数字信号处理,第六章 IIRDF的设计

1、 1、按任务要求确定、按任务要求确定Filter的性能指标；的性能指标；（频响特性）（频响特性） 2、用、用IIR或或FIR系统函数去逼近这一性能要求；系统函数去逼近这一性能要求；（求系统函数）（求系统函数） 3、选择适当的运算结构实现这个系统函数；、选择适当的运算结构实现这个系统函数；（第五章）（第五章） 4、用软件或者硬件实现、用软件或者硬件实现。理想理想AF与实际与实际AFH(j)0 c 通带 阻带理想理想LP AF的幅频响应特性H(j)0 c1 otherwise)()(sin)(00ttttthcccat0系统不是一个因果系统，所以物理上（实际）不可实现系统不是一个因果系统，所以物理

2、上（实际）不可实现已知四个参数（技术指标）：已知四个参数（技术指标）：通带、通带、阻带阻带边界频率边界频率 p s，通带、，通带、阻带阻带衰减函数衰减函数 p s利用已知条件，确定利用已知条件，确定N、 c ，H(s)的系数对应于电路的的系数对应于电路的R、C、L（模拟系统即电路）（模拟系统即电路）验证结果验证结果把把H(s)还原成频响特性，画出幅频曲线，看是否满足原还原成频响特性，画出幅频曲线，看是否满足原来的条件来的条件以以LP为例为例AF的设计就是求出滤波器的系统函数的设计就是求出滤波器的系统函数Ha(S)，使其逼近理，使其逼近理想的特性，逼近的形式（想的特性，逼近的形式（filter的

3、类型）有的类型）有Butterworth，Chebyshev等。而且逼近依据是等。而且逼近依据是幅度平方函数幅度平方函数，即由幅，即由幅度的平方函数确定系统函数。度的平方函数确定系统函数。实际可实现的实际可实现的逼近逼近通带内有最大平坦的幅度特性通带内有最大平坦的幅度特性AF LP滤波器的幅频特性滤波器的幅频特性(实际实际)Nca)(jH2/11|截止频率1.00.7070通带c|Ha(j)| )0(| )(|log2010aaHjH1.00通带通带边界频率pps过渡区阻带阻带边界频率sc|Ha(j)|由通带衰减函数由通带衰减函数 p，阻带衰减函数，阻带衰减函数 s得阶数得阶数N及截止频率及截

4、止频率 cssappaHjHHjH,| )0(| )(|log20,| )0(| )(|log201010,1log1011log20,1log1011log20210210210210NcsNcssNcpNcpp带入频响特性的表达式：带入频响特性的表达式：取最小整数得：，得：两式相比，消去spNspcNcsNcpNcssNcppspspsplog2110/110logN110/110,110,1101log1 . 0,1log1 . 01 . 01 . 021 . 01 . 021 . 021 . 0210210NscNpcsp2/ 11 . 02/ 11 . 0110110或由幅度平方函数

5、确定系统函数由幅度平方函数确定系统函数Ha(S)()()()(*22jHjHjHAaaa由于由于 所以所以)()(*jHjHjsaaaasHsHjHjHA)()()()()(2其中，其中，Ha(S) 是是AF的系统函数，的系统函数， Ha(j )是是AF的频响，的频响，|Ha(j )|是是AF的幅频特性。的幅频特性。NcaaNcajssHsH)(jH22/11)- ()(/11|带入上式得：将两个系统求出求出Ha(S)Ha(-S) 的极点的极点对称分布即左半平面和右半平面出现，以原点为对称中心成对的复平面上，而且都是为半径分布在以原点为圆心，这些极点均匀等间隔地为奇数时，为偶数时，个极点得为奇

