《植树问题》课堂实录俞正强 (1)

1、 植树问题课堂实录 俞正强师：同学们，我们开始上课。看黑板上：20米，平均每5米分一段，共分几段？会做的请举手。（生举手示意。）师：放下。（目光注视其中一位）你不会做。你为什么不会做？生：我会做。师：那你做。生：20除以5。师：20除以5等于几？（边问边板书）请问为什么要用除法来做？（继续追问回答的学生）生：因为是“平均每5米一段”。师：（引导）因为是一件什么事情啊？师生共答：是一件平均分的事情。所以用除法。师：你既然会做，为什么不举手？生：来不及举手。师：来不及举手，因为大家举得太快了。（随机抽问一位学生）你什么时候会做这道题？生：三年级。师：（换一种说法）去年。（继续抽问其他学生）你呢？生

2、：二年级。师：（换一种说法）前年。（回头追问去年会做的那位学生）你为什么迟一年啊？（追问前年会做的那位学生）你为什么比他快一年啊？生：我妈妈先教我的。师：（继续追问去年会做的那位学生）你妈妈为什么不教你啊？生：我妈妈不会。师：同学们，这一道题我们三年级就会了，用20除以5等于4。为什么用除法呢？因为它是一个什么事情啊？生：平均分。师：好。再看老师给大家准备的第二道题目，我来给大家读一读：20米路，每5米栽一棵树，共栽几棵树？会的请举手。师：（巡视一阵，问一位学生）你是来不及还是不举手？你确认一下。师：大家都举手，都会做了。要不大家把做法写脑子里好不好？我请一个小姑娘回答，你们请看看她回答得对不

3、对，好不好？生：这应该是除的。20除以5等于4.师：（板书）20÷5=4（棵）小朋友，有不同意见吗？师抽一个小组逐个询问，大家都同意。师：就一个不同意。请你说说，你为什么不同意啊？生：因为这个（指第一个问题）没有必要栽一棵树，但我第一段（指第二个问题）必须要先栽一棵树，然后再栽一棵树，所以要加一棵树。师：一共要种几棵树啊？生：5棵树。师：（略做停顿，然后抽问学生）你听得懂吗？生：听得懂。师：懂在哪里？生答不出。师：他说一共5棵树。我们明明算出来是4棵，可他却说5棵。（抽问其他学生）你懂吗？生：就是从第0米开始就要先种1棵。师：（画出线段示意图，在0米处画1棵树。抽问其他学生）你现在支

4、持4棵还是5棵？生：5棵。因为0米上面也要种一棵。师：0米也要种1棵。第2棵在哪里？第3棵呢？第4棵呢？第5棵呢？师：到底几棵？大家发现没有，我们这么多的小朋友，只有一个小朋友做对，（师边说边走到说5棵的学生处）为什么这么多人说4棵，你偏偏要说5棵呢？生：因为我以前看过一本书，那里面就说是分成5棵的。师：你们都没看过吗？生：没有。师：真的没有还是假的没有？生：真的没有。师：你们这里有没有小朋友上过课外的奥数班？生：因为还没有学到那里。师：好，不问大家了。同学们，几棵树？生：5棵。师：同学们，我们来看一下，这两道题目，一样不一样？生：不一样。师：不一样在哪里？生：第一个要平均分，而第二个在前面那

5、里也要种上一棵树。师：你们谁自认为能回答得比她好一点？生：一个是问种几棵树，一个是问分几段的。师：（边说边板书）这是几段的，这是几棵的。同学们，几段和几棵，有不一样吗？生：有。棵是以“一个”为单位的，而段是“两个”中间的为一段。师：同学们，我们平均分是一段一段分的，但是种树的时候是种在哪里的？是种在一个个哪里的？生：点。（师随机板书）师：种树是种在哪里的？生：点上。师：“点”和“段”有什么不一样啊？种是种在“点”上的，咱们平均分是分出“段”来的。那么，一段有几个点啊？生：两个。师：两段有几个点啊？生：三个。师：三段有几个点啊？生：四个。师：四段有几个点啊？生：五个。师：请问，点和段之间有什么关

