第3讲线性代数和多项式

1、矩阵的基本运算矩阵的基本运算解线性方程组解线性方程组矩阵特征值、特征向量矩阵特征值、特征向量用数值方法计算定积分用数值方法计算定积分多项式及相关运算多项式及相关运算矩阵的修改矩阵的修改(P80)表示矩阵表示矩阵A的第的第i行第行第j列元素列元素A(i, j)A(i, :)表示矩阵表示矩阵A的第的第i行元素行元素表示矩阵表示矩阵A的第的第j列元素列元素A(:, j)表示空矩阵表示空矩阵表示矩阵表示矩阵A的第的第ij行元素行元素A(i:j ,:)表示矩阵表示矩阵A的第的第ij列元素列元素A(:, i:j )矩阵的基本运算矩阵的基本运算注意注意K是一个数，是一个数，A是一个矩阵是一个矩阵k* *AA

2、BAX=B, X=A-1B, A必须是方阵必须是方阵数数 乘乘矩阵的左除矩阵的左除矩阵的右除矩阵的右除A/BXB=A,X=AB-1, B必须是方阵必须是方阵矩阵的行列式值矩阵的行列式值 det(A)A必须为方阵必须为方阵矩阵的逆矩阵的逆Inv(A)A必须为方阵，必须为方阵，|A| 0矩阵的乘幂矩阵的乘幂AnA必须为方阵，必须为方阵，n是正整数是正整数矩阵行变换化简矩阵行变换化简 rref(A)求求A阶梯形阶梯形的行最简形式的行最简形式矩阵的转置矩阵的转置A求求AT课堂练习：课堂练习：参考参考5.1.1矩阵的修改（矩阵的修改（P80），完成），完成P113习题习题5（不能直接输入）、（不能直接输

3、入）、8、9。参考参考5.1.1矩阵的修改（矩阵的修改（P82），完成），完成P114习题习题10、11。 矩阵的特征值、特征向量矩阵的特征值、特征向量(P86)V,D=eig(A)例例1 A=1,-1;2,4;V,D=eig(A)V= -0.7071 0.4472 0.7071 -0.8944方阵方阵A的特的特征向量矩阵征向量矩阵 D=2 00 3方阵方阵A的特的特征值矩阵征值矩阵 A必须为方阵。返回必须为方阵。返回A的特征值矩阵的特征值矩阵D（主对角线的元素为（主对角线的元素为特征值）与特征向量矩阵特征值）与特征向量矩阵V（列向量和特征值一一对应），（列向量和特征值一一对应），满足满足AV

4、=VD。矩阵的特征多项式矩阵的特征多项式p=poly(A)若若A为矩阵，则为矩阵，则p为为A的特征多项式系数；的特征多项式系数；若若A为行向量，则为行向量，则p为以为以A为根的特征多项式系数。为根的特征多项式系数。例例1A=1,-1;2,4;p=poly(A)poly2str(p,x)poly2str(p,x)得到多项式的习惯形式得到多项式的习惯形式ansp=1 -5 6x2-5x+6解解线线性性方方程程组组有三种方法：有三种方法：1、求逆法（、求逆法（P95）X = 1.4000 0.4000解：解：例：例： 求方程组求方程组 (Ax=b,A是可逆方阵是可逆方阵)的解的解2341xyxyA=

5、2,3;1,-1;b=4;1X=inv(A)*b相当于相当于2 34111xy ans方程的解是：方程的解是：x=1.4, y=0.4A=2,3;1,-1;b=4;1X=Ab2 、左除与、左除与右右除法除法例：例： 求方程组求方程组 (Ax=b,A是可逆方阵是可逆方阵)的解的解2341xyxy解解线线性性方方程程组组解：解：ansX = 1.4000 0.4000方程的解是：方程的解是：x=1.4, y=0.4相当于相当于AX=b,X=Ab如果是如果是XA=b,则则X=b/A3 、初等变换法（、初等变换法（P96）解解线线性性方方程程组组在线性代数中用消元法求线性方程组的通解的过程为：在线性代

6、数中用消元法求线性方程组的通解的过程为：1 1、用初等变换化线性方程组为用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组阶梯形方程组，把最，把最 后的恒等式后的恒等式“0=0”0=0”去掉；去掉；2 2、如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于非、如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于非 零的数，那么方程无解。否则有解；零的数，那么方程无解。否则有解；3 3、在有解的情况下：、在有解的情况下：l 如果阶梯形方程组中方程的个数如果阶梯形方程组中方程的个数r r等于未知量等于未知量 的个数，那么方程组有唯一的解；的个数，那么方程组有唯一的解；l 如果阶梯形方程组中方程的个数如果阶梯形方程组中方程的个数r r

7、小于未知量小于未知量 的个数，那么方程组有无穷多个解。的个数，那么方程组有无穷多个解。例例8 求求齐次线性方程组（齐次线性方程组（Ax=0）的通解的通解12341234123481020245038620 xxxxxxxxxxxx解：解： Matlab命令为命令为1 0 4 00 1 -3/4 -1/40 0 0 0ans=A=1 -8 10 2;2 4 5 -1;3 8 6 -2; 系数矩阵系数矩阵 rref(A) 行的最简形式行的最简形式解解线线性性方方程程组组分析：分析：将将0=0的一行去掉，则原方程组等价于的一行去掉，则原方程组等价于1323443144xxxxx 方程的个数方程的个数

