-1).e.5(x-0)(x-D解:(0-0.5)(0-1)(0.5-0)(0.5-1)二(x-0)(x-0.5)e(1-0)(1-0.5)=2(x-0.5)(x-1)-4e.5x(x-1)2e,x(x-0.5)f(x)=e,f(x)=-e:M3=max|f(x)|=1Vx-0,1|R2(x)|=|e-P2(x)|8,(B)n之7,(C)n10,(D)n之6,三、问做题1 .什么是求积公式的代数精确度如何利用代数精确度的概念去确定求积公式中的待定参数答:一个求积公式Ja总如果当/侬

24、)为任意m次多项式时,求积公式精确成立,而当为次数大于m次多项式时,它不精确成立,那么称此求积公式具有m次代数精确度.根据定义只要令侬=0,1,琳)代入求积公式两端,公式成立,得含待定参数的m+1个方程的方程组,这里m+1为待定参数个数,解此方程组那么为所求.四、计算题1、确定以下求积公式中的待定参数,使其代数精确度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精确度.厂二:1y二1一二L丁二解:此题直接利用求积公式精确度定义,那么可突出求积公式的参数.令/(1)=代入公式两端并使其相等,得A+S+C=l1,1n21工i=一,=一tE=一,C*=一解此方程组得2636,于是有/l/(o)+|/(1)+A/

25、(i)再令卜怎,泊,t5tV,1寸故求积公式具有3次代数精确度./(x)dzA./(h)+月J(U)-rAif(h)(2) A解答(1)求积公式中含有三个待定参数,即At,4,】将=1,八分别代人求积公式,并令其左右相等,得A7+4+Ai=2人4h(A-lA)=0气工-4)=9解得A-=4=;儿人=铉/*所求公式至少具有两次代数精确度,又由于炉此=ft)3+J-a33-#(-h)*+前*J-833故/“一人)+*0)+年/3)具有三次代数精J-AJ3确度,口住切+WS)解:令/(幻二L%/代入公式精确成立,得A+B=i2h2十原;=-h1- 3.勺=-ktB=-krA=-h解得322,得求积公

26、式二丁源知*(-&)+37?初N5、3.=#七工(一近)3+3(1方力=-9/对,故求积公式具有2次代数精确度.1,2.求积公式J0f(x)dx0A(f)1A4f)旧出知戌余项表达式为R(f)=kf(U),Xw(o,l),试确定系数Ao,Ai,Bo,使该求积公式具有尽可能高的代数精度,并给出代数精度的次数及求积公式余项.解:此题虽然用到了f(0)的值,仍用代数精度定义确定参数A.=4A1=4,那么有3、B0=得右端=J,两端不相等,故A0,A1,B0.令f(x)=1,x,x2,分别代入求积公式,令公式两端相f(x)=1,A.Ai=1等,那么得?f(x)=x,A1+B0=g,求得、f(x)=x2

27、,A1=!01f(x)dx=1f(0);f(1);f(0)1再令f(x)=x3,此时Jx3dx=4,而上式它的代数精度为2次.为求余项可将f(x)=x3代入求积公式10f(x)dx=杂(0)1f(1)ff(0)kf(),(0,1)327.当f(x)=x3,f(x)=3x2,f(x)=6x,f(x)=6,1c代入上式得=fx3dx=;+6.即卜=-/,0所以余项R(f)二一71rf(),(0,1)sinx3、根据下面给出的函数f(x)=的数据表,分别用复合梯形公式和复合辛甫生公式xxk0.0000.1250.2500.3750.500f(xk)10.997397840.989615840.976

28、726750.95885108xk0.6250.7500.8751.000f(xk)0.936155630.908851680.877192570.84147098计算I=1sinx,dx0x1解用复合梯形公式,这里n=8,h=1=0.125,81sinx0.125dxf(0)2f(0.125)f(0.25)0x2f(0.375)f(0.5)f(0.625)f(0.75)f(0.875)f1=0.945690861用复合羊甫生公式:这里n=4,h=0.25.可得4-IOsinx0.25dxf(0)4f(0.125)f(0.375)x6f(0.625)f(0.875)2f(0.25)f(0.5)

29、f(0.75)f(1)=0.946083305111f(x)dx:Af(-1)f(1)Bf()f()4、求A、B使求积公式-22的代数精度尽量高并求其代数精度;利用此公式求21I=-dxx保存四位小数.2答案:fx=1x,x是精确成立,即2A2B=2i2A+权=3彳尸/=8求积公式为,1,8,1,1,小心飞1-1)f9f(Wf92134当fx=x时,公式显然精确成立;当fx=x时,左=5,右=3.所以代数精度为3.1t=2xJ3dx=x1111dtt39-131811-139-1/23123970.692861405、n=3,用复合梯形公式求1xedx0的近似值取四位小数,并求误差估计.1x1