6、系？生答不出。师：没关系还是有关系？点多还是段多？生：点多。师：怎么个多法？生：一段线两个，两段线三个，三段线四个师：那么点比段多几？生：多1.师：在平均分的除法里面，点比线多1，而植树是正好植在什么地方的？生：点上。师：对了，要植在点上的，这就是为什么我们要在段上加1。（补充板书）师：（指着板书）同学们，一样不一样？生：不一样。师：（走到看书学会的学生身边询问）你那时候看书有没有看出这些东西来啊？生：说到了讲解的说法，但是没有这种。师：同学们，植树是植在什么上面的？生：点上。师：好，请你想想看，还有什么人做什么事也是做在点上的？（继续启发）除了植树人，把树种在点上的，你看看，还有什么人，做什

7、么事，也是做在平均分的点上的？生举手寥寥无几。师：那么我们种树再来种一下，好不好？师：现在这段路有多少米长啊？我如果改成100米呢？小朋友，几棵？生：51棵。师：怎么算出来的？生：100除以5再加1.师：对不对？生：错。师：再问大家一个问题。如果这段路是200米呢？生：200除以5加1.师：我短一点。50米呢？小朋友。生：11棵。师：不管换成多少远，一样吗？师：我们再回到刚才那个问题上去：除了植树人把树种在点上的，我们还有什么人做什么事也是做在点上的？生：比如我们现在下面的专家老师，他们的桌子上每隔一分米就放一个水杯。生：工人打地基。师：还有吗？生：种花的那个。生：那边的地砖，每隔1厘米放一块

8、砖。师：每个1厘米放一块砖，每个一点摆一盏大灯。一眼看去都是植树问题是不是？师：不错，他看到了砖，看到了灯，那些都在点上的，都相当于植树。生：路灯。师：还有没有？生：有。房子。生：缝衣服。师：缝扣子。生：花瓶。生：竹子。生：超市里放的货架。师：我来给大家举个例子：她的爸爸设计高速公路，每隔十几千米设一个服务区。服务区是不是在点上啊？你有没有比我好一点的例子弄个出来？师：要不要讨论一下？好，你们讨论一下，我等你们，开始！快点！师：（等待两分钟后）这么多想出来啦！（抽生回答）生：车站。生：网吧里的电脑。生：公路上面的红绿灯。生：柱子。师：柱子。没错。我再给你们来一个，你们肯定想不到的。美国选总统，

9、100年。每5年选一个奥巴马，我这个例子怎么样？评价一下。奥巴马是树吗？生：不是树，是人。师：那一个一个人站着，每5年一个总统，每5年一个总统，像不像这些树？生：像。师：像不像这些杯啊？像不像这些桩啊？生：像。师：动脑子啊！奥巴马是树啊！有什么感想？生：没有。师：你居然没感想？你有感想吗？举个例子，谁能再举个例子？让自己的脑子变得与众不同。生：绳子每隔5厘米打一个结。生：厕所的每个间隔有一个班。师：（惊讶）一个班就搞一个厕所啦？你哪个学校的？生低声说了句话。师：（兴奋）哦！同学们，她的意思我听懂了！太厉害了！她的意思是说每隔一节课就上一次厕所。她这个“上”是不是在点上的？生：是。师：那课是什么

10、？上是什么？好，时间关系，我们不往下说了。以后你要说要趁早好不好？师：还有一个最普通的。你们谁是三好学生？一个学期一张奖状，一个学期一张奖状，老师把奖状发在什么地方的？生：发在点上。师：同学们，大家发现没有？我们书上学的是平均分，到了生活中去就变成了植树问题。植树问题是要研究平均分当中的“点”的。师：同学们，现在又来了。生活中的种树很复杂的。大家知道了20米路要领几棵树去啊？生：5棵。师：好！唐将远这位小朋友领了5棵树，跑啊跑啊跑啊，到了20米的路，一看，哎呀呀，发生什么问题了？（师在线段示意图的一头贴上房子示意图）生：有房子挡住种树了。师：种树的一个点被房子占去了。唐将远小朋友，这时候你该怎