8、 p=2,-1,0,3; x=roots(p)x = 0.7500 + 0.9682i 0.7500 - 0.9682i -1.0000 例：已知例：已知 ，求，求p(x)的根。的根。x=roots(p)：返回多项式的根，注意返回多项式的根，注意:matlab按惯例，多项式是行向量，根是列向量。按惯例，多项式是行向量，根是列向量。32)(23xxxp求解多项式的根，即求解多项式的根，即p(x)=0的解。在的解。在matlab中，求解多项式的中，求解多项式的根由根由roots函数命令来完成。函数命令来完成。v 多项式求根多项式求根 p=2,-1,0,3; x=2;polyval(p,x) 15

9、x=-1, 2;-2,1;polyval(p,x) 0 15;-17 4例：已知例：已知 ，分别取，分别取 x=2和一个和一个2x2矩阵，矩阵， 求求 p(x)在在 x处的值处的值32)(23xxxp 多项式多项式求值函数求值函数polyval 利用该函数可以求得多项利用该函数可以求得多项式在某一点的值。式在某一点的值。y=polyval(p,x):返回多返回多项项式式p在在x点的值点的值其中：其中：x x可以是复数，也可以是矩阵；可以是复数，也可以是矩阵；v 多项式求值多项式求值 多项式多项式加减运算加减运算：Matlab没有提供专门进行多项式没有提供专门进行多项式加减运算的函数，事实上，多

10、项式的加减就是其所对加减运算的函数，事实上，多项式的加减就是其所对应的系数向量的加减运算。应的系数向量的加减运算。例：例：32231xxp 3 , 0 , 1 , 2 对于次数相同的多项式，可以直接对其系数向量对于次数相同的多项式，可以直接对其系数向量进行加减运算；进行加减运算； 如果两个多项式次数不同，则应该把低次多项式如果两个多项式次数不同，则应该把低次多项式中系数不足的高次项用中系数不足的高次项用0补足，然后进行加减运算。补足，然后进行加减运算。122xp4222321xxxpp 1 , 2 4 , 2 , 1 , 2 1 , 2 0, 0, v 多项式四则运算多项式四则运算 多项式多项

11、式乘法乘法运算：运算： k=conv(p,q)例：计算多项式例：计算多项式 和和 的乘积的乘积3223 xx12 x p=2,-1,0,3; q=2,1; k=conv(p,q); poly2str(k,x) ans=4x4 - 1x2 + 6x + 3 多项式多项式除法除法运算：运算：k,r=deconv(p,q)其中其中k返回的是多项式返回的是多项式p除以除以q的商，的商，r是余式。是余式。k,r=deconv(p,q)p=conv(q,k)+rk=polyder(p): 返回返回多项式多项式p的一阶导数；的一阶导数；k=polyder(p,q): 返回多项式返回多项式p与与q乘积乘积的一

12、阶导数；的一阶导数；k,d=polyder(p,q):返回返回p/q 的导数，的导数，k是分子，是分子，d是分母。是分母。 k1=polyder(2,-1,0,3); k2=polyder(2,-1,0,3,2,1); k2,d=polyder(2,-1,0,3,2,1);例：已知例：已知 ， ， 求求32)(23xxxp12)( xxq)/( ,)( , qpqppv 多项式的导数多项式的导数课堂练习：课堂练习：P117-121例题例题 。 顾名思义多项式拟合是利用多项式最佳的拟合通过实验获顾名思义多项式拟合是利用多项式最佳的拟合通过实验获得的数据，使得在实验数据点处的误差平方和最小（最小得

13、的数据，使得在实验数据点处的误差平方和最小（最小二乘法）。二乘法）。取取x0,1之间的数，步长为之间的数，步长为0.1y取取2.3,2.5,2.1,2.5,3.2,3.6,3.0,3.1,4.1,5.1,3.8判断用什么曲线来进行拟合？判断用什么曲线来进行拟合？v 多项式的拟合多项式的拟合vp =polyfit（x，y，n） 多项式数据拟合多项式数据拟合v功能：功能：将给定向量将给定向量 x，y对应的（对应的（xi，yi）作为数据点，拟合成）作为数据点，拟合成n次多项式；次多项式； 向量向量x，y具有相同的维数；具有相同的维数；n为正整数，为正整数，n值越大则拟和的精度越好；值越大则拟和的精度

14、越好；p为多项式的系数向量。为多项式的系数向量。vpoly2str(p, x) 将多项式表示成习惯的将多项式表示成习惯的 形式形式 x=0:.1:1;y=2.3 2.5 2.1 2.5 3.2 3.6 3.0 3.1 4.1 5.1 3.8;p2=polyfit(x,y,2); p3=polyfit(x,y,3);p7=polyfit(x,y,7)disp(二次拟和二次拟和)，poly2str(p2,x)x1=0:0.01:1;y2=polyval(p2,x1);plot(x,y,rp,x1,y2,g-,x1,y3,b-,x1,y7,k-.)disp(三次拟和三次拟和)，poly2str(p3

