椭圆的简单几何性质(一)

1、主讲：李小梅主讲：李小梅椭圆的定义椭圆的定义图形图形标准方程标准方程a,b,c的关系的关系 1 12 2yoFFPx1oFyx2FP22221 0 xyabab22221 0yxabab 椭椭圆落在圆落在x=x=a,ya,y= = b b组成的矩形组成的矩形中：中： oyB1B2A1A2F1F2cab一、范围：一、范围：观察观察: :椭圆椭圆 22221xyab 222222221010 xyyxabba 由，22221,1xyab,axabyb x2212516xy练习练习1 1、口答下列椭圆的范围。口答下列椭圆的范围。YXOP（x，y）P2（-x，y）P3（-x，-y）P1（x，-y）22

2、221(0)xyabab关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称二、椭二、椭圆对称性圆对称性椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。222222.2.40.45. 94A xyB yxC xyxDxy练习练习2 2、D下列方程所表示的曲线中，关下列方程所表示的曲线中，关于原点对称的是（于原点对称的是（ ）三、椭圆的顶点三、椭圆的顶点22221(0)，xyabab在中令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点（ ）， 令 y=0，得 x=？, 说明椭圆与 x轴的交点（ ） oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1(-a,0)A2(a,0)0, ba, 0* *长轴：线段长轴：线段A A1 1A A

3、2 2 ，等于，等于2a2aa a叫做椭圆的叫做椭圆的长半轴长长半轴长；b b叫做椭圆的叫做椭圆的短半轴长短半轴长。* *短轴短轴: : 线段线段B B1 1B B2 2 ，等于，等于2b2b14922yx标及长轴和短轴长。口答下列椭圆的顶点坐练习练习3 3、( 3,0),(3,0),(0, 2),(0,2)64顶点是：长轴长是: 短轴长是: 练习练习4 4、 画出下列椭圆的草图画出下列椭圆的草图1162522yx142522yx（1）（2）B2 123-1-2-3-44yA1 A2 B1 1 2 345-1-5-2-3-4x0123-1-2-3-44yB1 A2 B2 A1 1 2 345-

4、1-5-2-3-4x0问题：圆的形状都是相同的，而椭圆 却有些比较“扁”，有些比较 “圆”，用什么样的量来刻画 椭圆“扁”的程度呢？四四、椭圆的离心率、椭圆的离心率ace 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。 2e2e对对椭圆形状的影响：椭圆形状的影响：ac0,1 0，即0ee e越小，椭圆越圆越小，椭圆越圆。1.求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心率、 焦点和顶点坐标。解：把已知方程化成标准方程1452222yx31625,4,5cba椭圆的长轴长是:离心率:30.65cea焦点坐标是:12(3, 0),(3, 0)FF四个顶点坐标是:1212( 5

5、,0),(5,0),(0,4),(0,4)AABB椭圆的短轴长是:2a=102b=8巩固练习：巩固练习：12422yx2 2、点、点 在在 的内部，则的内部，则a a的取值范围的取值范围 是是（ ）1 ,aA.22.2AaDa 2.22. 1B aaDa或 - 13. 3. 中心在原点，焦点在中心在原点，焦点在x x轴上，长轴、短轴的轴上，长轴、短轴的长长 分分别为别为8 8和和6 6的椭圆方程为的椭圆方程为 （ ） 4.4.如果一个椭圆短轴上的一个顶点与两个焦点构如果一个椭圆短轴上的一个顶点与两个焦点构 成一个正三角形，则这个椭圆的离心率为成一个正三角形，则这个椭圆的离心率为 （ ）A221

6、169xy125.已知椭圆 的离心率 ， 求 的值. 19822ykx21ek6.椭圆的一个顶点为 ,其长轴长是短轴长 的2倍，求椭圆的标准方程02，A5.已知椭圆 的离心率 ，求 的值 。19822ykx21ek21e4k由由 ，得：得：解解：1 1）当）当椭圆的焦点椭圆的焦点在在x x轴上时，轴上时，得得 82 ka92b12 kc 2)2)当当椭圆的焦点椭圆的焦点在在y y轴上时，得轴上时，得 92a82 kbkc1221e4191 k45k由由 ，得得 ，即即 满足条满足条件件k k的的为为 或或 4k45k6.椭圆的一个顶点为 ,其长轴长是短轴长 的2倍，求椭圆的标准方程02，A分析

7、：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置. 椭圆的标准方程为：椭圆的标准方程为： 11422yx椭圆的标准方程为：椭圆的标准方程为： 116422yx综上所述，椭圆的标准方程是综上所述，椭圆的标准方程是 或或 . . 11422yx116422yx解解: :（1 1）当）当A(2,0)A(2,0)为长轴端点时为长轴端点时, a=2,b=1, a=2,b=1（2 2）当）当A(2,0)A(2,0)为短轴端点时为短轴端点时, b=2,a=4, b=2,a=4定定 义义图图 形形方方 程程范范 围围对称性对称性顶顶 点点离心率离心率22221 0 xyabab22221 0yxabab(a,0)、(0,b)|x| a |