11、么办？生：换一个地方。生：不管那个房子，种在房子旁边。师：同学们，每隔5米种一棵，他把树背过去，看到那个地方有房子，他怎么样就可以了？生：拆房子。师：是拆房子容易还是什么容易啊？生：拆房子。生：种房子。师：一个嘛种房子，一个嘛拆房子，我被你们气死了。每隔5米种一棵，他把树背过去，看到那个地方有房子，他怎么样就可以了？只要这个地方要不要种了啦？只要在5米外一棵一棵种，（师在黑板上贴出植树的图。）种了几棵？带回来几棵？师：你是带回来一棵还是拆房子？生：带回来1棵。师：对啦!因为这一头被房子挡住了，只种了四棵，这一头就不种了。（师板书“只种一头”）要减1。5根减掉1根变成几根？师：好！刘培煌小朋友也

12、背了5棵树去种树，也是20米路，结果一看，比小唐还要严重，两端都有房子。你怎么办？生：在中间种树。师：在中间种树，种几棵？生：种3棵。师：小朋友，他这个方法聪明不聪明？两头不种，带回几棵？生：两棵。师：带回两棵，就减几棵？生：两棵。师：减1等于几棵？减2等于几棵？生：4棵。3棵。（师补充板书）师：同学们，简单不简单？那么除了种树之外，还有什么情况会出现也是一头不种的？什么情况会出现两头不种的？你举个例子。生：当全部种上房子之后。师：全部种上房子之后，那就全部不要种了。生：建休息站的时候，发现一头被山挡住了，所以就只建了四个休息站。师;他把种树变成休息站了，房子变成山了，好的！很好！还有谁要说的

13、？生：造电线杆的时候，那边没有人，就可以不造电线杆。生：路被拆了的时候。师：路被拆了？路都好拆的？（换一位回答）生：放羊的时候，有个地方站了个人。师：哦，放羊的时候。你那个树变成羊了，房子变成人了。好的。生：刚才我举例杯子的事情，然后有一个专家缺席了，杯子就可以少放一个了。师：好，同学们，例子很多，我给大家举个例子。我们上午上四节课，每节课下课都要放一首音乐。放几首音乐够了？生：3个。生：4个。生：5个。师：3个的、4个的、5个的都各有道理。5个的是想要都放一下，是不是？4个的，就是几头不种？3个的，就是几头不种了？师：大家希望我们放音乐的专家，是两头种，还是一头不种，还是两头不种好？生：两头

14、不种。生：只种一头。师：好，小朋友，这一个模型跟刚才的那位一节课上一次厕所的模型是怎样的？对，一样的。所以小朋友们，我们一定要记牢，在我们眼里，树、杯、桩、总统、音乐，一样不一样的？都在平均分的什么上啊？生：“点”上。师：点比段怎样？生：多1。师：平均分是分出什么来的？生：段。师：而我们在生活中是经常把东西放哪里的？生：点。师：点和段之间有如此？生：关系。师：同学们，今天这节课我们学下来，你有没有什么话跟我们交流？生：有一些情况两头都要，有些情况只要一头，有些情况两头都不用。生：种树问题和段不一样的。有时候会有一端不种，有时候会有两端全不种。师：同学们，这是我们学来的，（指平均分的问题，板书“

15、学”），用是用到哪里的？（指植树问题，板书“用”）用和学之间有差别吗？有的，学以致用。师：好！我们知道段数比点数多1了，我们学会这种方法了，可是这个小唐，这个小刘背着树去种时又生了什么？又会碰到一个具体的情况。所以，每次去用，我们都要用什么？用脑子，多思考，对不对？师：下课！ 数学还是那个数学 让数学教学回归数学          上海市静安区教育学院 曹培英 “数学还是那个数学”，经得起推敲吗？谁都知道，今天的数学，它的研究内容、研究方法都有长足的发展。如今，早已不是凭着一枝笔、一张纸就能驰骋数学世界的年代了。但令人庆幸的是，数学的基础，虽说

