高等数学A-第1章-8-6(无穷小与无穷大)

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A1.6 1.6 无穷小与无穷大无穷小与无穷大1.6.1 无穷小无穷小 1.6.2 无穷大无穷大 1.6.3 无穷小与无穷大的运算无穷小与无穷大的运算 1.6.4 无穷小的比较无穷小的比较 1.6 1.6 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 1.6.3 无穷小与无穷大的运算无穷小与无穷大的运算 1.6.1 无穷小无穷小 无穷小与无穷大无穷小与无穷大有限个无穷小的代数运算有限个无穷小的代数运算 有界函数与无穷小的乘积有界函数与无穷小的乘积 有限个无穷小的乘积有限个无穷小的乘积无穷大的简单运算无穷大的简单

2、运算 无穷小的定义无穷小的定义 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 无穷大的定义无穷大的定义 无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系 习例习例1-121.6.2 无穷大无穷大 1.6.4 无穷小的比较无穷小的比较无穷小阶的定义无穷小阶的定义 等价无穷小及性质等价无穷小及性质 定义定义1 . )(, 0)(lim00时时为为无无穷穷小小当当则则称称若若xxxfxfxx :)(定义定义 . )(,)(0 ,0,000时时为为无无穷穷小小当当则则称称时时当当若若xxxfxfxx . )(, 0)(lim时时为为无无穷穷小小当当则则称称若若 xxfxfx 00lim , 0lim , 01

3、lim 00 xxxxxx比如比如注意注意: (1)无穷小并不是一个很小的数无穷小并不是一个很小的数. (2)数数“0”是无穷小量是无穷小量.(3)无穷小是一类特殊函数无穷小是一类特殊函数, 是在某一变化过程中极限是在某一变化过程中极限为为0的函数的函数, 并且在一个过程中为无穷小的量在另一过并且在一个过程中为无穷小的量在另一过程中可能不是无穷小量程中可能不是无穷小量. 1. 无穷小的定义无穷小的定义一、无穷小一、无穷小 01lim1xx定理定理1 . 0)(lim),()()(lim xxAxfAxf 其中其中证明证明: 则对设,)(lim 0 xxAxf时的无穷小。是则于是令0)(,)()

4、( xxxAxfx. 0)(lim)()( 0 xxAxfxx，其中即充分性充分性:).(-)(; 0)(lim),()( xAxfxxAxf则且设.)(lim 0 xxAxf即2. 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 ,)(0, 0, 00成立时有当Axfxx仅证明仅证明 的情况的情况.0 xx 必要性必要性:.)()(,0, 0, 00成立有时当于是对xAxfxx)lim (0等都成立等都成立或或表示表示以下定理中以下定理中 xxx定义定义2 . )(,)(lim00时时为为无无穷穷大大当当则则称称若若xxxfxfxx :)(定定义义 M . )(,)(0 , 0, 000时时为

5、为无无穷穷大大当当则则称称时时当当若若xxxfMxfxxM . )(,)(lim时为无穷大时为无穷大当当则称则称若若 xxfxfx注意注意: (1)无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆.(3) 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未但是无界变量未必是无穷大必是无穷大. 如：如：.)(lim)2(0认为极限存在切勿将xfxx., 0 , 2 , 0 , 1 , 0;, 2 , 1nn与与1. 无穷大的定义无穷大的定义 二、无穷大二、无穷大 .11lim1lim.110 xxxx和证明例2. 无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系 定理定理

6、2 证明证明: ,1, 0,)(lim 0 xxMxf于根据无穷大的定义，对则设.)(1 ,1)(,0, 00成立即有时当xfMxfxx在自变量的同一变化过程中，如果在自变量的同一变化过程中，如果 为无穷大，则为无穷大，则 为无穷小为无穷小. xf xf1反之，如果反之，如果 为无穷小，且为无穷小，且 ，则，则 为无穷大为无穷大 . xf 0 xf xf1所以所以 ，即，即 为当为当 时的无穷小时的无穷小. 01lim0 xfxx xf10 xx 反之，如果反之，如果 为无穷小，且为无穷小，且 . xf 0 xf根据无穷小的定义，, 0M对于对于 ， ，当，当 时，有时，有M1000 xx M