15、,x)disp(七次拟和七次拟和)，poly2str(p7,x)y3=polyval(p3,x1);y7=polyval(p7,x1);Legend(拟合点拟合点,二次拟合二次拟合,三次拟合三次拟合,七次拟七次拟合合)预测模型实验预测模型实验北京科技大学数学实验北京科技大学数学实验问题的提出： 据考古学家论证，地球上出现生命距今已有20亿年，而人类的出现距今却不足200万年。纵观人类人口总数的增长情况，我们发现：1000年前人口总数为2.75亿。经过漫长的过程到1830年，人口总数达10亿；又经过100年，在1930年，人口总数达20亿；30年后，在1960年，人口总数为30亿；又经过15年，

16、1975年的人口总数是40亿；12年之后即1987年，人口已达50亿。 我们自然会产生这样一个问题：人口增长的规律是什么？人口预测人口预测北京科技大学数学实验 下表是1971年到1990年我国总人口的统计数字，试根据1971年到1985年这15年人口的统计数字用多种方法预测未来20年的人口数字，并比较1986年到1990年间预测人口数字与实际统计数字的差异，在你所使用的几种预测方法中找出一种较为合理的预测方法。年份人口统计数字年份人口统计数字1971 8.5229198110.00721972 8.7177198210.16541973 8.9211198310.30081974 9.0859

17、198410.43571975 9.2420198510.58511976 9.3717198610.75071977 9.4974198710.93001978 9.6259198811.10261979 9.7542198911.27041980 9.8705199011.4333北京科技大学数学实验 根据1971年到1985年这15年间的人口统计数字,采用多项式拟合的方法预测未来20年的人口数字用多项式拟合预测人口数字用多项式拟合预测人口数字t=1971:1985;y=8.5229,8.7177,8.9211,9.0859,9.2420,9.3717,9.4974,9.6259,9.75

18、42,9.8705,10.0072,10.1654,10.3008,10.4357,10.5851p3=polyfit(t,y,3);p4=polyfit(t,y,4);x=1971:2005;y3=polyval(p3,x)y4=polyval(p4,x)plot(t,y,rp,x,y4)年份年份统计数字统计数字3 3次拟合次拟合 4 4次拟合次拟合 年份年份 统计数字统计数字3 3次拟合次拟合 4 4次拟合次拟合197119718.52298.52298.52638.52638.51438.5143 19891989 11.270411.2704 11.432911.4329 11.112

19、911.1129197219728.71778.71778.72788.72788.73298.7329 19901990 11.433311.4333 11.700311.7003 11.205811.2058197319738.92118.92118.91058.91058.92098.9209 19911991 11.996511.9965 11.270411.2704197419749.08599.08599.07719.07719.08559.0855 19921992 12.324212.3242 11.299111.2991197519759.2429.2429.23019.23

20、019.23319.2331 19931993 12.685912.6859 11.28311.283197619769.37179.37179.37229.37229.36929.3692 19941994 13.084413.0844 11.212811.2128197719779.49749.49749.50619.50619.49879.4987 19951995 13.522213.5222 11.07811.078197819789.62599.62599.63449.63449.62549.6254 19961996 14.002114.0021 10.867610.867619

21、7919799.75429.75429.75989.75989.75249.7524 19971997 14.526614.5266 10.569610.5696198019809.87059.87059.88489.88489.88189.8818 19981998 15.098415.0984 10.17110.1711981198110.007210.0072 10.012210.0122 10.015210.0152 19991999 15.720115.7201 9.65839.65831982198210.165410.1654 10.144610.1446 10.15310.15

22、3 20002000 16.394416.3944 9.0179.0171983198310.300810.3008 10.284610.2846 10.29510.295 20012001 17.12417.1248.23168.23161984198410.435710.4357 10.434810.4348 10.4410.44 20022002 17.911417.9114 7.28617.28611985198510.585110.5851 10.59810.59810.586110.5861 20032003 18.759418.7594 6.16336.1633198619861

23、0.750710.7507 10.776810.7768 10.730510.7305 20042004 19.670519.6705 4.84554.84551987198710.9310.9310.973710.9737 10.869510.8695 20052005 20.647520.6475 3.31393.31391988198811.102611.1026 11.191511.1915 10.998710.9987 北京科技大学数学实验19701975198019851990199520002005810121416182022 统 计 数 字三 次 拟 合北京科技大学数学实验1

24、97019751980198519901995200020053456789101112 统 计 数 字四 次 拟 合2012.nnyaata ta t 上述方法求出的人口预测函数为多项式： 常用的人口发展函数还有指数发展函数（Malthus模型）和阻滞增长模型（Logistic模型）： Malthus模型：0rttpp eMalthus模型该模型假设： 1）设p(t)表示t时刻的人口数，且p(t)连续可微； 2）人口的增长率r是常数（增长率=出生率-死亡率）； 3）人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加与减少只取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个体都具有同样的生育能力与死亡率。()( )( )p ttp trp