16、经历了几次恐慌危机，但矛盾不断在出现，也不断在解决。过去证明是正确的结论，现在依然正确。在数学王国里，对错依然分明，不至于公说公有理，婆说婆有理；也不存在正方、反方的辩论赛，参赛者抓阄决定自己的观点取向，最后获胜的居然是口才好的人。在这个意义上，“数学还是那个数学”。  至于呼吁“让数学教学回归数学”，并不是反对加强数学与生活的联系，拒绝数学内容与其他内容、数学表现形式与其他表现形式的有机整合，而是针对近年来一些日益流行的，似乎课程改革可以改变数学本质的现象提出的。这些现象形形色色，但都满足于把课改理念淋漓尽致地发挥在教学表现形式上，甚至影响了数学的实质，偏离了数学的精神都浑然不觉。

17、鉴此，本文试就其中最常见的几种现象，提出问题，展开质疑与讨论。考虑到小学数学及其教师、教学的特殊性，在下面的讨论中，不纯粹由数学视角切入，而采用以现象描述入手，以学习心理学、学科教学论与数学相结合的方式展开讨论。 一、数学教学的课题：究竟突出什么 （一）现象描述  近年来新编的小学数学教材，有的采用了一些形象生动的语言作为课题。如“玩具”“小猫钓鱼”“买冰淇淋”等等。初看时，似乎有些新意，童趣盎然。实践下来，有时却令人啼笑皆非。 案例1 父：今天数学课学了什么？儿：运动会。父：怎么不上数学课，又开运动会了？儿：不是的，是数学课的题目叫运动会。父

18、：噢如果说，家长产生诸如此类的误会，是由于他们不了解小学数学教材，他们只要打开课本仔细看看，就释然了。那么课堂上又会怎样呢？案例2师：昨天我们学了什么，生1：小胖下车。师：前面呢？生2：小胖上车。师：小胖上车用什么方法算？生3：加法。师：小胖下车呢？生4：减法。课堂上这样的“启发式”对话，不仅让生病请假后刚复课的学生摸不着头脑，就连观摩听课的其他年级数学老师也“一头雾水”，情不自禁地摇头。看看教材，原来课本上的课题就是这样的。 而且，当教师不满意课本提供的情节内容。自己根据新一轮课改的理念，创设具有地方特点或学校特色的问题情境时，只好更改课题名称。于是，使用同一教材、同一内容的一堂课

19、，不同的教师教，就出现了不同的课题。比如，都是教学乘法分配律，甲老师自拟的课题是“水果大超市”，乙老师自定的课题为“选购西装”，丙老师的课题叫做“课桌椅”五花八门，唯独不见乘法分配律的“蛛丝马迹”。（二）透视分析 面对这一新的情况，我们首先应当肯定教师对教材的二次加工。情境变了，“运动场”换成了“大舞台”，课题再叫“运动场”显然不合适，只能跟着变。再说，教师的教学创新应当鼓励，统一课程的校本化实施也是我们期望并提倡的。问题在于，课题“多样化”的目的是什么？是小学低年级不出数学名词时的代名词？一种有趣的联想符号？还是一种时髦？是不是应该听任数学课题在整个小学阶段都被情境彻底颠覆，让人看不出这是一

20、节数学课，让人摸不透这节课学了什么？由此引起的质疑是：究竟何为载体，何为主题？数学课题，究竟应当突出载体，还是突出主题？ 我们认为，一节数学课的主题，一般是明确的、确定的，而表现主题的载体，亦即承载数学知识的现实背景却可以千变万化，这是数学广泛应用性所决定的。因此，用数学内容的载体作课题，势必出现令人眼花缭乱的现象。进一步，数学教学的课题，应当是数学教学内容的概括。它是内容主题的刻画，而不仅仅是内容载体的表现。它对一节课的教学，常常起到画龙点睛的效果。当然，点睛必须点在龙身上，而不是点在龙身外的浮云上。同时，它对学生的记忆，往往具有简化记忆与提示回忆的作用。 相反，数学教学的课题，用表现数学知

