大学物理马文蔚课堂笔记课件

1、上海师范大学上海师范大学大学物理马文蔚课堂笔记大学物理马文蔚课堂笔记13.9 质心质心 质心运动定律质心运动定律 iiicmmmrmrmrmr2122111. 对于分立的质点系对于分立的质点系xzyOm2m1CmimNcrir2r1rnr 第一章和第二章学习了质点的运动学和动力学第一章和第二章学习了质点的运动学和动力学.本章的前几节从能量及其守恒定律的角度学习了质点系的运动规律本章的前几节从能量及其守恒定律的角度学习了质点系的运动规律.但对于但对于质点系质点系的运动学和动力学没有讨论的运动学和动力学没有讨论.因为质点系的运动学因为质点系的运动学方程组方程组和动力学方程组的求解太复杂和动力学方程

2、组的求解太复杂.换一个角度考虑换一个角度考虑, 质点系的运动可以看成是质点系的运动可以看成是质心的运动质心的运动和质点系中各和质点系中各质点质点相对于质心的运动相对于质心的运动.例如例如, 跳水运动员在空中的运动可以看成质心的运动和相对于质心的转动跳水运动员在空中的运动可以看成质心的运动和相对于质心的转动.一、质心的坐标一、质心的坐标iiiiimrm m 是质点系的总质量是质点系的总质量.mrmiii(1)/14上海师范大学上海师范大学大学物理马文蔚课堂笔记大学物理马文蔚课堂笔记23.9 质心质心 质心运动定律质心运动定律直角坐标系下：直角坐标系下：;mxmxiiic;mymyiiic2. 对

3、于质量连续分布的物体对于质量连续分布的物体xzyOm2m1C(xc,yc,zc )mimNcrir2r1rnr对于质量连续分布的物体对于质量连续分布的物体, 上面的求和要用上面的求和要用积分代替积分代替. 如右下图所示如右下图所示.xzyOCrcdmrdmdmrrc直角坐标系下：直角坐标系下：;mxdmxc;mydmycdVm是物体的是物体的总质量总质量.式中式中dVdm是质量元是质量元.mdmr(3)mzmziiic(2)mzdmzc(4)/14上海师范大学上海师范大学大学物理马文蔚课堂笔记大学物理马文蔚课堂笔记33.9 质心质心 质心运动定律质心运动定律下面通过两个例子掌握质量分立和连续分

4、布体系的质心的求法下面通过两个例子掌握质量分立和连续分布体系的质心的求法. 例例 1 水分子水分子H2O是由两个氢原子和一个氧原子构成是由两个氢原子和一个氧原子构成, 它们的结构如右下图它们的结构如右下图 所示所示. 每个氢原子与氧原子之间距离均为每个氢原子与氧原子之间距离均为d=1.0 10-10m, 氢原子与氧原氢原子与氧原 子两条连线之间的夹角为子两条连线之间的夹角为 =104.60. 求水分子的质心求水分子的质心.解解 如图所示如图所示, 将坐标原点建在氧原子的中心将坐标原点建在氧原子的中心.HOH52.3052.30Cxy根据对称性可知根据对称性可知, 质心的位置应该在对称轴质心的位

5、置应该在对称轴(x轴轴)上上. 密度均匀、形状对称分布的物体密度均匀、形状对称分布的物体, 其质心都在它的几何中心处其质心都在它的几何中心处.如质量均匀分布的圆环其质心在圆环中心如质量均匀分布的圆环其质心在圆环中心; 质量均匀分布的球其质心在球心等质量均匀分布的球其质心在球心等.即即0cy由质心的计算公式可得由质心的计算公式可得, iiiiicmxmxHOHHOHmmmxmxmxm321HOHHmmmdm2/cos211613 .52cos100 . 112010m12108 . 6即水分子的质心在对称轴上即水分子的质心在对称轴上距氧原子中心距氧原子中心6.8 10-12m处处./14上海师范

6、大学上海师范大学大学物理马文蔚课堂笔记大学物理马文蔚课堂笔记43.9 质心质心 质心运动定律质心运动定律例例 2 求半径为求半径为R的的匀质匀质半薄球壳的质心半薄球壳的质心.解解 如图所示如图所示, 将坐标原点建在球壳的球心将坐标原点建在球壳的球心.根据对称性可知根据对称性可知, 质心的位置应该在对称轴质心的位置应该在对称轴(z轴轴)上上. 即即0;0ccyx由质心的计算公式可得由质心的计算公式可得, mzdSmzdmzc22RSmdszzdm)sin()(cos202/0 dRRdR在在球坐标系球坐标系中进行计算中进行计算, 球坐标系中有球坐标系中有;cosRz )sin()(dRRddSy