7、xf1 Mxf1即即 所以所以 , 即即 为当为当 时的无穷大时的无穷大. xfxx1lim0 xf10 xx 定理定理2也可以叙述为：也可以叙述为： .)(1lim, 0)(, 0)(lim)2(; 0)(1lim,)(lim)1( xfxfxfxfxf则则且且若若则则若若定理定理 3 (1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小有限个无穷小的代数和仍为无穷小. 0)()(lim, 0)(lim, 0)(lim xxxx 则则即即若若证明证明:. 0)(lim, 0)(lim00 xxxxxx 不妨设不妨设, 0 ;2)( ,0 , 0101 xxx有有时时当当.2)( ,0 , 0202 xxx有

8、有时时当当 ,min 21 取取 ,0 0时时当当 xx. 0)()(lim0 xxxx .22)()()()( xxxx有有三、无穷小与无穷大的运算三、无穷小与无穷大的运算 注意注意: : 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .,1, ,是是无无穷穷小小时时例例如如nn . 1 1不不是是无无穷穷小小之之和和为为个个但但nn定理定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 0)()(lim0)(lim,)( 00 xxuxMxuxxxx 即若即若证明证明:. 0)(lim0 xxx , 0 ;)( ,0 , 00Mxxx 有有时时

9、当当.)()()()( MMxxuxxu则则. 0)()(lim0 xxuxx 推论推论1. 在同一过程中在同一过程中, ,有极限的变量与无穷小的乘积有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小是无穷小. .推论推论2. 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小. .推论推论3. 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小. .0)(lim,0)(lim00 xxxxxx 不不妨妨设设,0 ;)( ,0 ,0101 xxx有有时时当当.)( ,0 ,0202 xxx有有时时当当 ,min 21 取取 ,0 0时时当当 xx.0)()(lim0 xxxx .)()()()( xx

10、xx有有证明证明: 定理定理5 对于自变量相同变化趋势下的无穷大有如下性质对于自变量相同变化趋势下的无穷大有如下性质:注意：注意：两个无穷大的和与差不一定是无穷大；两个无穷大的和与差不一定是无穷大； 无穷大与有界函数的乘积也不一定是无穷大无穷大与有界函数的乘积也不一定是无穷大 .0（1）有限个无穷大的乘积是无穷大）有限个无穷大的乘积是无穷大;（2）无穷大与有界量之和是无穷大）无穷大与有界量之和是无穷大. 例如例如,xxx3lim20 xxx3sinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,3 ,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxxx 极限不同极限不同, 反映了趋向于零的

11、反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;3sin大致相同大致相同与与 xx不可比不可比., 0 ,31 xx1sinlim0 .不存在不存在观察各极限观察各极限四、无穷小的比较四、无穷小的比较 1.无穷小阶的定义无穷小阶的定义 定义定义3 . 0, 0lim, 0lim 且且设设);(, 0lim) 1 (o记作高阶的无穷小是比就说如果;,lim)2(低低阶阶的的无无穷穷小小是是比比就就说说如如果果 ; )(,),0(lim) 3(OCC记作是同阶的无穷小与就说如果;, 1lim )4(记作是等价的无穷小与则称如果.),0, 0(lim)5(阶阶无无穷穷

12、小小的的是是就就说说如如果果kkCCk 定理定理6 6).(, o 则则为无穷小为无穷小设设证明：证明： , 若若 lim则则)1lim( 1lim 011 ).( o ),( o 若若),( o 则则 )(limlimo 则则)(1lim o 1 . 2.等价无穷小的性质等价无穷小的性质定理定理7 7 等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理.limlim,lim, 则则存存在在且且设设证明证明: ),()(xx , 1)()(lim xx ),()( xx . 1)()(lim xx )()()()()()(lim()()(limxxxxxxxx )()(lim)()(lim)()(limxx