6、数，为偶数cNkjckNkjckkjkjNNNcNcNcN,.,kesNN,.,kesNNNeNejjs-jsjs221,221,2,) 1()(1, 0/1222)12(2)12(122222例：例：N=2时，时，N=3时，时，j2N 1S2S3S4S1S2S3S4S5S6Sj3N 4411jces432jces453jces474jces311jces322jcesjces3344jces355jces26jces的极点。面的极点为则对称的分布在右半平平面的左半平面，的极点应该在则其系统函数要求是因果稳定的，因为实际的个属于个属于其中有)()(AF, )(, )(SHsSHSHNSHNaa

7、aaNcNcNcNcNNcNkkNcNcsaNkkNkjckasssssssHKsHKssKsHNkessHN12211012212.)()(1)()()(,.2 , 1,)(则确定，得由，则的极点为：为奇数还是偶数，得无论统一极点的表示方法，归一化归一化)()()()(1)(sHsHsBNsBsHsshButterwortc再反代换，即得得到确定（可查表得到），确定，只要，得令多项式验证设计：验证设计：Ha(j ) Ha(s)| j ，作代换后，分母中出现复数，作代换后，分母中出现复数，写成实部、虚部的形式，即可得到幅频和相频特性写成实部、虚部的形式，即可得到幅频和相频特性作业：作业：6.2

8、幅频特性幅频特性|H(j)| 1211css滤波器的阶数滤波器的阶数N=通带内的极值数通带内的极值数 称为波纹系数称为波纹系数N为奇数时，起点为1N为偶数时，起点为211多项式为Chebyshev)()(11| )(|22NNaCCjH已知条件：求N（推导过程略）spcsp),(,),(cssN/ch110/110ch11 . 01 . 011ln,1ln2cos,2sin,2,22121xxxchxxxsheexeexeechxeeshxjxjxjxjxxxxx求H(s)N,1,2,i 212 1sh1)coschsinsh()(2)(111NiyNxyxjyxssssHiiiiiipiNi

9、iNNca将H(s)展开成多项式，化成标准形式，因为H(s)中系数对应于电路中R、C、L，必须是实系数NNMMsasaasbsbbsDsNsH.)()()(1010验证H(j)=H(s)|s=j在计算机上实现要抽样在计算机上实现要抽样作业：作业：6.3设计思路设计思路AF的设计有一套相当成熟的方法：设计公式；设计的设计有一套相当成熟的方法：设计公式；设计图表；有典型的滤波器，如巴特沃斯，切比雪夫等。图表；有典型的滤波器，如巴特沃斯，切比雪夫等。所以所以DF的设计可借助的设计可借助AF。(1)将将DF的技术指标转换成的技术指标转换成AF的技术指标；的技术指标；(2)按转换后技术指标求出按转换后技

10、术指标求出AF LP的的Ha(s) ；(3)再将再将AF转换为转换为DF: Ha(s)H(z) (4)如果不是低通，则必须先将其转换成低通如果不是低通，则必须先将其转换成低通AF的技术指标。的技术指标。将将AF转换为转换为DF的过程中，应该使一个稳定的的过程中，应该使一个稳定的模拟系统映射为具有相同幅频特性的稳定的数模拟系统映射为具有相同幅频特性的稳定的数字系统，即字系统，即s平面的虚轴平面的虚轴j 映射到映射到z平面的单位平面的单位圆圆ej 上，上，s平面的左半平面平面的左半平面Res0映射到映射到z平面平面的单位圆内的单位圆内|z|1。冲激响应不变法冲激响应不变法双线性变换法双线性变换法基

11、本原理和算法：基本原理和算法：将将DF的技术指标的技术指标 p p s s转换成转换成AF的技术指标的技术指标 p p s s，设计出设计出AF的系统函数的系统函数Ha(s)，N个极个极点均为单极点点均为单极点(只考虑单极点情况只考虑单极点情况)，将，将Ha(s)写成写成部分分式展开的形式：部分分式展开的形式：NiiiassAsH1)(经拉普拉斯反变换求出冲激响应经拉普拉斯反变换求出冲激响应ha(t)：)()(1tueAthNitsiai对对ha(t)抽样后得抽样后得DF得单位抽样响应得单位抽样响应h(n)：)()()(1nueAthnhNinTsinTtai经经z变换即得变换即得DF的系统函