7、z0 xCdS 设匀质薄球壳的质量面密度为设匀质薄球壳的质量面密度为 , 则半球壳的总质量为则半球壳的总质量为202/03sincosddR202/03sinsin ddR2/023sin212R3R/14上海师范大学上海师范大学大学物理马文蔚课堂笔记大学物理马文蔚课堂笔记53.9 质心质心 质心运动定律质心运动定律yz0 xdSC22Rm3Rzdm将将和和代入质心计算式代入质心计算式mzdmzc得得, 2223RRRmzdmzc由此可得由此可得, 质心的坐标为质心的坐标为(0,0, R/2), 质心在半球壳对称轴上半径的中点处质心在半球壳对称轴上半径的中点处.二、质心运动定律二、质心运动定律

8、以上讨论的是如何确定任意体系的质心位置以上讨论的是如何确定任意体系的质心位置.那么质心的运动遵守什么规律呢那么质心的运动遵守什么规律呢 ? 遵守牛顿定律吗遵守牛顿定律吗 ?niiicniiicrmrmmrmr11因为质点的质量及总质量是不变的因为质点的质量及总质量是不变的, 因此上式两边对时间求导数因此上式两边对时间求导数, 得得iiicdtrdmdtrdm(5)设质点系由设质点系由n个质点组成个质点组成./14上海师范大学上海师范大学大学物理马文蔚课堂笔记大学物理马文蔚课堂笔记63.9 质心质心 质心运动定律质心运动定律niiicdtrdmdtrdm1(5)由速度的定义式可知由速度的定义式可

9、知trcdd是质心的运动速度是质心的运动速度; tridd是第是第i个质点的运动速度个质点的运动速度.因此因此, (5)式可以写成式可以写成, cniiniiicppmm11(6)(6)式表明式表明, 系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的速度乘以系统的质量系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的速度乘以系统的质量.即系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的动量即系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的动量.(6)式两边再对时间求导数得式两边再对时间求导数得,由质点系的动量定理由质点系的动量定理(P553-4b式式)tpFFniexiexdd1可得可得, ccexamdtdmtpFdd(7)

10、tptptmtmtmcniininiiiiicddddd)d(dddd111/14上海师范大学上海师范大学大学物理马文蔚课堂笔记大学物理马文蔚课堂笔记73.9 质心质心 质心运动定律质心运动定律ccexamdtdmtpFdd(7)(7)式表明式表明, 作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以系统质心的加速度作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以系统质心的加速度. -这一结论称为质心运动定律这一结论称为质心运动定律.(7)式形式上相当于质点系的所有质量都集中在质心上式形式上相当于质点系的所有质量都集中在质心上, 而所有外力都作用在而所有外力都作用在质心上时的牛顿第二定律质心上时的牛顿第二定律.

11、例例 3 设有一质量为设有一质量为2 m的弹丸的弹丸, 从地面斜抛出去从地面斜抛出去, 它飞行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片它飞行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片, 其其中一个碎片竖直自由下落中一个碎片竖直自由下落, 另一个碎片水平抛出另一个碎片水平抛出, 它们同时落地它们同时落地, 试问第二个碎片落地点在何处试问第二个碎片落地点在何处 ?mm分析分析, 本题可以用二种方法求解本题可以用二种方法求解:(ii) 直接用运动学方法求解直接用运动学方法求解.(i) 用质心运动定律求解用质心运动定律求解.下面用二种方法进行求解下面用二种方法进行求解.2mC/14上海师范大学上海师范大学大学物理马

12、文蔚课堂笔记大学物理马文蔚课堂笔记83.9 质心质心 质心运动定律质心运动定律2mCmm由质心坐标的计算公式可得由质心坐标的计算公式可得, 解法一解法一: 书上的解法书上的解法-用质心运动定律求解用质心运动定律求解.由于爆炸是属于内力由于爆炸是属于内力, 因此根据质心运动定律因此根据质心运动定律可知可知, 爆炸前后弹丸的质心运动轨迹是相同的爆炸前后弹丸的质心运动轨迹是相同的.建立坐标系如图建立坐标系如图, 以第一个碎片的落地点为坐标原点以第一个碎片的落地点为坐标原点.第二个碎片的落地点为第二个碎片的落地点为x2; 二碎片的质心坐标为二碎片的质心坐标为xc .xoxCx2)(2102122222

13、212211mmxmmxmmmxmxmxc由此可解得由此可解得, cxx22即第二个碎片的落地点与第一个碎片落地点之间的水平距离是碎片的质心即第二个碎片的落地点与第一个碎片落地点之间的水平距离是碎片的质心与第一个碎片落地点水平距离的两倍与第一个碎片落地点水平距离的两倍.质心的落地点就是弹丸不爆炸时的落地点质心的落地点就是弹丸不爆炸时的落地点./14上海师范大学上海师范大学大学物理马文蔚课堂笔记大学物理马文蔚课堂笔记93.9 质心质心 质心运动定律质心运动定律解法二解法二: 直接用运动学方法进行求解直接用运动学方法进行求解.设爆炸前弹丸的速度为设爆炸前弹丸的速度为v, 爆炸后第一个碎片爆炸后第一