13、xxxx .)()(limxx .tan4 ,0: .3的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时当当证证明明例例xxxx 证明证明: 430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时故故当当xxxx 注意注意: (1)任何无穷小与其本身是等价无穷小任何无穷小与其本身是等价无穷小. (2)等价无穷小代换只适用于乘积中等价无穷小代换只适用于乘积中; 对于代数和或复合函数中各无穷小不能分别替换对于代数和或复合函数中各无穷小不能分别替换. .(3)熟记一些常用的等价无穷小熟记一些常用的等价无穷小 ) 0 (时时当当x,sinxx,tanxx,

14、arcsinxx,arctanxx,)1ln(xx ,1xex ,2cos12xx .11nxxn 因为因为 )( o ),(sinxoxx ),(tanxoxx ),(arcsinxoxx ),(arctanxoxx ),()1ln(xoxx ),(1xoxex ),(2cos122xoxx ).(11xonxxn 所以有：所以有： .sinlim . 5sin0 xxeexxx计算极限例).sin(cotlim . 620 xexxx计算极限例.)cos1 (cos1lim . 70 xxxx计算极限例.sinsintanlim . 130 xxxx计算极限例.2arcsin1lim .

15、22sin0 xexx计算极限例.3arctan2arcsin121lim . 320 xxxx计算极限例.sin11arccoslim . 40 xxx计算极限例.sin114lim. 822xxxxxx计算例五、无穷小与无穷大例题分析五、无穷小与无穷大例题分析 .)(lim),1, 0(1sin)(1lnlim . 9200 xxfaaAaxxfxxx求设例., )(,0 .11222cbaxcbxaxexx求高阶的无穷小是比时当例.,)27(lim.1245及极限求存在且不为零例cxxxcx例例10. 计算下列极限计算下列极限xxx1sinlim)1(0 xxx1sinlim)2( xx

16、xsinlim)3(0 xxxsinlim)4( 解：解：,0 时时当当x.21cos1 ,sin2xxxx 3030sintanlimsinsintanlimxxxxxxxx .21cos21lim320 xxxxx.sinsintanlim . 130 xxxx 计算极限计算极限例例xxxxxcos)cos1(sinlim30 .2arcsin1lim . 22sin0 xexx 计算极限计算极限例例解：解：2arcsin1elim2sin0 xxx 22sinlim0 xxx . 4 22lim0 xxx .3arctan2arcsin121lim . 320 xxxx 计算极限计算极限

17、例例解：解： 22221121xx 2x ,22arcsinxx,33arctanxx32lim3arctan2arcsin121lim2020 xxxxxxxx . 6 解解:)sin11limarccos(sin11arccoslim00 xxxxxx )sin2limarccos(0 xxx 321arccos .sin11arccoslim . 40 xxx 计算极限计算极限例例.sinlim . 5sin0 xxeexxx 计算极限计算极限例例解解:xxeexxeexxxxxxxsin)1(limsinlimsinsin0sin0 xxxxexxsin)sin(limsin0 . 1

18、limsin0 xxe).sin(cotlim . 620 xexxx 计算极限计算极限例例解解:xexxexxxxxsincoslim)sin(cotlim2020 xexxxsin)1()1(coslim20 xexxxxxsin1limsin1coslim200 xxxxxx2lim2lim020 . 2 .)cos1(cos1lim . 70 xxxx 计算极限计算极限例例解解:)cos1)(cos1(cos1lim)cos1(cos1lim00 xxxxxxxxx )cos1(22lim20 xxxxx .21 .sin114lim. 822xxxxxx 计算计算例例解解: )114(sin23lim222 xxxxxxxx原式原式)11114(sin1213lim222xxxxxxxx 1 .)(lim),1, 0(1sin)(1lnlim . 9200 xxfaaAaxxfxxx 求求设设例例解解:, 0sin)(lim0 xxfx. 0)(lim0 xfx1sin)(1lnlim0 xxaxxfxaxxfxsinln)(lim0 axxfxln)(lim20 20