第6章最优证券投资组合

1、第第6 6章章 最优证券投资组合最优证券投资组合本章制作：孔小伟本章制作：孔小伟两证券模型的最优证券组合两证券模型的最优证券组合最优证券投资组合的比较静态最优证券投资组合的比较静态多证券模型的最优证券组合多证券模型的最优证券组合模型假定模型假定只包含一支风险证券和一支无风险证券只包含一支风险证券和一支无风险证券经济主体的效用函数具有单调递增和二阶可导的经济主体的效用函数具有单调递增和二阶可导的VNM效用函数的形式效用函数的形式假设经济主体在时期假设经济主体在时期1的收入都在证券组合收益空的收入都在证券组合收益空间中（即假设的经济是一个证券市场经济）间中（即假设的经济是一个证券市场经济） 证券组

2、合选择问题同决策主体的财富或收入的关系证券组合选择问题同决策主体的财富或收入的关系一个具有严格递增预期效用函数的经济行为主体，其预期一个具有严格递增预期效用函数的经济行为主体，其预期效用取决于时期效用取决于时期1消费，最优化证券组合选择问题可以写消费，最优化证券组合选择问题可以写成成 约束条件为约束条件为 1,1maxcuEhcjJjjhxwcwph1110和由于假设的经济是一个证券市场经济，这样，最优由于假设的经济是一个证券市场经济，这样，最优化证券组合选择问题可以重写为化证券组合选择问题可以重写为 约束条件为约束条件为Jjjjhxchpwhp110和 1,1maxcuEhc经济行为主体的财

3、富的定义是其在时期经济行为主体的财富的定义是其在时期0的所得收的所得收入加上其所持有的证券组合的价格，这支证券组合入加上其所持有的证券组合的价格，这支证券组合为他产生时期为他产生时期1的所得收入，即的所得收入，即 ，使用财，使用财富富w并在预期效用函数中代入并在预期效用函数中代入 ，可以得，可以得到最优证券组合选择问题的另一种表达：到最优证券组合选择问题的另一种表达： 约束条件为约束条件为hpww0jjjhxc1whpjjjhhxuE)(max如果经济行为主体是严格风险厌恶的，那么最优消费如果经济行为主体是严格风险厌恶的，那么最优消费计划计划 就是唯一的，更进一步，如果证券就是唯一的，更进一步

4、，如果证券市场中不存在多余的证券，那么经济行为主体的最优市场中不存在多余的证券，那么经济行为主体的最优证券组合仍然是唯一的证券组合仍然是唯一的。两证券两证券模型的最优证券组合分析模型的最优证券组合分析设风险证券收益率为设风险证券收益率为r，无风险证券收益率为，无风险证券收益率为rf ，其差，其差r- rf为非零，是风险证券的超额收益率，也即风险贴水。为非零，是风险证券的超额收益率，也即风险贴水。jjjhxc1在两证券模型分析中，用投资于各支证券的财富量在两证券模型分析中，用投资于各支证券的财富量来描述一个预算上可行的来描述一个预算上可行的证券组合。令证券组合。令a代表经济代表经济行为主体投资于

5、风险证券上的财富价值，则代表无行为主体投资于风险证券上的财富价值，则代表无风险证券上所投资的财富数量为风险证券上所投资的财富数量为w-a，那么投资组，那么投资组合合(w-a, a)的未来收益为的未来收益为wrf+(r-rf)a假设经济行为主体财富假设经济行为主体财富w是严格正值的，可以用是严格正值的，可以用a*表示经济行为主体的最优投资组合，它是以下规划表示经济行为主体的最优投资组合，它是以下规划问题的解问题的解 约束条件为约束条件为arrwruEffamax0arrwrff如果证券市场上的证券价格是排除套利的，并且如果证券市场上的证券价格是排除套利的，并且假设经济行为主体的消费是严格正值的，

6、那么上假设经济行为主体的消费是严格正值的，那么上述最优化问题存在解。述最优化问题存在解。如果经济行为主体是严格风险厌恶的，则在上述如果经济行为主体是严格风险厌恶的，则在上述最优化问题中的最优投资组合就是唯一的。最优化问题中的最优投资组合就是唯一的。作为内部解的经济行为主体最优投资组合作为内部解的经济行为主体最优投资组合a*满足满足一阶条件一阶条件0fffrrrrawruE运用模型分析风险证券的最优投资数量与风险贴水运用模型分析风险证券的最优投资数量与风险贴水的关系的关系定理一定理一：如果一个经济行为主体是严格风险厌恶的，：如果一个经济行为主体是严格风险厌恶的，那么，他投资于风险证券的最优数量是

7、严格正值的、那么，他投资于风险证券的最优数量是严格正值的、是零、或者是严格负值的充分必要条件是：这支风是零、或者是严格负值的充分必要条件是：这支风险证券的风险贴水是严格正值的，是零，或者是严险证券的风险贴水是严格正值的，是零，或者是严格负值的。格负值的。定理二定理二：如果风险贴水：如果风险贴水 很小，那么一个严格很小，那么一个严格风险厌恶、在时期风险厌恶、在时期1的收入为的收入为0的经济行为主体在风的经济行为主体在风险证券上的最优投资为险证券上的最优投资为 frrE fAfwrRrrEa2主要内容：讨论在经济行为主体的财富状况、经济中主要内容：讨论在经济行为主体的财富状况、经济中的无风险收益率