12、数的系统函数H(z)：0)()(nnznhzHNiTsinnnTsNiinNinTsinzeAzeAeAzzHiii1101011)(注意几个问题注意几个问题（1）s平面的单极点平面的单极点s=si变为变为z平面单极点平面单极点z=esiT 就可求就可求得得H(z)。（2）Ha(s)与与H(z)的系数相同，均为的系数相同，均为Ai（3）AF是稳定的，是稳定的，DF也是稳定的。也是稳定的。（4）S平面的极点与平面的极点与Z平面的极点一一对应，但两平面平面的极点一一对应，但两平面并不一一对应。例如，零点就没有这种对应关系。并不一一对应。例如，零点就没有这种对应关系。（5）修正的）修正的H(z)由于

13、由于DF的频响与的频响与T成反比，当成反比，当T很小时，很小时，DF的增益的增益过高，为此做如下修正：过高，为此做如下修正：)nT(Th)n(haN1k1TSkZe1TA)Z(Hk（6）在用）在用Butterworth或或Chebyshev逼近法求出逼近法求出AF的系的系统函数后，得到的统函数后，得到的Ha(s)的形式是：的形式是：NiiNcaNiiNcasssHsssH11 -N1)(2)()()(或要把要把Ha(s)展开成部分分式的形式，得到系数展开成部分分式的形式，得到系数Ak，而转换，而转换的过程可以利用现有的程序的过程可以利用现有的程序（7）得到的）得到的H(z)也是部分分式的形式，

14、还要再把它进也是部分分式的形式，还要再把它进行通分，得到分子分母均为多项式的标准形式，以便于行通分，得到分子分母均为多项式的标准形式，以便于结构的实现。结构的实现。NNMMzazaazbzbbzDzNzH.)()()(110110S平面上每一条宽为平面上每一条宽为 的横带部分，将重叠映射到的横带部分，将重叠映射到z平面的整个平面上。平面的整个平面上。T2 =T：线性变换：线性变换由于由于 (- , )以以2 为周期，而为周期，而 (- , )，在，在 = /T的的位置不为位置不为0，所以在，所以在 = 处有混叠。所以不能用来设计处有混叠。所以不能用来设计高通。冲激响应不变法所得的高通。冲激响应

15、不变法所得的DF的幅频响应不是的幅频响应不是AF的的重现，而是重现，而是AF的频响的周期延拓。的频响的周期延拓。0 /T 1 AF|Ha(j )|0 2 1 DF|H (ej )|所以所以 s不要太接近不要太接近 ， s不能太小，而不能太小，而 s又与又与N有关，有关， s越大，越大，N越大，存储单元数越多，系统不稳定越大，存储单元数越多，系统不稳定 画出画出H (ej )和和Ha(j )的频响曲线进行比较，的频响曲线进行比较，或让信号通过滤波器看输出结果，或让信号通过滤波器看输出结果，y(n)=x(n)*h(n)。 H (ej )和和Ha(j )都是频率的连续函数，因此在计都是频率的连续函数

16、，因此在计算机上表示时要抽样，算机上表示时要抽样， =k 0， =k 0 ； 0 和和 0 越小，曲线越光滑。越小，曲线越光滑。作业：作业：6.4一、一、s平面到平面到z平面的映射关系平面的映射关系 冲激响应不变法中因冲激响应不变法中因s平面到平面到z平面的多值平面的多值对应关系导致频响特性的混叠现象，而且只能对应关系导致频响特性的混叠现象，而且只能局限于设计局限于设计LP，双线性变换法采用，双线性变换法采用二次映射二次映射解解决这一问题。决这一问题。 首先将整个首先将整个s平面压缩映射到平面压缩映射到s1平面的一个平面的一个水平条带水平条带 范围内，然后再进行范围内，然后再进行二次映射，通过

