机械振动3强迫振动1-4

1、第三章第三章 受迫振动受迫振动 在外部持续激励作用下所产生的振动 从外界不断获得能量补偿阻尼消耗的能量，使系统得以维持振动。 研究的次序从简到繁： 简谐激励、周期激励、非周期激励本章内容：3.1 对简谐激励的响应3.2 复频率响应3.3 隔振3.4 振动测量仪器3.5 简谐力与阻尼力的功3.6 等效粘性阻尼3.7 系统对周期激励的响应 傅里叶级数3.8 系统对任意激励的响应 卷积积分3.9 系统对任意激励的响应 傅里叶积分3.10 用拉普拉斯变换法求系统响应 传递函数3.11 复频率响应与脉冲响应之间的关系3.1 对简谐激励的响应tFtFkxxcxmsin)(0 xkcF(t)mkxxcF(t

2、)（3.1.1）0F外力幅值外力幅值外力的激励频率外力的激励频率立动力学方程：非齐次微分方程非齐次微分方程通解通解齐次微分方程齐次微分方程通解通解非齐次微分方程非齐次微分方程特解特解阻尼自由振动阻尼自由振动逐渐衰减逐渐衰减瞬态振动瞬态振动持续等幅振动持续等幅振动稳态振动稳态振动本节内容本节内容先求稳态响应稳态响应即方程的特解。它也是简谐振动)sin(2tXx（3.1.2）其中X为稳态响应的振幅振幅，代入方程，得到：tFtXctmkXsin)cos()sin()(02)sin(0tF由方程非齐次项的形式判断，特解也是简谐函数，设为：为相位差相位差，是待定常数。sin)cos(cos)sin(00

3、tFtF比较方程等号两边同类项系数，得到：),(cos20mkXFXcFsin02220)()(cmkFX2tanmkc分子分母同除以k，并利用2220)()(cmkFX2tanmkc)sin(2tXxmknkmc22220)2()1 (/kFXn频率比频率比212tan（3.1.2）从特解看出（3.1.7）（3.1.10）得到：2220)2()1 (1)(XXkFX00常值力常值力F0作用下的作用下的静变形静变形0XX放大因子放大因子（幅频特性）幅频特性）幅频特性曲线幅频特性曲线 0123012345)(01 . 025. 0375. 05 . 01随随 的增大，的增大， 先由小变大，先由小

4、变大，后从大变小后从大变小. . )(11n）当（11)(lim0响应的振幅与静变形相当响应的振幅与静变形相当. 引入： 稳态响应特性稳态响应特性激振频率远大于系统固有频率激振频率远大于系统固有频率 结论：响应的振幅可能很小结论：响应的振幅可能很小.0)(lim0123012345)(01 . 025. 0375. 05 . 012220)2()1 (1)(XX结论：在结论：在远离远离1时，系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的时，系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的 对应于不同对应于不同 值值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著 在在 远离远离1时，时，)(12n

5、）当（ 稳态响应特性稳态响应特性结论：共振，结论：共振， 振幅无穷大振幅无穷大.（3）当）当1n对应于较小对应于较小 值，值， 迅速增大迅速增大 )(s当当0)(但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 =1 附近的区域内，附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降增加阻尼使振幅明显下降, 阻尼较强时振幅变化平缓。 0123012345)(01 . 025. 0375. 05 . 012220)2()1 (1)(XX1若,21.200ncFXX1振幅无极值振幅无极值 当当2/1 稳态响应特性稳态响应特性（4）对于有阻尼系统，）对于有阻尼系统， 并并不出现在不出现在 =1处

6、，而且稍偏左处，而且稍偏左 max0dd2max12122102108)1 (4)2()1(2122222/3222共振峰共振峰0123012345)(01 . 025. 0375. 05 . 012220)2()1 (1)(XXdcFXX020max12 相频特性相频特性相频特性曲线相频特性曲线 2112)(tg以以为横坐标画出为横坐标画出 曲线曲线 )(相位差相位差 0响应与激振力近乎同相响应与激振力近乎同相响应与激振力反相响应与激振力反相 （3）当）当1n共振时的相位差为共振时的相位差为 ，与阻尼无关，与阻尼无关 2)(0123090180)(11n）当（)(12n）当（有阻尼单自由度系