8、、风险证券的预期收益率和风险程度的无风险收益率、风险证券的预期收益率和风险程度发生变化的情况下，最优证券投资组合的决定。发生变化的情况下，最优证券投资组合的决定。模型：分析仍仅限定于两证券模型，即一支无风险证模型：分析仍仅限定于两证券模型，即一支无风险证券与一支风险证券。券与一支风险证券。假定：经济行为主体的财富只由时期假定：经济行为主体的财富只由时期0的收入构成，其的收入构成，其时期时期1的收入假设为的收入假设为0。方法：借鉴消费者理论中的比较静态分析方法。方法：借鉴消费者理论中的比较静态分析方法。首先讨论财富变动对最优证券投资组合的影响首先讨论财富变动对最优证券投资组合的影响定理：如果经济

9、行为主体是严格风险厌恶的，并且定理：如果经济行为主体是严格风险厌恶的，并且如果他的绝对风险厌恶系数是递减的，同时如果风如果他的绝对风险厌恶系数是递减的，同时如果风险证券的风险贴水是正值的，那么，当经济行为主险证券的风险贴水是正值的，那么，当经济行为主体的财富增加时，他的最优投资组合中的对风险证体的财富增加时，他的最优投资组合中的对风险证券的投资券的投资a*是增加的。是增加的。证明：此定理的证明从最优化投资的一阶条件开始。证明：此定理的证明从最优化投资的一阶条件开始。最优化投资的一阶条件为：最优化投资的一阶条件为：0fffrrarrwruE对此式中的变量对此式中的变量w求偏导数得到：求偏导数得到

10、：或者或者可证明可证明 因此在设定的条件下，随着财富的增加，经济行为主因此在设定的条件下，随着财富的增加，经济行为主体投资于风险证券的价值将增加，风险证券是一种正体投资于风险证券的价值将增加，风险证券是一种正常商品。常商品。0 arrrrrrrawruEwfffff2fffffffwrrrrawruErrrrawruEra 0aw当绝对风险厌恶系数递增或者为常数时财富当绝对风险厌恶系数递增或者为常数时财富变动对最优证券投资组合变动的影响变动对最优证券投资组合变动的影响按照以上定理的证明过程，遵循类似的步骤可以按照以上定理的证明过程，遵循类似的步骤可以得出：如果一个经济行为主体是严格风险厌恶的得

11、出：如果一个经济行为主体是严格风险厌恶的并且其绝对风险厌恶系数是递增的，随着财富的并且其绝对风险厌恶系数是递增的，随着财富的增加，他投资于风险证券的价值将会减少。而如增加，他投资于风险证券的价值将会减少。而如果经济行为主体的绝对风险厌恶系数是不变的，果经济行为主体的绝对风险厌恶系数是不变的，他的最优投资组合中的风险证券的投资就与财富他的最优投资组合中的风险证券的投资就与财富变动无关。变动无关。在相对风险厌恶系数情况下财富变动同风险在相对风险厌恶系数情况下财富变动同风险证券投资变化的关系证券投资变化的关系类似于上述定理的证明，我们可以得出这样一个类似于上述定理的证明，我们可以得出这样一个定理：如

12、果一个经济行为主体是严格风险厌恶的，定理：如果一个经济行为主体是严格风险厌恶的，如果他的相对风险厌恶系数是递减的，并且如果如果他的相对风险厌恶系数是递减的，并且如果风险证券的风险贴水是正值的，那么，当他的财风险证券的风险贴水是正值的，那么，当他的财富增加时，其最优投资组合中的对风险证券投资富增加时，其最优投资组合中的对风险证券投资a*/w是增加的。是增加的。类似结果同样适用于递增的和不变的相对风险厌类似结果同样适用于递增的和不变的相对风险厌恶系数。恶系数。其次讨论收益率变动对最优证券投资组合的影响其次讨论收益率变动对最优证券投资组合的影响无风险收益率变动对最优证券投资组合的影响无风险收益率变动

13、对最优证券投资组合的影响定理：如果一个经济行为主体是风险厌恶的，并且他定理：如果一个经济行为主体是风险厌恶的，并且他的绝对风险厌恶系数是递增的，如果这个经济行为主的绝对风险厌恶系数是递增的，如果这个经济行为主体的最优证券投资组合对于风险证券的投资是正值的体的最优证券投资组合对于风险证券的投资是正值的并且风险贴水是正值的，那么他对风险证券的最优投并且风险贴水是正值的，那么他对风险证券的最优投资资a*对于无风险证券收益率的变动是严格递减的。对于无风险证券收益率的变动是严格递减的。风险证券预期收益率变化对最优证券投资组合的影响风险证券预期收益率变化对最优证券投资组合的影响同前述定理的论证方法相似，我

