微积分6.5定积分应用

1、2022-5-19高等数学-定积分的应用1上课手机关了吧手机关了吧?请班干课间请班干课间点名点名, 谢谢！谢谢！2022-5-19高等数学-定积分的应用21.分割分割 2.近似近似 3.求和求和 4.取极限取极限绝对值绝对值曲边梯形的面积曲边梯形的面积定积分的值只与被积函数和积分区间有关，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量的记号无关而与积分变量的记号无关1. f (x)在区间在区间 a,b上连续上连续2. f (x)在区间在区间a,b 上有界且只有有限个间断点上有界且只有有限个间断点xyo)(xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积( )baSf x dx x6.5 定积分的应

2、用定积分的应用一、平面图形的面积一、平面图形的面积(1.求面积；求面积；2.求体积；求体积；3.经济应用经济应用)f (x)0时，时，()baSfx dx ( )baSf x dx ()()cbacSfx dxfx dx ()baSfxdx 一般地：一般地：2022-5-19高等数学-定积分的应用4 ( )( )baSf xg x dx ( ( )( )f xg x ( )( )baSf xg x dx f (x)f (x)f (x)g(x)g(x)g(x)2022-5-19高等数学-定积分的应用5( )y ( )( )dcSyy dy ( )( )dcSyydy ( ( )( )yy ( )

3、y ( )y ( )y ( )y ( )y 6解题步骤：解题步骤：1.联列方程联列方程,求交点坐标求交点坐标; 2.画图画图 3.列出定积分式列出定积分式; 4.算出结果算出结果解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(120()Sxxdx 10333223 xx.31 2xy 2yx 解解两曲线的交点两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy2xy xxy63 S 0322(6)xxxdx dxxxx)6(3230 25312 2022-5-19高等数学-定积分的应用8解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy

4、(8,4)(2, 2)22yx4yx242(4)2ySyd y 选选 y为积分变量为积分变量2342423yyy 648(816)(28)66=18280222(24)Sxdxxxdx )2, 2( )4 , 8(选选 x为积分变量为积分变量4yx22yx注意：注意：“被积函数、积被积函数、积分变量、积分上下限分变量、积分上下限”三者必须统一。三者必须统一。33228220222 22 24 332xxxx16648(3232)(28)333=182022-5-19高等数学-定积分的应用10解解2204abSax dxa 22222222(1)()xbybaxaa2144baaba2221(4

5、arcsin )220ab axx axaa2022-5-19高等数学-定积分的应用11xoab二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.().baVS x dx 立体体积立体体积2022-5-19高等数学-定积分的应用12RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三

6、角形x截面面积截面面积22221( )tan,2S xRxRx 立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 2022-5-19高等数学-定积分的应用13解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx垂直于垂直于x轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形截面面积截面面积22( )S xy hh Rx立体体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR 2022-5-19高等数学-定积分的应用14 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋

7、转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台三三 、旋转体的体积、旋转体的体积2022-5-19高等数学-定积分的应用15一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy 2022-5-19高等数学-定积分的应用16旋转体体积旋转体体积2( )bxaVfx dx)(xfy dx2022-5-19高等数学-定积分的应用17yr解解hPxhry

8、xo直线直线 方程为方程为OPdxxhrVh20 hxhr03223 .32hr 2022-5-19高等数学-定积分的应用1822202(1)axxVbdxa 221xyba 24()3yVa b 22221xyab 例例8. 求椭球体体积求椭球体体积(椭圆面椭圆面 绕绕x轴旋转轴旋转)320223axbaa 243ab 例例9 求平面曲线求平面曲线yx2与直线与直线y0、x1围成的平围成的平面图形的面积及该平面图形绕面图形的面积及该平面图形绕x轴、轴、y轴旋转一周所轴旋转一周所得旋转体的体积得旋转体的体积 120Sx dx 120 xVdx 1022yVdyRr 2 1011|22y R13

9、 15 x2xx =1y =x211xy12 2yyr注意：绕注意：绕y轴旋转时轴旋转时“被积函数、积分变量、积分被积函数、积分变量、积分上下限上下限”三者统一于三者统一于y.四、经济应用四、经济应用1.已知总产量变化率已知总产量变化率f (t)(即即Q (t)，求总产量，求总产量Q(t) 00( )()( )ttQ tQ tfd 通常取通常取t0=0, 则则从而有从而有:0( )( )tQ tfd 从从t =t1到到t =t2 这段时间内的总产量这段时间内的总产量 21( )ttQf t dt 2.已知边际成本已知边际成本C (x), 求总成本求总成本0()(0)( )xC xCCt dt

10、3.已知边际收益已知边际收益R (x),求总收益求总收益0()( )xR xR t dt 0()(0)( )xL xLL t dt 4.已知边际利润已知边际利润L (x), 求总利润求总利润0(0)( )xCL t dt Q(0)=0,2022-5-19高等数学-定积分的应用21例例10.设某产品的总产量变化率为设某产品的总产量变化率为 f (t )=10010t0.45t2 (吨吨/小时小时) 求从求从t1=4到到t2=8这段时间内的总产量这段时间内的总产量 84( )Qf t dt 解解(吨吨)824(100100.45 )ttdt 23 8440050.15 572.8tt 2022-5-19高等数学-定积分的应用22 例例11. 设产品的总成本设产品的总成本C (万元万元)的变化率的变化率C (x)=1 L 总收入总收入R(万元万元)的变化率的变化率R55q, q为生产量为生产量(百台百台),（1）求生产量等于多少时，总利润最大？）求生产量等于多少时，总利润最大？（2）从利润最大的生产量起又生产）从利润最大的生产量起又生产100台，利润台，利润减少多少？减少多少？解解 (1)当生产量为当生产量为4百台时，总利润最大。百台时，总利润最大。(2)(万元万元)54L dq 54(4)q dq 254140.52q 即即:从利润最大的生产量起又生产