17、二次映射，通过 将将s1平面变换到平面变换到z平面上，平面上，这样就能建立这样就能建立s平面到平面到z平面的一一对应关系，平面的一一对应关系，从而消除混叠现象。从而消除混叠现象。TjjTjTSeZ1S平面与平面与Z平面一一对应的关系平面一一对应的关系第一次变换：第一次变换：频率压缩频率压缩第二次变换：第二次变换：数字化数字化S平平面面S1平平面面Z平平面面j 1 j jImzRez 由上图可知，将由上图可知，将 S平面进行压缩，实际上，就是将平面进行压缩，实际上，就是将其其j 轴压缩到轴压缩到S1平面的平面的j 1轴上的轴上的 的范围的范围内。这可通过正切变换实现：内。这可通过正切变换实现：2

18、tan1TK 其中其中K为任意常数。由上式可知，当为任意常数。由上式可知，当 1由由 经过经过0变到变到 时，时， 将由将由- 经过经过0变到变到 TT通过欧拉公式，可得：通过欧拉公式，可得：TjTjTjTjTjTjeeKeeeejjKTTjKj1111111112cos2sin222211TjTj 上式表示两个线性函数之比，称作线性分式变换，上式表示两个线性函数之比，称作线性分式变换，若用若用S表示表示Z，可得：，可得：将上式关系延拓到整个将上式关系延拓到整个S和和S1平面，则有：平面，则有：TSTSeeKS1111借助于借助于S1平面和平面和Z平面的映射关系：平面的映射关系： ，可以得到：

19、，可以得到：TSeZ1111111ZZKZZKSSKSKZ 可见，也是线性分式变换（函数），这样可见，也是线性分式变换（函数），这样S Z 间间的变换是的变换是双向双向的，故称作双线性变换的，故称作双线性变换二、二、K值的确定值的确定 1、使、使AF和和DF的频响特性在低频部分有较确切的对应的频响特性在低频部分有较确切的对应关系，即当关系，即当 1很小时很小时(一般一般 1T0.3 )有：有：22tan11TKTK 1，则：，则：K=2/T 2、使、使AF和和DF的频响特性在某一特定频率处的频响特性在某一特定频率处有较确切的对应关系有较确切的对应关系(如截止频率如截止频率 ) ，即即Tcc12

20、21ccctgKTtgK2ccctgK此时可以较准确的控制截止频率的位置此时可以较准确的控制截止频率的位置双线性变换的特点双线性变换的特点1、S平面的虚轴平面的虚轴j 映射到映射到Z平面的单位圆上。平面的单位圆上。这是因为这是因为 =0 时，时，|z| =ej = 12、稳定的、稳定的AF，经双线性变换后所得，经双线性变换后所得DF也一定也一定是稳定的，这是因为稳定的是稳定的，这是因为稳定的AF，其极点必全部，其极点必全部位于位于S的左半平面上，经双线性变换后，这些极的左半平面上，经双线性变换后，这些极点全部落在单位圆内。点全部落在单位圆内。3、其突出的优点是避免了频响的混叠失真。、其突出的优

21、点是避免了频响的混叠失真。因为：因为： 从从0 时，则时，则 从从0 ；即；即S平面的正虚平面的正虚轴被映射到轴被映射到Z平面的单位圆的上半部；平面的单位圆的上半部； 从从0 - 时，则时，则 从从0 - ；即；即S平面的负虚平面的负虚轴被映射到轴被映射到Z平面的单位圆的下半部；平面的单位圆的下半部；当当 时，时， = 为折叠频率，所以不会有高为折叠频率，所以不会有高于折叠频率的分量，因此不会产生混叠失真。于折叠频率的分量，因此不会产生混叠失真。即2tan22tan1TTK2tan21T三、基本原理和算法三、基本原理和算法1121122,11111111ZZTZZTSTKZZKZZKS由由AF

