数字信号处理课件-第七章-1

1、数字信号处理Digital Signal Processing第七章第七章 有限脉冲响应（有限脉冲响应（FIRFIR） 数字滤波器的设计数字滤波器的设计作业：作业：新书新书 第第1 1、3 3、4 4、5 5、1717；旧书；旧书 第第1 1、3 3、4 4、5 5、13, 13, 但前四个题都有一些不同，新书第但前四个题都有一些不同，新书第1 1、3 3题没题没让画线性相位结构，让画线性相位结构， 新书第新书第4 4、5 5题给出了过度带宽题给出了过度带宽序言序言FIR数字滤波器数字滤波器 的差分方程的差分方程因为它是一种线性时不变系统，可用卷积和形式表示因为它是一种线性时不变系统，可用卷积

2、和形式表示比较、得：比较、得：10)()(Niiinxany10)()()(Niinxihny)(ihai10)(NiiizazH对应的系统函数对应的系统函数 FIR数字滤波器的优缺点数字滤波器的优缺点(与与IIR数字滤波器比较数字滤波器比较)优点优点 ：（1）很容易获得严格的线性相位很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生相，避免被处理的信号产生相 位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处理、位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处理、 数据传输等系统中非常重要；数据传输等系统中非常重要；（2）极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题；（

3、3）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时， 转变为因果序列，转变为因果序列， 所以所以因果性总是满足；因果性总是满足；（4）无反馈运算，运算误差小无反馈运算，运算误差小。缺点：缺点：（1）要获得好的过渡带特性，需要较高的阶数要获得好的过渡带特性，需要较高的阶数；（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析一般无解析 设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。FIR窗函数法滤波器的设计方法 频率采样法切比雪夫等波纹逼近法7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和

4、特性数字滤波器的条件和特性 7.1.1 线性相位的条件线性相位的条件FIR滤波器的频率响应为滤波器的频率响应为)(10)()()(jgNnnjjeHenheH式中式中 是正或负的实函数，称为是正或负的实函数，称为幅度特性幅度特性， 称为称为相位特性相位特性。注意。注意 与与 的不同，后者的不同，后者是绝对值，总取正数。是绝对值，总取正数。)(jeH)()(gH)(gH以上两种情况表示相位是通过坐标原点以上两种情况表示相位是通过坐标原点 或是或是通过通过 的斜直线，二者都满足系统的群时延的斜直线，二者都满足系统的群时延为常数。为常数。00)0(线性相位线性相位意味着一个系统的相位特性是频率的线性

5、函数意味着一个系统的相位特性是频率的线性函数第第二二类类线线性性相相位位 第第一一类类线线性性相相位位 )( )(0dd)(式中式中 为常数为常数.满足第一类线性相位的条件满足第一类线性相位的条件h(n)是实序列，且对是实序列，且对(N-1)/2偶对称，即：偶对称，即： 21101NNnnNhnh， 10NnnznhzH 101NnnznNh ) )( () )( (1 11 11 10 01 11 10 0m m1 1zHzzmhzzmhzHNNmmNNmN)()(1) 1(zHzzHNm =N-1-n( ) m =N-1-nn=0,m=N-1n=N-1,m=0 )1(21)()21cos(

6、)()(10 NNnnhHNng 22110 NnNhnh.满足第二类线性相位的条件满足第二类线性相位的条件h(n)是实序列且对是实序列且对(N-1)/2奇对称。奇对称。 将将 代入代入H(z)的表达式，幅度特性和相位特性的表达式，幅度特性和相位特性分别为：分别为：jez )()(1) 1(zHzzHN0( ) 2) 1(21)()21sin()()(10NnNnhHNng2) 1(21)()21sin()()(10NNnnhHNng或或以上公式等价，课本中取右边的公式作为结果以上公式等价，课本中取右边的公式作为结果 20) 1( N 偶对称偶对称)(nh 20) 5 . 0( N2奇对称奇对

7、称)(nh图图1 1 线性相位特性线性相位特性总结：线性相位的定义和条件总结：线性相位的定义和条件第一类线性相位的条件第一类线性相位的条件: : h(n)是实序列且对是实序列且对(N-1)/2偶对称偶对称第二类线性相位的条件第二类线性相位的条件: : h(n)是实序列且对是实序列且对(N-1)/2奇对称奇对称第第二二类类线线性性相相位位 第第一一类类线线性性相相位位 )( )(0 211NnNhnh 22110NnNhnh各类数字各类数字滤波器的滤波器的幅频特性幅频特性根据前面的公式，幅度函数根据前面的公式，幅度函数 为：为：)g(H分四种情况分四种情况1h(n)偶对称，即偶对称，即h(n)=