21、识的具体事物，即承载数学知识的表现载体来命名。这就在知识的名称，即所谓的“符号表征”之外，又增加了一类名称，这里不妨将这类名称叫做“载体表征”，以示区别。而载体表征又无法替代符号表征，因此增加了知识的意义与表征之间关系的复杂性。例如，教学加法交换律，已经到了概括感性认识的阶段。原来，直截了当：现在，画蛇添足： 可见，这类外加的课题名称，既增加了记忆的内容，又添加了回忆检索以及后继教学的麻烦。 诚然，小学生的年龄特征，决定了小学数学必然重视内容的表现形式。在这个意义上，载体表征的课题也有积极的一面，主要是有助于增强数学学习课题对于小学生的亲和力、趣味性。但“童趣味”不应淹没、替代“数学味”，毕竟

22、形式是为内容服务的，本末不应倒置！何况我们有很多其他行之有效的手段可以达到增强数学的亲和力、趣味性的效果。（三）我们怎么办第一，很简单，让数学课题回归数学内容。 其实，很多数学课题，以数学知识本身的名称来命名，就很不错。以乘法运算定律为例，乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，这“交换”“结合”“分配”，多么生动、形象，又多么贴切，以致词自身的含义就有助于领会定律的内涵，有助于由名称获得提示，回忆起定律的内容。比如，由“乘法分配律”的名称学生最容易联想到的问题是“分配什么”，通过举例说明： 不少学生能够用自己的语言来描述“分配”的含义：所谓分配原来是“把一个因数分配给每个加数”。多好的通俗解释，

23、虽说很不严谨，但这恰恰是儿童自己的意义建构、自己的表述。而且，乘法分配律的精髓沟通乘、加两种运算的定律，不已蕴涵其中了吗？众所周知，在五条运算定律中，唯有乘法对于加法的分配律给出了乘、加两种运算之间的联系。我们不禁要问，像这样科学性、人文性兼备的名称，作为数学课的课题，又有什么不好呢？第二，也很简单，对课题做出必要的、适当的加工。也就是说，强调课题突出教学内容的主题，并不排斥对课题的通俗化、艺术化的处理。 比如，将数学的拓展内容统称为“数学广角”或“数学广场”，显得更生动、更有趣；将“多位数的认识”称之为“大数的认识”，似乎更通俗、更大众化。本来，“多位数”就不是一个严格的数学概念，改称“大数

24、”也未尝不可。 又如，教学乘法分配律的初步认识，由于是“初步认识”，教学时不出结论，所以很难取一个确切的课题。于是，有教材设计了这样一个课题“5个3加3个3等于8个3”，看似啰嗦，不够简练，实践下来效果倒还不错。请看该课结束前的对话。师：今天这节课学了什么？生：学了5个3加3个3等于8个3。师（愣了一下）：噢，对，这个课题本身就说明了今天学的知识。学生记住了这个课题，实际上就等于记住了一个乘法分配律的实例。再如，将“乘法的初步认识”加工成“从加到乘”。课题这么一改，就新课程改革的理念来讲，凸显了教学的关注点是学生的认知过程和感悟；从数学本身来看，突出了引进乘法的必要性。为什么有了加法还要乘法，

25、因为同数连加首先碰到的问题就是书写太麻烦。比如一百个2相加，写到何时？采用省略号也不如改写成乘法，一目了然。所以说，乘法是同数连加的简便运算，是特殊的加法。因此，乘号的发明者认为，只要把加号“十”旋转45°，改为“×”，用来表示“乘”，再恰当不过了。由此可见，以为现在允许学生把“2×100”写成“100×2”，连乘法的含义，即两个因数的含义“相同加数”与相同加数的“个数”都可以不要了，实在是抛弃了乘法的本意。要知道，乘法还是那个乘法，课改没有也不可能改变它与加法的本质的、历史的联系。当然，这是题外话。回到我们讨论的问题上来，你看，简简单单四个字“从加到乘

