八假设检验-谢娟

1、第八章第八章 假设检验假设检验第一节第一节 概述概述第二节第二节 单个正态总体的假设检验单个正态总体的假设检验第三节第三节 两个正态总体的假设检验两个正态总体的假设检验第四节第四节 总体分布函数的假设检验总体分布函数的假设检验总体情况完全未知，或只知道形式，不知道参数，总体情况完全未知，或只知道形式，不知道参数，为了推断总体的某些位置特征，提出关于总体的假为了推断总体的某些位置特征，提出关于总体的假设。设。例如，总体分布服从例如，总体分布服从poisson分布分布 正态总体的均值等于正态总体的均值等于根据样本做出决策：接受假设或根据样本做出决策：接受假设或 拒绝假设拒绝假设决策的过程即假设检验

2、。决策的过程即假设检验。第一节第一节 概概 述述1、统计假设、统计假设 关于总体关于总体X的分布的分布(或随机事件之概率或随机事件之概率)的各种论的各种论断叫断叫统计假设统计假设(statistical hypothesis),简称简称假设假设,用用H表示表示.其中需要保护、不能轻易否定的假设称为其中需要保护、不能轻易否定的假设称为原假原假设设或或零假设零假设(null hypothesis），），记为记为H0。当零假设。当零假设不成立时必定选择的假设称为不成立时必定选择的假设称为备择假设备择假设（alternative hypothesis），），记为记为H1。上一页上一页下一页下一页返回返

3、回如果一个统计假设完全确定总体的分布，则称此假设如果一个统计假设完全确定总体的分布，则称此假设为为简单假设（简单假设（simple hypothesis）；）；否则就称之为否则就称之为复合假设（复合假设（complex hypothesis）。）。建立统计假设并依据样本，采用相应的统计方法，建立统计假设并依据样本，采用相应的统计方法，经过一定的程序，对零假设和备择假设作出取舍的经过一定的程序，对零假设和备择假设作出取舍的过程就称为过程就称为假设检验（假设检验（hypothesis testing）。）。在已知总体分布形式情况下，对总体分布中的未知参在已知总体分布形式情况下，对总体分布中的未知参

4、数作统计假设，这种仅涉及到总体分布之未知参数的数作统计假设，这种仅涉及到总体分布之未知参数的统计假设称为统计假设称为参数假设（参数假设（parameter hypothesis）。而。而在未知总体分布形式情况下在未知总体分布形式情况下,对总体分布形式作统计假对总体分布形式作统计假设，这种直接对总体分布形式所做的统计假设称为设，这种直接对总体分布形式所做的统计假设称为非非参数假设（参数假设（non-parameter hypothesis）。）。上一页上一页下一页下一页返回返回2、假设检验的基本思想、假设检验的基本思想之之间间的的差差异异解解释释为为：与与假假设设的的总总体体均均值值样样本本均均

5、值值0 X是完全可能的；是完全可能的；之间出现某种差异之间出现某种差异与与由于抽样的随机性，由于抽样的随机性，均值均值是正确的，即总体样本是正确的，即总体样本原假设原假设000)1( XH 显著性差异。显著性差异。的差异，或者说，存在的差异，或者说，存在的，而是存在实质性的，而是存在实质性之间的差异不是随机性之间的差异不是随机性与与，本均值本均值是不正确的，即总体样是不正确的，即总体样原假设原假设000)2( XH 上一页上一页下一页下一页返回返回。或或取取通常通常概率，概率，小的概率都被认为是小小的概率都被认为是小或比或比，称为显著性水平。，称为显著性水平。概率概率确定一个足够小的临界确定一

6、个足够小的临界01. 005. 005. 005. 0 00 XPX，即，即的概率等于的概率等于机事件机事件原假设成立的条件下随原假设成立的条件下随，使，使临界值临界值值取定的条件下，确定值取定的条件下，确定然后在然后在。；否则就不能拒绝如果是，就拒绝，界值的值是否达到或超过临最后看000HHx上一页上一页下一页下一页返回返回的确定的确定临界值临界值 200000(,),(0,1)XXNHuNn 若为真时，统计量nZXPZnXPZuP2002002 有02Zn得临界值。时，接受时，拒绝02000200;HZnxHZnx上一页上一页下一页下一页返回返回:检检验验的的基基本本步步骤骤.,)1(10