14、们可以证明：如果某同前述定理的论证方法相似，我们可以证明：如果某个经济行为主体是严格风险厌恶的，如果他的绝对风个经济行为主体是严格风险厌恶的，如果他的绝对风险厌恶系数险厌恶系数RA是递减的，并且风险证券的风险贴水是递减的，并且风险证券的风险贴水是正值的，那么，最优证券投资组合是正值的，那么，最优证券投资组合a*关于风险证券关于风险证券预期收益率变化的反应是正相关的，即随预期收益率预期收益率变化的反应是正相关的，即随预期收益率的增加而递增。但如果经济行为主体的绝对风险厌恶的增加而递增。但如果经济行为主体的绝对风险厌恶系数是递增的，则不能肯定其对风险证券的投资是递系数是递增的，则不能肯定其对风险证

15、券的投资是递增还是递减。增还是递减。最后讨论风险程度的改变对最优证券投资组合的最后讨论风险程度的改变对最优证券投资组合的影响影响考虑最优化问题的一阶条件，同时引入一个关于变考虑最优化问题的一阶条件，同时引入一个关于变量量a和和y的二元函数的二元函数g我们可以证明，函数我们可以证明，函数g是是y的凹函数的充分条件是，的凹函数的充分条件是，经济行为主体的相对风险厌恶系数是增函数，并且经济行为主体的相对风险厌恶系数是增函数，并且小于或者等于小于或者等于1，而绝对风险厌恶系数是递减的。，而绝对风险厌恶系数是递减的。如果风险证券的风险贴水是严格正值的，那么就意如果风险证券的风险贴水是严格正值的，那么就意

16、味着当风险收益率的风险程度更大时，经济行为主味着当风险收益率的风险程度更大时，经济行为主体对于风险证券的投资是递减的。体对于风险证券的投资是递减的。fffryryawruyag),(前提假设前提假设经济行为主体的效用函数有预期效用的表达形式经济行为主体的效用函数有预期效用的表达形式效用函数是严格的增函数并且是可微的，它只取决效用函数是严格的增函数并且是可微的，它只取决于时期于时期1的消费的消费经济行为主体的收入存在于证券组合收益空间中，经济行为主体的收入存在于证券组合收益空间中，经济中不存在多余的证券。经济中不存在多余的证券。模型表达模型表达一个具有严格递增效用函数的经济行为主体的证券一个具有

17、严格递增效用函数的经济行为主体的证券选择问题可以表示成选择问题可以表示成 约束条件为约束条件为 其中，其中，aj 表示投资于证券表示投资于证券j 的的财富量，而财富量，而 且令且令 经济行为主体的最佳证券投资组合则可以写作经济行为主体的最佳证券投资组合则可以写作JjjjarauE1maxJjjwa1Jaaa,1 Jaaa,1如果有一支证券是收益率为如果有一支证券是收益率为rf的无风险证券，那么最优的无风险证券，那么最优证券组合选择问题就可记为证券组合选择问题就可记为 最优投资最优投资 作为这个最优证券组作为这个最优证券组 合合 选择选择问题的一个解得出。最优证券投资组合收益率为问题的一个解得出

18、。最优证券投资组合收益率为 投资于无风险证券的财富量为投资于无风险证券的财富量为 JjfjjfaarrawruEj2,2max Jaaa,1Jjjawa21wrarJjjj1多支风险证券条件下的风险多支风险证券条件下的风险收益替代收益替代两证券模型中一个严格风险厌恶的经济行为主体的两证券模型中一个严格风险厌恶的经济行为主体的最优证券投资组合包含风险证券的充分必要条件是最优证券投资组合包含风险证券的充分必要条件是风险证券的预期收益率严格大于无风险证券的收益风险证券的预期收益率严格大于无风险证券的收益率，较高的预期收益率补偿了最优证券组合的风险。率，较高的预期收益率补偿了最优证券组合的风险。在具有

19、多支风险证券的组合中，这种风险和收益的在具有多支风险证券的组合中，这种风险和收益的替代关系仍然成立。即：如果替代关系仍然成立。即：如果r*是一个风险厌恶的是一个风险厌恶的经济行为主体的最优证券组合的收益率，且如果经济行为主体的最优证券组合的收益率，且如果r*比另一支证券组合收益率比另一支证券组合收益率r更有风险，则有更有风险，则有 rErE多支风险证券条件下的风险贴水与最优证券组合多支风险证券条件下的风险贴水与最优证券组合的关系的关系 在两证券模型中，对风险证券的最优持有是严格为正、为零在两证券模型中，对风险证券的最优持有是严格为正、为零还是严格为负，取决于此风险证券的贴水是严格正值、是零还是严格为负，取决于此风险证券的贴水是严格正值、是零还是负值。但两证券模型这种风险贴水与最优证券组合之间还是负值。但两证券模型这种风险贴水与最优证券组合之间的关系，并不能推展到含有多种风险证券的情况。的关系，并不能推展到含有多种风险证券的情况。 在对经济行为主体的效用函数、证券收益率或同时对这二者在对经济行为主体的效用函数、证券收益率或同时对这二者缺乏