26、”，将课改的追求、数学的实质，都体现其中了。这些，都是从数学教学工艺学的视角来看，加工得比较适当的课题。此外，实践活动或综合应用的课题，它的主题不是得出数学知识，而是应用数学知识解决某一方面的实际问题。因此，用活动情境或应用场合来命名，以突出所学数学知识与现实世界某一方面的联系，也是可以的。设计得比较好的，如：“制作年历”“小管家”等等。也有些综合应用的课题，似乎有加副标题的必要。如一位教师自行设计了一节综合应用课，课题为“话说奥运”，令人不得要领，加上副标题“话说奥运百分数的应用”，显然比较合适。这也是主题与载体兼顾的一个例子。过去，我们常说，一个好的课题，犹如“画龙点睛”之笔，能为一节课增

27、色、添彩。这对新课改背景下的课堂教学来说，没有过时，同样适用。让我们共同来追求课堂教学的“画龙点睛”之笔！有必要指出，在上面的讨论中，为了“就事论事”，摘录了几套新编教材中的若干课题，除此之外，还引用了一线教师自拟的一些课题。其中有笔者认为比较合适的，也有笔者看来是欠妥的。之所以一概不注明出处，是因为本文无意对新编教材妄加评论，更无意赞扬某套教材，或者贬低某套教材。对教师设计课题时的某些创意，同样如此。以后的论述中，还会举一些例子，不管是否注明出处，都是为了“就事论事”，本意不在褒贬。二、数学内容的引入：一概创设现实情境，或牺牲数学换取兴趣，可取吗（一）现象描述近年来，在设计数学课教学内容的引

28、入时，教师们考虑最多的是，从生活情境引进与采用活动方式引进。前者的主要理念是“数学回归生活”，后者的主要依据是“发挥学生的主体性”。两者共同的追求是“激发学生的学习兴趣”。案例1在二年级下学期教学混合运算顺序“先乘、除，后加、减”，学生课本中的例题是两道计算式题。教师觉得太陈旧了，改用新一轮课改试验教材上的情境题：“问题1：小胖、小丁丁、小亚、小巧4人一组玩激流勇进，小胖是组长，负责买票，每人6元。他口袋里有156元，买票后还剩下多少元钱？”“问题2：小胖小组还走了勇敢者之路，小胖又买了4张票，每人7元。小胖为两个游戏项目一共付了多少元钱？”两个游乐项目本身就富有刺激性，加上多媒体课件的视觉冲

29、击力，学生被深深吸引住了。他们非常投入地、也比较顺利地解决了这两个问题。从学生的汇报来看，他们都采用分步列式。在教师的引导下，部分学生也能将两个分步算式组成一个综合算式。即156-6×4=132（元）24+7×4=52（元）于是教师问：“通过这两个实际问题，我们知道了在一个有加、减法，又有乘法的算式里，必须先算什么？”学生异口同声：“先算乘法。”正当教师要求学生完整叙述并记忆这一“结论”时，一个学生举手说：“老师，我的计算是先算加法，后算乘法。”原来，该生解决问题2的算式是6+7×4=52（元）。老师应答：“你要先算加法，必须添上圆括号。”学生没再说什么，教师就把

30、教学引向了预设的练习。下课了，我问学生，为什么24+7×4，乘法在后，可以先算；而6+7×4，加法在前，却不能先算呢？大家都一脸茫然。一位大胆的学生说：“老师讲乘法先算嘛，它就先算了。”执教教师在旁补充道：“有的参考书上说，因为在实际生活中需要先乘除的问题比需要先加减的问题更多，所以规定先乘除、后加减。”这种说法恐怕只是一种估计，要统计是很困难的，即便确实如此，它是规定先乘除的依据吗？在这个案例中，教师创设的问题情境有效地激发了小学生的学习兴趣，然而问题在于：混合运算顺序的规定，是否应该由现实素材导出？更一般地，是否所有数学知识都需要由现实情境引入？案例2曾听过一节教学算术