14、个碎片的速度为的速度为v1, 第二个碎片的速度为第二个碎片的速度为v2.2mCmmxoxCx2v2V1=0由于爆炸过程中由于爆炸过程中, 内力远大于外力内力远大于外力, 因此动量守恒因此动量守恒. 题设爆炸后第一个碎片自由下落题设爆炸后第一个碎片自由下落, 因此因此V1=0.由此可得由此可得, 爆炸后第二个碎片的水平速度爆炸后第二个碎片的水平速度v2为为22设爆炸后碎片下落的时间为设爆炸后碎片下落的时间为 t, 则第二个碎片的落地点距第一个碎片落地点的距离为则第二个碎片的落地点距第一个碎片落地点的距离为ttx222如果弹丸不爆炸如果弹丸不爆炸, 则弹丸的下落时间也是则弹丸的下落时间也是 t,

15、因此弹丸因此弹丸(质心质心)落地点距离原点为落地点距离原点为txc212mmm即即由此可得由此可得, cxx22即第二个碎片的落地点与第一个碎片落地点之间的水平距离是碎片的质心即第二个碎片的落地点与第一个碎片落地点之间的水平距离是碎片的质心与第一个碎片落地点水平距离的两倍与第一个碎片落地点水平距离的两倍. 与方法一计算结果相同与方法一计算结果相同./14上海师范大学上海师范大学大学物理马文蔚课堂笔记大学物理马文蔚课堂笔记10习习 题题 课课/14P97 习题习题3-30:质量为质量为m1的弹丸的弹丸, 穿过如图所示的摆锤后穿过如图所示的摆锤后, 速率由速率由v减小到减小到v/2. 已知摆锤的质

16、量已知摆锤的质量为为m2, 摆摆线线长度为长度为L, 如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动, 弹丸弹丸的速度的最小值应为多少的速度的最小值应为多少? vv/2lm1m2解解 本题分为两个过程本题分为两个过程: 过程一过程一: 弹丸与摆锤的碰撞过程弹丸与摆锤的碰撞过程; 过程二过程二: 摆锤在竖直平面内作圆周运动的过程摆锤在竖直平面内作圆周运动的过程; 碰撞过程中碰撞过程中, 弹丸与摆锤在水平方向合力为零弹丸与摆锤在水平方向合力为零, 因此水平方向动守恒因此水平方向动守恒. 02112mmm设碰撞后摆锤的速度为设碰撞后摆锤的速度为 , 由动量守

17、恒定律得由动量守恒定律得001221022mmmm即即0上海师范大学上海师范大学大学物理马文蔚课堂笔记大学物理马文蔚课堂笔记11习习 题题 课课/14碰撞后碰撞后,摆锤在竖直平面内作圆周运动摆锤在竖直平面内作圆周运动, glgmlmFHH2222)()(0因此因此 在最高点处有在最高点处有,nFmgFFn是摆锤作圆周运动所需的向心力是摆锤作圆周运动所需的向心力.vv/2lm1m20mgHFlmgmFH222)(由此可得由此可得最高点处的速率为最高点处的速率为 , 最高点处摆锤受到重力最高点处摆锤受到重力mg和绳子和绳子的拉力的拉力F的作用的作用, 如图所示如图所示H摆锤在竖直平面内作圆周运动的

18、过程中只有重力作功摆锤在竖直平面内作圆周运动的过程中只有重力作功,故机械能守恒故机械能守恒. 取最低点为势能零取最低点为势能零, 则有则有 )2()(21)(21222202lgmmmHglglglglHH544)()(220代入得将即即gl50glmmglmmmm5252212min12012由此可得子弹速度为由此可得子弹速度为上海师范大学上海师范大学大学物理马文蔚课堂笔记大学物理马文蔚课堂笔记12习习 题题 课课P97 习题习题3-34:如图所示如图所示, 一个质量为一个质量为m的小球的小球, 从内壁为半球形的容器边缘点从内壁为半球形的容器边缘点A滑下滑下, 设容器设容器质量为质量为 ,

19、半径为半径为R, 内壁光滑内壁光滑, 并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上, 开始时开始时小球和容器都处于静止状态小球和容器都处于静止状态, 当小球沿内壁滑到容器底的点当小球沿内壁滑到容器底的点B时时, 受到向上的支受到向上的支持力为多大持力为多大? mm AROB解解 桌面为参照系桌面为参照系 (1) 在小球下落过程中在小球下落过程中, 小球和容器所受的合外力等于小球和容器所受的合外力等于 零零, 因此小球和容器构成的系统动量守恒因此小球和容器构成的系统动量守恒.mm当小球下落到最低点当小球下落到最低点B时时, 小球的速度方向沿水平向左小球的速度方向沿水平向左. 设在设在B点时小球点时小球相对于桌面相对于桌面的速度为的速度为m由于动量守恒由于动量守恒, 容器将向右运动容器将向右运动, 设容器设容器相对于桌面相对于桌面的速度为的速度为m) 1 (0mmmm设向左方向为正设向左方向为正, 由动量守恒定律可得由动量守恒定律可得/