保险精算生存年金课件

1、1第六章 生存年金2生存年金产品n生存年金是以年金方式在被保险人生存期内的一系列给付，保险费通常采取在投保时一次性缴付的趸缴方式或者在一定时期内的均衡缴付的方式。n生存年金形式：l即期年金（immediate annuities）l延期年金(deferred annuities)l定期确定的生存年金l指数化年金l联合生存年金3生存年金精算现值 n纯生存保险纯生存保险：在约定的保险期满时，如果被保险人存活将得到规定的保险金额的保险。 n【例6.1】李明今年20岁，如果他能活到60岁，将能从保险公司得到1 000元的一次性给付。设利率i=6%，试写出这笔给付在李明20岁时的现值。 1:nxA4解：

2、解：李明从20岁活到60岁的概率是 ，他在60岁获得这笔给付的期望值是：纯生存保险40204020402010000 (1)1000ppp 4020p40402010001.06p这笔给付在李明20岁时的现值通过利率折现得到：60402020877 6710.89195983 992lpl根据附表中国人寿保险业经验生命表（19901993年）（男女混合表）的资料得，l20 =983 992，l40=877 671，可以计算得, 所以，这笔给付的现值是：1 0000.891951.06-40=86.72（元）。5一般地：假设某人x岁时开始投保，经过n年后如果仍然存活将得到k单位元的保险金，（x）

3、存活n年的概率为 ，得到给付金的期望现值为：表明现在x岁的人有lx个，每人存入 元，到年末在利率i的作用下，形成的资金正好满足n年末存活的人每人1元的给付。 以 表示1单位单位元元n年纯粹生存保险现值年纯粹生存保险现值，即 纯生存保险nxpnxnnxnqpk0nxE1: xnA10nnnnxnxnxnxEvpvqvp (1)nxnxx nlEilnxE变换上式得，6与在复利下的现值系数vt和累积系数(1+i)t的作用类似，nEx是在利率和生者利下n年的折现系数， 为在利率和生者利下n年的累积系数。纯生存保险1nxE11(1)nxnxnnxx nlpiElnxxxnllp1它是利率累积因子(1+

4、i)t与生存累积因子之积。7年付一次生存年金的精算现值n定义：生存年金生存年金是以生存为条件发生给付的年金。如果被保险人在规定的时期内存活，则发生年金的收付，否则，停止收付。n一般类型：终身年金、定期年金、延期年金8终身生存年金n【例6.3】 张华今年30岁，从今年起，只要他存活，可以每年年初获得1000元的给付。计算这一年金的精算现值。12302303001 000+1 0001.091 0001.09=1 0001.09kkkppp解：解： 代入相应的存活概率和利率，就可以计算出这一年金的精算现值。9期首付终身生存年金12001kxxxkxkxkkaEEEp一般地，对(x)的每年1单位元期

5、首终身生存年金，其精算现值以表示，它是一系列保险期逐步延长的纯粹生存保险之和，如下图所示：其中， 0Ex=1，求和上限实际是-x-1，为方便通常写成。xa 10期末付终身生存年金1kxkxEa对（x）每年1单位元期末付终身年金，如下图所示：其精算现值以ax表示： 11定期生存年金nxa: 1xx n:0 xNNDnkxx nkaEx 1x n 1:1xNNDnkxx nkaE n一般地，对（x）的每年1单位元n年定期期首付生存年金，精算现值以 表示， n类似地，对(x)的每年1单位元n年定期期末付生存年金精算现值为：12对（x）的n年延期每年1单位元延期期首付年金的精算现值以延期生存年金xna

6、 xxNDxkxnknaExnnxxaaa :nxxnxnaEa n年延期生存年金年延期生存年金: 从计算时点起延迟n年开始收付的生存年金表示。根据定义,显然，13延期生存年金1nkxkxnEaxnnxxaaa:nxxnxnaEan年延期的期末付终身生存年金现值为：同样地， 14延期定期生存年金延期定期生存年金：延期年金和定期年金的一种组合形式。对(x)的n年延期m年定期每年1单位元期首付生存年金，是从x+n起到x+n+m-1的生存年金。其支付情况下图所示：其精算现值以 或 表示，根据定义,延期定期生存年金xmna :nx ma 1mnnkxkxmnEa 15对(x)的n年延期m年定期每年1单

