直接证明与间接证明2

1、经过证明经过证明的结论的结论 一般地，从要证明的结论出发，逐步一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做方法叫做分析法分析法 特点：特点：执果索因执果索因. .用框图表示分析法用框图表示分析法1 1QPQP2323PPPP1212PPPP得到一个明显得到一个明显成立的结论成立的结论复习复习思考题思考题: :甲、乙

2、、丙三箱共有小球甲、乙、丙三箱共有小球384384个个, ,先先由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内, ,所放个所放个数分别为乙、丙箱内原有个数数分别为乙、丙箱内原有个数, ,继而由乙箱继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内取出若干个球放进甲、丙两箱内, ,最后由丙最后由丙箱取出若干个球放进甲、乙两箱内箱取出若干个球放进甲、乙两箱内, ,方法同方法同前前. .结果三箱内的小球数恰好相等结果三箱内的小球数恰好相等. .求甲、求甲、乙、丙三箱原有小球数乙、丙三箱原有小球数甲甲:208:208个个, ,乙乙:112:112个个, ,丙丙:64:64个个思考？思考？ A A、B

3、 B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C说说A A、B B都撒谎。则都撒谎。则C C必定必定是在撒谎，为什么？是在撒谎，为什么？分析分析:假设假设C没有撒谎没有撒谎, 则则C真真. - - - -那么那么A假且假且B假假;由由A A假假, , 知知B B真真. . 这与这与B B假矛盾假矛盾. .那么那么假设假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立; ;则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎. . 反证法：反证法： 假设命题结论的反面成立，经过正确的假设命题结论的反面成立，经过正确的推理推理, ,引出矛盾，因此说明假设错误引出矛盾，因此说明假设错误,

4、 ,从而从而证明原命题成立证明原命题成立, ,这样的的证明方法叫反这样的的证明方法叫反证法。证法。反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反反证法的基本步骤：反证法的基本步骤：（1 1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成-立；立；（2 2）从这个）从这个假设出发假设出发，经过推理论证，得出，经过推理论证，得出矛盾矛盾； （3 3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 - -论正确论正确归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2 2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、

5、定理、定义矛盾； （3 3）自相矛盾。）自相矛盾。应用反证法的情形：应用反证法的情形： (1)(1)直接证明困难直接证明困难; ; (2) (2)需分成很多类进行讨论需分成很多类进行讨论（3)3)结论为结论为“至少至少”、“至多至多”、“有无穷有无穷多个多个” ” -类命题；类命题； （4 4）结论为结论为 “ “唯一唯一”类命题；类命题；例例1 1：用反证法证明：用反证法证明：如果如果ab0ab0，那么，那么a a b b证：假设 a b不成立，则 a b证：假设 a b不成立，则 a b若 a =b，则a = b,若 a =b，则a = b,与已知a b矛盾,与已知a b矛盾,若 a b，

6、则a b,若 a b，则a b矛盾,与已知a b矛盾,故假设不成立，结论 a b成立。故假设不成立，结论 a b成立。例例2 2 已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有有且只有一个根。一个根。证：假设方程ax+b = 0(a 0)至少存在两个根，证：假设方程ax+b = 0(a 0)至少存在两个根，1 12 21 12 2不不妨妨设设其其中中的的两两根根分分别别为为x x ，x x 且且x x x x1212则ax = b，ax = b则ax = b，ax = b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01

7、 12 2 a a（x x - -x x ） = = 0 012121212 x x ，x -x 0 x x ，x -x 0 a = 0 a = 0 与已知a 0矛盾,与已知a 0矛盾,故假设不成立，结论成立。故假设不成立，结论成立。P P例例3 3：证明：圆的两条不全是直径的相交：证明：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分弦不能互相平分. .已知：在已知：在OO中中, ,弦弦ABAB、CDCD相交于相交于P P，且，且ABAB、CDCD不全是直径不全是直径 求证：求证：ABAB、CDCD不能互相平分。不能互相平分。A AB BC CD DO O 例例4 4 求证：求证： 是无理数。是无理数

8、。2 2证：假设 2是有理数，证：假设 2是有理数，m m则则存存在在互互质质的的整整数数m m，n n使使得得2 2 = =，n n m m = =2 2n n2 22 2 m m= = 2 2n n2 2m m 是是偶偶数数，从从而而m m必必是是偶偶数数，故故设设m m= =2 2k k（k kN N）22222222从而有4k = 2n ，即n = 2k从而有4k = 2n ，即n = 2k2 2n 也是偶数，n 也是偶数，这与m，n互质矛盾！这与m，n互质矛盾！所以假设不成立，2是有理数成立。所以假设不成立，2是有理数成立。121212122222112211221:若p p = 2(q +q ),证明:关于x的方程1:若p p = 2(q +q ),证明:关于x的方程x +p x+q = 0与x +p x+q = 0中至少有一x +p x+q = 0与x +p x+q = 0中至少有一个有实根.个有实根.2 22 22 22 2: :若若a a, ,b b, ,c c均均为为实实数数, ,且且a a