31、平均数的课。引入时，教师组织了这样一个学习活动：让两组学生的代表（各4人）比赛原地踢毽子，教师将各人踢的个数分别记录在黑板上，然后问：现在两组中每位同学踢的个数我们都知道了，那么怎样比较两个组的整体，哪个组踢毽子的水平高呢？学生回答，求总数，看哪组代表踢的总数多。接着，教师又以踢毽子水平较低一组学生的伙伴身份，加入比赛，使该组代表踢的总数大大反超另一组。从而引出问题：当人数不相等时，比较什么才公平？多数学生认为，应当比较平均每人踢的个数。也有个别学生认为，老师踢的不能算进来，同学和同学比较才公平。对这些不同的看法，教师没有理睬，以致坐在笔者前面的一个学生直到下课还在嘟囔“老师偏心眼，老师不公平

32、”。课后，该教师反思道：这个引入活动是借鉴了一堂公开课的教学设计。当初观摩时，觉得富有教学艺术色彩，效果不错，学生的积极性被激发起来了。现在用到自己的教学中，没想到会有学生反对，一时不知道怎样引导才好。看来自己不该踢得这么多，引起另一组学生的反感。有教师建议：可以强调哪一组更弱，老师就帮助哪一组；还可以教育不同意老师加入的同学，让他们发扬风格。这里，让学生发扬风格，能解决问题吗？（二）透视分析其实，通过适当的现实情境引出数学问题，是小学数学早就经常使用的教学方法。它的功能，不仅仅是激起学生的学习兴趣，更重要的是调动学生的相关生活经验，促进对所学数学知识的意义建构，同时还有利于揭示数学与现实世界

33、的联系，让学生逐渐感悟学习数学的实用价值，并在这一过程中，培养学生的数学应用意识与能力。然而，情境引入的作用，并不是无条件的，处处都能“一石三鸟”的。再说，一节课的教学目标，应当有所侧重，每节课都面面俱到是不现实的。上述案例1表明，以学生喜爱的、亲身体验过的游乐项目为载体创设情境，的确有助于提高学生的学习积极性，并使问题解决过程能够得到已有生活经验的支撑。进一步的问题是，这节课的主要教学方向究竟是什么？如果是解决实际问题，那么完全可以分步列式，因为分步列式可以有效降低思维的难度。事实上，追求容易、简便的本能，使得学生首选分步计算。于是，仅就解决实际问题而言，既然问题已经解决了，再来列综合算式，

34、似乎多此一举。如果是教学混合运算顺序，那么尽管面对的是现实问题，却不得不违背实际，舍易求难，指导学生列出综合算式，否则运算顺序无从谈起。至于“先乘、除，后加、减”的运算顺序，纯粹是一种人为的规定。它的合理性很简单，就是为了保证运算结果的唯一性。因而无需证明，更不存在因为某些实际问题需要先算乘、除法，所以这样规定的因果关系。换句话说，由一个具体的实际问题，导出两级混合运算先算乘、除法的规定，是不合逻辑的。案例1还提示我们，由于问题解决途径的多样性，同一问题，可能这样解需要先乘，那样解需要先加。可见，用现实素材来解释“先乘、除”的合理性，容易陷入自相矛盾的窘境。因此，仅就教学混合运算顺序而言，由单

35、纯的计算式题引入也是可取的。再来分析案例2。且不说师生踢毽子分散学生注意力，花费时间太多，影响了教学效率，仅从数学或者说统计学的角度来看，它的合理性就值得商榷。其一，任何统计工作都有特定目的。这里，既然是比较两组学生踢毽子的水平，就应该采集学生踢毽子的个数。因此，个别学生认为教师不应该加入是对的。否则，为什么体育项目测试要分年龄组呢？其二，平均数作为一种最常用的集中量数，其最大的局限性在于，当一组数据中出现了极端数据之后，它的代表性会大受影响。很多比赛之所以采取去掉最高分、最低分，再求平均分的措施，不仅是为了从心理上给评分者公正评分施加一种制约，还为了减少一大一小这两种极端数据对平均数的影响，