7、位元期末付生存年金期末付生存年金，是从x+n+1起到x+n+m的生存年金。其精算现值以延期定期生存年金xmna:nx mamnnkxkxmnEa1或 表示，根据定义： 16期首付年金和期末付年金精算现值的关系式。1xxaa xnnxnxEaa:1 1:1nxnxaa xnxnxnEaa xnxnaa1 xmnxmnaa1 延期定期生存年金17连续生存年金给付现值n终身连续生存年金n定期连续生存年金18连续生存年金给付现值n延期连续生存年金n延期定期连续生存年金19生存年金与寿险的关系20n背景背景：实践中年金常常是每半年、一季度或一个月支付一次，由于生命表不直接提供非整数年龄的存活概率和死亡概

8、率，必须在一定的假设下近似计算。 对（x）的每年给付1元，一年给付m次的期首付终身生存年金，其精算现值以 表示，这一年金在每个 (k=0,1,2,)上收付1/m，直到被保险人死亡为止。年付m次生存年金)(mxa kxm00)(11kxmkmkkxmkmxpmEma 21近似公式()12mxxmmaa()12mxxmmaa()12nxmxxnnmEmaa()12nxmxxnnmEmaan对（x）的每年1单位元，每次1/m的期末付的终身生存年金精算现值n对（x）的n年延期每年1单位元，一年m次收付的期末付生存年金精算现值n对（x）的n年延期每年1单位元一年m次收付的期末付生存年金精算现值n对（x）

9、的每年1单位元，每次1/m的期首付的终身生存年金精算现值22近似公式)1 (21:)(:xnnxmnxEmmaa)1 (21:)(:xnnxmnxEmmaa n对（x）的n年定期一年m次期末付年金，精算现值为：n对（x）的n年定期一年m次期末付年金，精算现值为：23当 时，上面的年金称为终身变额年金。n变额年金变额年金：年金收付的数额随给付时期的不同而变动。n变额年金的精算现值是一系列收付款在利率和生者利下现值之和。如果对(x)的n年定期生存年金，给付额在年龄x，x+1，x+n-1上分别为 ，则精算现值（Actuarial Present Value，简记为 APV）为，变额生存年金11,nx

10、xxbbb1)(nxxyxxyxyyxpbAPVxn24n一年给付m次，期首付变额年金精算现值：n一年给付m次，期末付变额年金精算现值：变额生存年金1():1()x nmy xxyy xxyy xAPVbap 1():1()x nmy xxyy xxyy xAPVbap 25如果年金收付额 系列为1，2，3 等差递增，这一年金称为标准等差递增年金，对终身期首付标准递增年金，其精算现值用 表示，如下图所示：等差递增生存年金ybxaI )( 0) 1()(kxkkxpkaI 26n期末付终身标准递增年金精算现值，n期首付n年定期标准等差递增年金精算现值n期末付n年定期标准等差递增年金精算现值等差递

11、增生存年金1)(kxkkxpkIa1-n0:) 1()(kxkknxpkaI nkxkknxpkIa1:)( 27等差递增生存年金0 xx ttSN1111121100()txtxtttttxtxtxtttxxxx kxxkkkxxIatvpvpvpvpaaaNSaDD 为了得出数字结果，引入转换函数，设有，28当变额年金收付额 系列为n，n-1，1等差递减时，这时期首付的年金现值以 表示，如下图所示：等差递减生存年金 ybnxaD:)( 1-n0:)-()(kxkknxpknaD n1:)-()(kxkknxpknDa期末付的年金现值29设 ，即 上式成为，n实践中，某些给付确定型养老金计划和社会养老保险的收付额等比例递增，这种等比例递增的年金精算现值有一个简化计算公式。n如果对(x)的n年定期期首付生存年金，给付额在年龄x，x+1，x+n-1上分别为b，b(1+g)，b(1+g)2，b(