7、HH 及备择假设及备择假设提出原假设提出原假设根据实际问题的要求根据实际问题的要求.)2(n以以及及样样本本容容量量选选取取适适当当的的显显著著性性水水平平 .,.,)3(00WHUUPUHU记作记作的拒绝域的拒绝域所确定的区域为所确定的区域为称称使使找出临界值找出临界值要已知要已知的分布的分布为真时为真时当当构造检验用的统计量构造检验用的统计量 .,)4(0UU的观察值的观察值计算统计量计算统计量根据样本观察值根据样本观察值取样取样).(;,)5(001000HHHHWUUU接受接受相容相容说说否则就否则就接受接受则拒绝则拒绝内内落入拒绝域落入拒绝域若若比较比较与临界值与临界值的观察值的观察

8、值将将作出判断作出判断 上一页上一页下一页下一页返回返回3、两类错误、两类错误(2)原假设原假设H0实际是不正确的，但是却被错误的接受了，实际是不正确的，但是却被错误的接受了，这样就犯了这样就犯了“纳伪纳伪”的错误，通常称为的错误，通常称为第二类错误第二类错误（type error）,其发生的概率其发生的概率P接受接受H0 H0不不真真= .(1)原假设原假设H0实际是正确的，但是却被错误地拒绝了，实际是正确的，但是却被错误地拒绝了，就犯了就犯了“弃真弃真”的错误，通常称为的错误，通常称为第一类错误第一类错误（type error）.由于仅当小概率事件由于仅当小概率事件A发生时才拒绝发生时才拒

9、绝H0，所以犯第一类，所以犯第一类错误的概率就是条件概率错误的概率就是条件概率P拒绝拒绝H0 H0为真为真= .上一页上一页下一页下一页返回返回第二节第二节单个正态总体的假设检验单个正态总体的假设检验 niiXnX11 niiXXnS122)(11设总体设总体 ，抽取容量为，抽取容量为n的样本的样本X1，X2，Xn，样本均值与样本方差分别是，样本均值与样本方差分别是),(2 NX在一定条件下检验关于未知参数在一定条件下检验关于未知参数 或或 的某些假设的某些假设 2 1.单个正态总体数学期望的假设检验单个正态总体数学期望的假设检验上一页上一页下一页下一页返回返回（1） 已知已知 ，关于的，关于

10、的 检验（检验（ 检验检验法）法） Z2 设总体设总体 ,当当 已知时已知时,检验假设检验假设2 ),(2 NX)(:;:00100为已知常数为已知常数 HHnXZ 由由)1 , 0(),(NnXnNX ，选取选取为假设检验的统计量为假设检验的统计量. ,),1 , 0(,)(2200zZPzNZH使使可求可求对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平时时正确正确为真时为真时当假设当假设上一页上一页下一页下一页返回返回 22zZPzZP即即22 2 12P ZzP Zz 从而有.2/,212Z分位点得表反查标准正态分布函数利用概率 上一页上一页下一页下一页返回返回的观察值的观察值计算统计量计算统

11、计量利用样本观察值利用样本观察值Zxxxn,21nxz 00 0201020,(),.azzHHzzH（ ） 则在显著性水平 下 拒绝原假设接受备择假设所以就是的拒绝域0200,.bzzHH（ ） 则在显著性水平 下接受原假设认为原假设正确0(0,1).HNZZ利用为真时服从分布的统计量 来确定拒绝域的这种检验方法称为 检验法上一页上一页下一页下一页返回返回nSXt0 作为检验统计量。作为检验统计量。)1(0 ntnSXt (2) 未知时，关于未知时，关于 的检验（的检验（t检验法）检验法）2 当当H0为真时，为真时， 求检验问题求检验问题H0： ；H1： 的拒绝域的拒绝域（显著性水平为（显著

12、性水平为 ）。由于）。由于 未知，不能再利用未知，不能再利用Z作作为检验统计量了。注意到为检验统计量了。注意到S2是是 的无偏估计的无偏估计,用用S2来来 代替代替 ，即采用，即采用0 0 2 2 2 上一页上一页下一页下一页返回返回可得关于可得关于 的各种不同的假设检验问题的拒绝域。这的各种不同的假设检验问题的拒绝域。这种用种用t统计量作为检验统计量的检验法称为统计量作为检验统计量的检验法称为t检验法。检验法。0/ 2| | (1).attn所以关于H 的拒绝域为 上一页上一页下一页下一页返回返回70:;70:),(,:102 HHNXX要检验的假设是要检验的假设是则由题意则由题意为为设该次