36、以提高平均数刻画一组数据集中趋势的有效性。因此，为了便于学生感悟平均数的统计功能，引入时，较为明智的策略是有意识地避免极端数据，而不是尽情发挥教师踢毽子的水平，故意人为制造一个极端数据。如果为了引入中位数、众数，或者为了比较平均数与中位数、众数各自特点的需要，而有意设置极端数据，则另当别论。（三）我们怎么办首先必须明确，并不是所有的数学教学内容都需要情境引入。有如下两方面的理由。一方面，数学知识的来源具有多样性。除了源于广泛的现实世界，由实际问题抽象出来之外，还源于数学内部的矛盾或数学研究的需要，由数学自身纯逻辑地提出。这就是思维对于现实的能动性。比如，在我国家喻户晓的“哥德巴赫猜想”，耗费了

37、几代数学天才的心血，历经358年终于得证的“费马大定理”，都是这样的例子。小学数学中也有这样的例子，比如素数与合数，就是出于研究整数的需要引进的概念。只是后来科学家才偶然发现自然界里就有素数，如某些昆虫的生命周期正好是素数，从而有利于躲避天敌对其繁衍后代的威胁。另一方面，情境引入又是一把“双刃剑”。有时它会带来一些负面效应。情境选择不当会产生牵强附会现象，这是显而易见的。就是情境设计恰如其分，有时也会使原本可以“各个击破”的难点相对集中。比如上面的案例1，在二年级下学期教学混合运算顺序，原来针对式题讨论，比较顺利。现在由实际问题引入，不得不将列综合算式与混合运算顺序两个内容整合在一节课内，客观

38、上加大了教学难度。又如教学方程，原来先学怎样解方程，再学怎样寻找等量关系列方程，同样可以联系实际，培养应用能力。现在为了从现实情境引入方程，只能合二为一，这对教师的教学能力和学生的学习能力，都是一种考验。有这必要吗？如果把“完整的数学过程区分为抽象、符号变换和应用三段，以往的数学课程却以处理中间一段为原则，这导致了数学教学脱离实际的倾向。现在，强调数学抽象和数学应用已成为国内外课程内容改革的共同取向。”1有人把数学过程喻为一条鱼，过去是宰头去尾只烧中段，现在则主张“烧全鱼”。但课程改革绝不是简单地从一个极端走向另一个极端；关注数学抽象也不是教条，不论条件，不讲实事求是。只要哪个内容不从实际情境

39、引入，就扣上“没有体现课改理念”的帽子，一概否定，这是典型的形而上学。我们不应画地为牢，自设禁区，“烧全鱼”，与“鱼头、鱼尾分开吃”都是可以的，一切从实际出发，这是再显然不过的道理。比如，在案例1的教学中，假定所教班级的学生学习能力很强，把列综合算式与混合运算顺序两个内容放在一节课内教学，没有问题。那么，当学生解决问题2出现了两种不同算法时：解法一24+7×4解法二6+7×4教师可以抓住契机，提出问题，激化矛盾：解法一需要先算乘法，解法二需要先算加法，怎么办？由此引出，为了避免混乱，使一个算式只有一个正确计算结果，数学上规定这样的算式先算乘法、后算加法。然后讨论，遇到需要先

40、算加法、后算乘法时，怎样改变运算顺序。从而使学生比较全面地感悟规定运算顺序的必要性。显然，前提是学生“受得了”。如果学生“吃不消”，则分散难点才是上策。因此，正确的做法是：具体问题具体分析，根据内容特点和学生特点，该情境引入的就精心设计，不宜情境引入的就不要再去挖空心思、生搬硬套。其次，在追求情境素材情感价值、过程价值的同时关注数学的实质。当某一数学内容需要并且适合情境导入时，如何防止情境创设流于形式？关键在于讲究实效，在追求情境素材情感价值、过程价值的同时关注数学的实质，力求形式与内容的统一。过去，我们习惯于用教师创设的问题情境来引入教学内容，现在提倡师生、生生互动，于是追求通过师生共同参与的活动来引入学习内容。这无疑是一种发展。然而，无论是教师单独创设的问题情境，还是师生共同开展的实践活动，评价其引入教学内容的效果，首先看它是否有利于揭示数学的规律、展现或反映数学知识的实质，其次才是它的趣味性、挑战性和参与互动性。否则，教学