30、-001323.1nedx:T3e2(ee)e:1.7342解:023f(x)=ex,f(x)=ex,0MxW1时,|f(x)fe|R|=|ex-T3|三e1232e108=0.025三0.05至少有两位有效数字.6、15分用n=8的复化梯形公式或复化Simpson公式计算,1e*dx-0时,试用余项估计其误差.用n=8的复化梯形公式或复化Simpson公式计算出该积分的近似值.引门=解:b-a12c.11c1h2f(n)xxe0=一=0.0013021282768h7T(8)=-f(a)2-f(xk)f(b)2k11=12(0.88249690.77880080.606530660.5352

31、6140.472366550.41686207)0.36787947=0.63294347、10分数值积分公式为:h-h2jj九,使其代mX33f+f(hhf-f(h),试确定积分公式中的参数数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数.解:fx=1显然精确成立;f(x)f(x)f(x)所以,f(x)2=x时,3=x时,4=x时,二x时,h2xdxh3xdxh4.0xdxhxdx0h34h55其代数精确度为3.h22h20hh1-122_2_=-0hh0-2h=h_312_2二/hv0-3h二h0h4h20-4h3212h5.1sinxI二8、10分用复化Simpson公式计算积分0xdx的近似值

32、,要求误差限为0.5父10.-1一、1S1=-f0+4fi+f1=0.946145886、2J.S2=1、1)一f(0)+4f-+2f12=0.94608693I-S21R515_5S2-Si=0.393m10I:S2=0.94608693或利用余项:f(4)x572!94!f(4)r2=1-3!4工5!7!f(4)(x28805n4-0.510*89!9、(9分)数值求积公式33f(x)dx,一ff(2),02是否为插值型求积公式为什么其代数精度是多少?p(x)=解:是.由于f(x)在基点1、2处的插值多项式为33p(x)dx=f(1)f(2)“2.其代数精度为1.x-21-2f(1)2-1

33、f(2)2dx12x20.510、(10分)取5个等距节点,分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分的近似值(保存4位小数).解:5个点对应的函数值二xi00.511.52f(xi)10.6666670.3333330.1818180.111111(2分)(1)复化梯形公式(n=4,h=2/4=0.5):12(0.6666670.3333330.181818)0.111111=0.868687(2)复化梯形公式(n=2,h=2/2=1):-1S2=-14(0.6666670.181818)20.3333330.1111116=0.86195311、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式

34、,并求出其代数精度:0xfxdx:A0f2Af1取f(x)=1,x,令公式准确成立,得:11.1.1.1A.Ai=A0Ai=A0=A二一2,233,6f(x)=x2时,公式左右=1/4;f(x)=x3时,公式左=1/5,公式右=5/24公式的代数精度=212、证实定积分近似计算的抛物线公式金baari+Z?+4八一)+,具有三次代数精度证实:当或=1时,公式左边:I一公式右边:-1+4+1=b-a占左边=右边Ixdx=左边:J:.b2-a22右边:胃/43+占卜史wib22左边=右边一叱生3面+4叱,田卜左边:及23右边:占23左边=右边当了33时r,a,&4-厘4&-口r3,dfn+匕匕4一

35、4*xdx=-a+4+6=左边:4右边:上2A左边=右边当If酎4-4+B*=L_Z_口4+4.铝+船3+4a守十5右边:,故JS具有三次代数精度13、试确定常数A,B,C和巴使得数值积分公式:/打血阳4/f+90+仃有尽可能高的代数精度.试问所得的数值积分公式代数精度是多少它是否为Gauss型的?人广1016x/12解99-15,该数值求积公式具有5次代数精确度,第五章常微分方程、填空题1、求解一阶常微分方程初值问题y=fx,y,yX0=y0的改良的欧拉公式为y=yn+hf(Xn,yn)h0、,Yn1=Yn2【f(Xn,Yn)f(Xn1,Yn1)2、解初值问题工y=fx,y1yxj=y0的改

36、良欧拉法yn?=yn+hf(Xn,yn)h一一.一.0yn1=ynf(Xn,yn)共.11)I2是2阶方法.r1-/3、解初始值问题1/=丁.近似解的梯形公式是h必+/氏狂乂如的梯形格式4、解常微分方程初值问题了=/冗,了说二先是二阶方法二、计算题dy2XXy1.用改良欧拉方法计算初值问题dXy0x1,取步长h=0.1计算到v,.y(0)=0*yn+=yn+hf(Xn,丫口)解:改良的欧拉公式,hyn噌=yn+二f(Xn,yn)+f(Xn书,n书)L.2代入f(x,y)=x2+x-y,且xn=nh,有h22,2yn1=ynxnxnynxn1xn1ynh(xnxnyn)2=yn+0.05M(1.