13、考试的考生成绩设该次考试的考生成绩解解)1(/,0 ntnSXt 所以选取统计量所以选取统计量因为未知因为未知例例1: 设某次考试考生成绩服从正态分布设某次考试考生成绩服从正态分布,从中随机从中随机抽出抽出36位考生的成绩位考生的成绩,算得平均成绩为算得平均成绩为66.5分分,标准差为标准差为15分分,问是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为问是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分分?(取显著性水平取显著性水平 =0.05)? 上一页上一页下一页下一页返回返回4 . 136/15705 .66.15, 5 .66,36,700 ttSXn的观测值的观测值由此得统计量由此得统计量已知已

14、知 03. 2)35()1(4025. 02/ tnt 得得查附表查附表.70,05. 0),35(0025. 0分分考生的平均成绩是考生的平均成绩是体体即可以认为这次考试全即可以认为这次考试全下接受原假设下接受原假设所以在显著性水平所以在显著性水平因为因为Htt 上一页上一页下一页下一页返回返回(3)双边检验与单边检验双边检验与单边检验用统计量用统计量u的值来做检验，的值来做检验，称这种统计量为称这种统计量为检验统计量检验统计量。当检验统计量的观测值的绝对值不小于临界值当检验统计量的观测值的绝对值不小于临界值 ，即即u的观测值落在区间的观测值落在区间 或或 内时，内时，拒绝原假设拒绝原假设H

15、0，通常称这样的区间为，通常称这样的区间为关于原假设关于原假设H0的的拒绝域（简称拒绝域）拒绝域（简称拒绝域）。2 u),(2 u ),(2 u当检验统计量的观测值的绝对值小于临界值当检验统计量的观测值的绝对值小于临界值 ，即即u的观测值落在的观测值落在 内时，我们接受原假内时，我们接受原假设设H0，称这样的区间为，称这样的区间为关于原假设关于原假设H0的接受域（简的接受域（简称接受域）。称接受域）。2 u,22 uu 上一页上一页下一页下一页返回返回H0为为 = 0,而备择假设而备择假设H1表明表明 可能大于可能大于 0，也可能小于也可能小于 0，称之为，称之为双边备择假设双边备择假设。备择

16、假设为双边备择假设的检验问题备择假设为双边备择假设的检验问题称为称为双边假设检验（双边假设检验（two-sided test）问题）问题。 当统计量的观测值落在当统计量的观测值落在 内时，则拒绝原假设内时，则拒绝原假设H0。因为拒绝域位于一边，所以称这类假设检验为。因为拒绝域位于一边，所以称这类假设检验为单单边假设检验（边假设检验（one-sided test）。）。),(u上一页上一页下一页下一页返回返回(1)双边检验双边检验2、单个正态总体方差的假设检验、单个正态总体方差的假设检验( 检验法）检验法）2 设总体设总体 , 未知时未知时,检验假设检验假设 ),(2 NX)(:;:202012

17、020为为已已知知常常数数 HH)1()1( 220220 nSnH 为真时为真时 1)1()1(222221nnP有有对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平.,2分布表可得分布分位点分布表可得分布分位点查查对于给定的对于给定的 上一页上一页下一页下一页返回返回)1()1(2222210 nnH 的接受域是的接受域是)1()1(22222120 nnH 或或的拒绝域是的拒绝域是.22检验法为进行假设检验的方法称态总体方差分布的统计量对单个正这种服从上一页上一页下一页下一页返回返回(2)单边检验单边检验(右检验或左检验右检验或左检验)设总体设总体 , 未知时未知时,检验假设检验假设 ),(2

18、NX)(:;:2012020右右检检验验 HH2*20220)1( SnH 为真时为真时 )1(22*nP有有对对于于给给定定的的显显著著性性水水平平 )1()1(22*22nPnP于于是是有有)(1()1( 220220右检验右检验的拒绝域是的拒绝域是 nSnH 上一页上一页下一页下一页返回返回的拒绝域为的拒绝域为可得左检验假设可得左检验假设同理同理2012020:;:, HH221 (1)n(左检验上一页上一页下一页下一页返回返回:,30,.09. 0:,.09. 0),()(:22022测得数据如下测得数据如下个个加工的零件中抽取加工的零件中抽取从该车床从该车床为此为此即检验原假设即检验