8、h(N-1-n)，N为奇数为奇数7.1.2线性相位线性相位FIR滤波器的幅度特性滤波器的幅度特性10)21cos()()(NngNnnhHN为奇数为奇数式中式中h(n)对对(N-1)/2偶对称，余弦项也对偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，以偶对称，以(N-1)/2为中心，把两两相等的项合并，由于为中心，把两两相等的项合并，由于N是奇数，所以余下是奇数，所以余下中间项中间项n=(N-1)/2，则幅度函数表示为：则幅度函数表示为： 2/ )3(021cos)(221)(NngNnnhNhH 10)21cos()()(NngNnnhH 令令n=(N-1)/2COS0=1N为奇数为奇数12Nmn

9、32合并后还剩+1项N102312NnmNnm时，时，则则 2/ ) 1(1cos)21(221)(NmgmmNhNhH 21, 2 , 1,212)(,21)0( NnnNhnaNha(1)/20( )( )cosNgnHa nn令令则则由于由于 偶对称，因此偶对称，因此 对这些频率也呈偶对称。可以设计各类滤波器。对这些频率也呈偶对称。可以设计各类滤波器。n、2、20、0、关于关于coscos Hg将将m换成换成nh(n)偶对称，偶对称，N为奇数为奇数各类滤波器各类滤波器( )的对称性由确定gHcosn 2h(n)偶对称，偶对称， 即即h(n)=h(N-1-n)，N为偶数为偶数 12/010

10、21cos)(221cos)(NnNngNnnhNnnhH令令 ，则则 2/121cos22NmgmmNhH推导过程与前面相似，只是因为这里推导过程与前面相似，只是因为这里N是偶数，所以是偶数，所以 中没有单独项，相等项合并后有中没有单独项，相等项合并后有：N为偶数为偶数( )gH2Nmn 2/121cos)(NngnnbH 将将m用用n代替可得代替可得 ：式中式中nNhnb22)( 由于由于 奇对称，所以奇对称，所以 对对也为奇对称，且由于也为奇对称，且由于 时，时， ， ， 故故 有一零点，因此，有一零点，因此，这种情况不能用于设计这种情况不能用于设计 时时 的滤波器的滤波器，如高通、带阻

11、滤波器如高通、带阻滤波器。 0H1jez( )gH1cos( ()2n对1cos( ()02n( )0gH1( )0zH z即：即：h(n)偶对称偶对称，N为偶数时，为偶数时，可以设计低通、带通滤波器。可以设计低通、带通滤波器。各类滤波器各类滤波器3.h(n)奇对称，奇对称，N为奇数为奇数，h(n)=-h(N-1-n)21(sin)(2)21(sin)()(23010NnNngNnnhNnnhH上面的第二式中，由于上面的第二式中，由于h(n)=-h(N-n-1)，所以可以求得所以可以求得h(N-1)/2=0，即即h(n)奇对称，因此，在求和公式中，第奇对称，因此，在求和公式中，第n项和项和 (

12、N-n-1)项相等，项相等，将相同项合并，即得上式中第二式。将相同项合并，即得上式中第二式。N为奇数为奇数)21sin()(Nnnh正弦项也对正弦项也对(N-1)/2奇对称奇对称令令m=n- -(N- -1)/2，得得： mmNhHNmg211sin212令令n=m，得：得： nncnnNhHNnNng211211sin)(sin212即即 21, 2 , 1,212)(sin)(211NnnNhncnncHNng 由于由于 点呈奇对称，所以点呈奇对称，所以对这些点对这些点也奇对称。也奇对称。由于由于时时，相当于相当于H(z)在在处有两个零点，不能用于处有两个零点，不能用于的滤波的滤波器设计，

13、故器设计，故不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计。不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计。即即: h(n)奇对称，奇对称，N为奇数为奇数，只能设计带通滤波器。只能设计带通滤波器。sin=02n对， ,( )gH=02， ,sin=0( )0gnH，1z (0)0( )0HH和各类滤波器各类滤波器( )的对称性由确定gHsinn4.h(n)奇对称，即奇对称，即h(n)=-h(N-1-n)，N为偶数为偶数 12021sin2)(NngNnnhH令令，则有则有12Nnm)21(sin)()21(sin)12(2)(,),21(sin)12(2)(212121NnNngNmgnndnnNhHmnmmNh

14、H则再令N为偶数为偶数 由于由于在在处为零，所以处为零，所以Hg()在在处为零，即处为零，即H(z)只在只在z =1上有零点，并上有零点，并对对呈奇对称。呈奇对称。因此，因此，这种情况不能用于设计这种情况不能用于设计 的滤波器，如低的滤波器，如低通、带阻滤波器。通、带阻滤波器。 即：即：h(n)奇对称，奇对称，N为偶数，为偶数，只能用于设计高通、只能用于设计高通、带通滤波器。带通滤波器。)21(sinn2,02,02,0四种线性相位四种线性相位FIR滤波器的幅度特性和相位特性一览表滤波器的幅度特性和相位特性一览表P199(0)0H各类数字各类数字滤波器的滤波器的幅频特性幅频特性四种线性相位四种