37、9x:+2.1Xn-1.9yn+0.11)(n=Q.1,2,3,4)xn0.10.20.30.40.5yn0.005500.021930.050150.090940.145002,用梯形法解初值问题1/二工二取步长h=0.1,计算到x=0.5,并与准确解y=一e*-x+1相比拟解:用梯形法求解公式,得=+0.05x+x,-+了21+/+-Tx+1)解得乂+1=乂+005双2汗;+22勺一居+01)/1一053=0,123,4精确解为,;-X.O.10.20,30.40.5改良Eulerr法0.005500.021930.050150.090940.14500梯形法0.005240.021410

38、.049370.089910.14373精踊解y&.)0.005160.021270.049180.089680.14347一.,v=x+v,0x0,y0=1a写出由Euler方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式;b写出由改良Euler方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式.解:a根据Euler公式:yn1=ynhfXn,ynyn1=ynn0.1Xn-yn=0.9yn-0.1Xnyn1ynhfXn,ynb根据改良Euler公式:?hyn1-yn-fXn,ynfX.1,%1xnxnh-2h-2-ynyn一一-1%h=yn-Xn-Yn4h-丫口-h%h%h2-2h22h-h2

39、h2=0.905yn0.095Xn0.0056、用欧拉方法求xt2y(x)=0e-dt在点x=0.5,1.1.5,2.0处的近似值.-y(x)=解:八,e20dt等价于y=eJ=0记f(x,y)(_x2=ex0),取h=0.5,x.=0,x1=0.5,x2=1.0,x3-1.5,x4=2.0那么由欧拉公式yn41=yn+M(xn,yn)J0=0=0,1,2,3可得y(0.5):y1=0.5,y(1.0)=y2:0.88940y(1.5):y3=1.07334,y(2.0)=斗:1.126047、取步长h=0.2,用预估-校正法解常微分方程初值问题V=2x+3yJ(0)=1(0三x1)答案:解:

40、3%=yn+0.2父(2%+3yn)yn1f0.1(2xn3yn)(2xn13yn0)1)n012345xn00.20.40.60.81.0yn11.825.879610.713719.422435.0279yn1=0.52xn1.78yn0.04dy=f(x,y)dxy(x0)=y(c-x-d)8、10分求参数a,b使得计算初值问题的二步数值方法yn1=ynnaf(x,y)bfnx,ny)的阶数尽量高,并给出局部截断误差的主项.(xn)O(h4)h2h3足y(xn1)=y(xn)hy(xn)y(xn)y2!3!yn1=y(xn)h(ay(xn)by(xn4)h24=y(Xn)ahy(Xn)b

41、h(y(Xn)-hy()5y()O(h4)9bh3-y(Xn)(ab)hy(Xn)-bhy(Xn)hyg)O(h)ab=113K1-b=-a=,b=-一bh3y(Xn)O(h4)=O(h3)所以当2,即22时,乂,yn1-y(Xn1)二局部截断误差为,、h3,、eyn1-y(Xn1)=-y(Xn)局部截断误差的主项为4,该方法为二阶方法.9、(15分)取步长h=0.1,求解初值问题1yy1用改良的欧拉法求解:改良的欧拉法:y0=1y:2=yn+hf(Xn,yn)=0.9yn+0.1h(0)_yn1=yn21f(Xn,yn)f(Xn1,yn1)=0.905丫口y(o)的值;0.095所以y(0.=y1=1;用Euler预报一校10、(10分)对于一阶微分方程初值问题1y=2xy,取步长h=0.2,y0=1正法求y(0.2)的近似值.解:Euler预报一校正法yn0)1=yn0.2(2Xn-yn)=0.4Xn0.8ynyn1=yn0.1(2Xn-yn2Xn1-52)=0.16x00.2Xn10.82yny(0.2)y1=0.20.20.821=0.86yn1二yn11、(10分)用二步法?y=f(x,y)问题y(x0)=%,问:

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