19、原假设精度精度的加工的加工需要检验是否保持原来需要检验是否保持原来经过一段时间后经过一段时间后原来的加工精度原来的加工精度正态分布正态分布服从服从的直径的直径自动车床加工某种零件自动车床加工某种零件例例 HNmm零件零件直径直径xi9.29.49.69.810.010.210.410.610.8频数频数ni113675421?)05. 0( 问问加加工工精精度度是是否否变变差差上一页上一页下一页下一页返回返回解解:要检验的假设是要检验的假设是;09. 0:;09. 0:2120 HH3 .4309. 01344. 0291344. 0,30,09. 02222220 的观测值的观测值由此得统计

20、量由此得统计量样本方差得样本方差得已知已知Sn因为因为 未知未知,所以选取统计量所以选取统计量)1()1(220222 nSn 上一页上一页下一页下一页返回返回.,6 .42)29()1(510205. 022205. 022工精度变差了工精度变差了即认为该自动车床的加即认为该自动车床的加而接受备择假设而接受备择假设所以拒绝原假设所以拒绝原假设因为因为得得查附表查附表HHn 上一页上一页下一页下一页返回返回第三节第三节两个正态总体的假设检验两个正态总体的假设检验设总体设总体 ，总体，总体 ，从两从两个总体中分别独立抽取样本个总体中分别独立抽取样本X1，X2， ，及及Y1，Y2，Yn ，样本均值

21、与样本方差分别是，样本均值与样本方差分别是 1111niiXnX 112121)(11niiXXnS及及 2121njjYnY 212222)(11niiYYnS来检验关于参数来检验关于参数 的某些假设。的某些假设。),(211 NX),(222 NY222121, 1nX2上一页上一页下一页下一页返回返回1、两正态总体数学期望假设检验、两正态总体数学期望假设检验（1）方差方差已知，关于已知，关于数学期望数学期望的假设检验的假设检验(Z检验法检验法)考虑检验问题考虑检验问题H0： ；H1：21 21 22121212(,)(,)XNYNnn，21)()()( YEXEYXE222121)()(

22、)(nnYDXDYXD ),(22212121nnNYX 故故上一页上一页下一页下一页返回返回)1 , 0(,0222121NZHnnYXZ为真时为真时当当选取统计量选取统计量 )1 , 0()()(22212121NnnYX 从而从而21 ,222 zZPzZPz或或使使查标准正态分布表求查标准正态分布表求对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平)()( :22212100nnyxzzZ 的观察值的观察值由两个样本观察值计算由两个样本观察值计算上一页上一页下一页下一页返回返回;,1020HHzz接接受受备备择择假假设设则则拒拒绝绝原原假假设设若若 .,0020HHzz可可以以接接受受原原假假

23、设设相相容容则则与与原原假假设设若若 上一页上一页下一页下一页返回返回(2) 方差未知，关于均值的假设检验方差未知，关于均值的假设检验(t检验法检验法)(:;: ,),(),(,21121022212221222211双边假设双边假设检验假设检验假设但但未知未知独立独立与与设二正态总体设二正态总体 HHNYNXYX)2(11)()(212121 nntnnSYXtw 随机变量随机变量)2()1()1(21222211 nnSnSnSw其中其中上一页上一页下一页下一页返回返回)2(11 ,21210 nntnnSYXtHw统计量统计量为真时为真时假设假设 )2( )2(,212212nnttPn

24、ntt使使分布表求分布表求查查对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平)1()1( 210nnSyxttw 的观察值的观察值由样本观察值计算由样本观察值计算.),2(02120Hnntt则则拒拒绝绝原原假假设设若若 .),2(02120Hnntt则则接接受受原原假假设设若若 上一页上一页下一页下一页返回返回统计量统计量2221SSF 2、两正态总体方差的假设检验、两正态总体方差的假设检验(F检验法检验法)(1)双边检验双边检验2221122210212121222211:;: ,；,),(),(,21HHYYYYXXXXNYNXYXnn检验假设未知样本的是总体的样本是总体独立与设两正态总体)1, 1(2122222121* nnFSSF 随机变量随机变量上一页上一页下一页下一页返回返回)1, 1(,212221 nnFSSF统计量统计量假设成立时假设成立时)1, 1()1, 1(,2122121 nnFnnFF 与与分布表求临界值分布表求临界值查查对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平 1)1, 1()1, 1(2122121nnFFnnFP使使得得)1, 1()1, 1( 21221210 nnFFnnFH 的接受域为的接受域为)1, 1()1, 1( 21221210 nnFFnnFFH 或或的拒绝域为的拒绝域