15、线性相位FIR 幅度特性与相位特性可设计的滤波器幅度特性与相位特性可设计的滤波器第一种情况：第一种情况：h(n)偶对称、偶对称、N奇数，奇数，四种滤波器都可设计。四种滤波器都可设计。第二种情况：第二种情况：h(n)偶对称、偶对称、N偶数，可以设计低通、带通滤波偶数，可以设计低通、带通滤波器，不能设计高通和带阻。器，不能设计高通和带阻。第三种情况：第三种情况：h(n)奇对称、奇对称、N奇数，只能设计带通滤波器，其奇数，只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计。它滤波器都不能设计。第四种情况：第四种情况：h(n)奇对称、奇对称、N偶数，可以设计高通、带通滤波偶数，可以设计高通、带通滤波器，不能设计

16、低通和带阻。器，不能设计低通和带阻。7.1.3线性相位线性相位FIR滤波器的零点特性滤波器的零点特性)1()(nNhnh 10NnnznhzH101NnnznNh )()(11101101zHzzmhzzmhzHNNmmNNmmN令令m=N-1-n，则则由该式可看出，若由该式可看出，若z=zi是是H(z)的零点，则的零点，则z=zi-1也也一定是一定是H(z)的零点。由于的零点。由于h(n)是实数，是实数，H(z)的零点还的零点还必须共轭成对，所以必须共轭成对，所以z=zi* 及及 z=1/zi*也必是零点。也必是零点。 所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的所以线性相位滤波器的零点必须是互

17、为倒数的共轭对，这种共轭对共有四种可能的情况：共轭对，这种共轭对共有四种可能的情况： 11zHzzHN既不在单位园上，也不在实轴上，有四个互为倒既不在单位园上，也不在实轴上，有四个互为倒数的两组共轭对，数的两组共轭对， zi、zi*、1/zi、1/zi* 图图7.1.1中中的的z1等等p200在单位圆上，但不在实轴上，因倒数就是自己的在单位圆上，但不在实轴上，因倒数就是自己的共轭，所以有一对共轭零点，共轭，所以有一对共轭零点，zi、zi* 图图7.1.1中的中的z3等。等。不在单位圆上，但在实轴上，是实数，共轭就是不在单位圆上，但在实轴上，是实数，共轭就是自己，所以有一对互为倒数的零点自己，所

18、以有一对互为倒数的零点, ,zi,1/zi 图图7.1.1中的中的z2等。等。既在单位圆上，又在实轴上，共轭和倒数都合为既在单位圆上，又在实轴上，共轭和倒数都合为一点，所以成单出现，只有两种可能，一点，所以成单出现，只有两种可能，zi=1或或zi=-1 图图7.1.1中的中的z4等。等。四个零点四个零点两个零点两个零点两个零点两个零点一个零点一个零点 我们从幅度响应的讨论中已经知道，对于第二种我们从幅度响应的讨论中已经知道，对于第二种FIRFIR滤波器滤波器（h(n)偶对称，偶对称，N为偶数）为偶数） 即即 的零点，既在单位圆上，又在实轴上，所的零点，既在单位圆上，又在实轴上，所以必有单根以必

19、有单根。不能设计高通和带阻滤波器。不能设计高通和带阻滤波器。( )0H1( )jzeH 是对于第三种情况，对于第三种情况，FIR滤波器，滤波器，h(n)奇对称，奇对称，N为奇数，因为为奇数，因为 所以所以z=1，z=-1都是都是H(z)的单根；不能设计低通、高通和带阻的单根；不能设计低通、高通和带阻滤波器。滤波器。 对于第四种滤波器，对于第四种滤波器，h(n)奇对称，奇对称，N为偶数，为偶数，H(0)=0，所以所以z=1是是H(z)的单根。不能设计低通和带阻滤波器。的单根。不能设计低通和带阻滤波器。 线性相位滤波器是线性相位滤波器是FIRFIR滤波器中最重要的一种，应用最广。滤波器中最重要的一

20、种，应用最广。实际使用时应根据需用选择其合适类型，并在设计时遵循其约实际使用时应根据需用选择其合适类型，并在设计时遵循其约束条件。束条件。(0)0( )0HH，7.1.4 7.1.4 线性相位滤波器的网络结构线性相位滤波器的网络结构设设N为偶数，则为偶数，则 10NnnznhzH 12012)(NnNNnnznhznh对第二项进行变量代换，令对第二项进行变量代换，令m=N-n-1，则有，则有120120) 1(120120) 1(1)(1)()(NnNnnNnNnNmmNnznNhznhzmNhznhzH替换用把nm由于由于 时时)h(N-n-h(n)1 )22. 1 . 7(, )()(120)1( NnnNnzznhzH N为奇数时，则中间项为奇数时，则中间项h(N-1)/2单独列出。单独列出。1() 112(1)201( )( )(),(7.1.23)2NNnN nnNH zh n zzhz N为偶数时为偶数时+ +代表第一类线性相位，代表第一类线性相位， - - 代表第二类线性相位。代表第二类线性相位。对于对于FIR滤波器的直接结构，共需滤波器的直接结构，共需N个乘法器，但对线性相位个乘法器，但对线性相位FIR滤波器，滤波器，N为偶