22、 LP到到DF LP 根据根据AF的设计方法的设计方法(Butterworth、Chebyshev逼逼近近)，计算阶数，计算阶数N、极点、极点si和系统函数和系统函数Ha(s) 由由s平面与平面与z平面之间的映射关系作代换，得平面之间的映射关系作代换，得H(z) 对给定的参数对给定的参数DF LP的技术指标的技术指标 p p s s做做预畸变处理，转换成预畸变处理，转换成AF的技术指标的技术指标 p p s s，22tan22tan22tan21fTTTTT频率响应频率响应H (ej )和和Ha(j )根据系统函数分别求出根据系统函数分别求出AF和和DF的频率响应的频率响应H (ej )和和H

23、a(j )，得到幅频特性曲线。得到幅频特性曲线。双线性变换法得到的双线性变换法得到的DF的频率响应特性中的频率响应特性中不会出现混叠现象，因此可以适用于高通、不会出现混叠现象，因此可以适用于高通、带通和带阻滤波器的设计，通过一定的频带带通和带阻滤波器的设计，通过一定的频带变换可得到。变换可得到。从从 = f( ) 的关系曲线可以看出，在零频附近，的关系曲线可以看出，在零频附近， 与与 之间的变换关系近似于线性，随着之间的变换关系近似于线性，随着 的增加，的增加， 表现出表现出严重的非线性严重的非线性 。因此，。因此，DF的幅频响应相对于的幅频响应相对于AF的幅频的幅频响应会产生畸变。只有这种失

24、真在容许的范围内时，双响应会产生畸变。只有这种失真在容许的范围内时，双线性变换法才是适用的。线性变换法才是适用的。频率的非线性失真频率的非线性失真模拟频带变换法模拟频带变换法数字频带变换法数字频带变换法模拟：模拟：AF LP AF DF 数字：数字：AF LP DF LP DF 频带变换频带变换设计步骤设计步骤（1）首先将要设计的）首先将要设计的DF的技术指标的技术指标( p p s s )，通，通过某种频率转变关系转换成过某种频率转变关系转换成AF LP的技术指标。的技术指标。（2）根据）根据AF LP的技术指标求出的技术指标求出AF LP的系统函数。的系统函数。（3）将）将AF LP转换成

25、转换成AF HP(BP、BS)的系统函数。的系统函数。（4）再将）再将AF HP(BP、BS)的系统函数的系统函数转换成对应的转换成对应的DF HP(BP、BS)的系统函数的系统函数H(z)给定给定DF的的技术技术指标指标AF LP 技术技术指标指标频率转换频率转换设计设计AF LP频率转换频率转换得到得到AF HP、BP、BS的的H(s)频率转换频率转换得到得到DF HP、BP、BS的的H(z)设计步骤设计步骤1、将给定的、将给定的DF HP的技术指标转换成的技术指标转换成AF HP的技术指标，应用双的技术指标，应用双线性变换法作频率预畸变处理：线性变换法作频率预畸变处理：2、将、将AF H

26、P的技术指标转换成的技术指标转换成AF LP的技术指标，应用模拟域的的技术指标，应用模拟域的频率变换；频率变换；3、设计、设计AF LP；4、应用模拟域的频率变换法，得到、应用模拟域的频率变换法，得到AF LP到到AF HP的变换关系：的变换关系：5、应用双线性变换法得、应用双线性变换法得AF HP与与DF HP系统函数的转换关系：即系统函数的转换关系：即sh平面与平面与z平面之间的映射关系：平面之间的映射关系：2tan2hhThpl22cot2,2tan22hsplshplpTT112hhhzzTs11222hhphplzzTss双线性变换法双线性变换法DF HP设计的频率设计的频率预畸变非线性关系预畸变非线性关系 202tan2T5 p s00.5 1 H(ej )|H(j )|10.50 sh p 5 sl 10 总结总结2cot2,2tan22hsplshplpTTDFAFDF技术指标技术指标2tan2hhThpl2AF LP系统函数、阶数系统函数、阶数N、极点、极点s平面和平面和z平面转换关系平面转换关系hplss211222hhphplzzTss112hhhzzTs