7、统几个图形比较有阻尼单自由度系统几个图形比较外部作用力规律：外部作用力规律：tFtFcos)(0假设系统固有频率：假设系统固有频率：1n从左到右：从左到右：6 . 1,01. 1, 4 . 0nnn无阻尼时，若无阻尼时，若 =1 ，强迫振动动力学方程为：，强迫振动动力学方程为：tFkxxmsin0 tmtFtxcos2)(02特解为：特解为：无阻尼系统共振时，振幅随时间无限增大；无阻尼系统共振时，振幅随时间无限增大；共振现象是工程中需要研究的共振现象是工程中需要研究的)2sin(20tmtF（3.1.18）响应初相位滞后于激励响应初相位滞后于激励 /2./2.mtF20重要课题，工程中通常取重

8、要课题，工程中通常取25. 175. 0的区间为共振区，的区间为共振区，在共振区内振动会很强烈，会导致机械变形过大，甚至破坏。在共振区内振动会很强烈，会导致机械变形过大，甚至破坏。 共振时振幅增大过程OtxT无阻尼质量-弹簧系统，方程和初始条件为：000)0(,)0(:0sinxxxxttFkxxm 求系统响应。tmkFtCCxnnsinsincos2012t将初始条件代上式：020201)0(,)0(xmkFCxxCxn200201)/(,mkFxCxCnn例3.1-1解：方程的通解为得：方程的解（系统的响应）为)sin(sinsincos2000ttmkFtxtxxnnnnn方程的全解：初

9、始条件响应初始条件响应自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应特点：以系统固有特点：以系统固有频率为振动频率频率为振动频率如果是零初始条件如果是零初始条件自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应)sin(sinsincos2000ttmkFtxtxxnnnnn)sin(sin20ttmkFxnn0)0(, 0)0(:0 xxt讨论有阻尼系统对简谐激励的响应讨论有阻尼系统对简谐激励的响应(过渡阶段过渡阶段)000)0(,)0(sinxxxxtFkxxcxm )sin(sin)cossin(cossin)sincos()(00000tXtteXtxxtxetxddndtddndtnn mknkmc

10、221ndnkFX00222)2()1 (1212arctan初始条件响应初始条件响应自由伴随振动，也是衰减的自由伴随振动，也是衰减的强迫振动强迫振动利用前述相同的方法，有：利用前述相同的方法，有：初始条件响应和自由伴随振动x2tx1t两种振动叠加的结果如图。随着时间的推移，暂态响应逐渐消失，而转化为稳态响应。xt瞬态过程瞬态过程稳态过程稳态过程稳态振动两部分都是衰减的自由振动暂态振动包括两部分：图示振动系统，刚性杆不计重量，在水平位置平衡，端部受激励例3.1-2解：设钢杆摆角为，由动力学得：系统的稳态响应为tlFklclmlsin3940222 kcFmlll试列出振动微分方程，tFFsin

11、0并求当=n时质点的振幅。)sin(0tXxtFkxxcxmsin3940 令mcn42mkn9kFkFX393000，得由lx 21质点的振幅为20XX nmckF/43/0ncF430kmcF403.2 复频率响应)sin(cos)(00titFeFtFtixkcF(t)mkxxcF(t)动力学方程（非齐次微分方程）：tieFkxxcxm0 （2.1.2） 激励为复变量，其实部和虚部分别表示对系统作用的是余弦激励和正弦激励。kxxceFxmti 00F外力幅值外力幅值外力的激励频率外力的激励频率F为复数形式复数形式的求解有时更方便 响应 x 也为复变量，其实部和虚部分别表示系统对余弦激励和

12、正弦激励的响应。稳态响应稳态响应也是简谐振动（复数形式）：)sin()cos()(titXXexti（3.2-3）其中X为稳态响应的复振幅，复振幅，为相位差相位差。代入方程，得到：titieFekicmX0)(2)(keFXeHtiti/)(0)(（3.2-5）H()为激励频率的复函数，称为复频率响应（函数）复频率响应（函数）。icmkFXei20显见x(t)与F(t)/k成正比，比例系数为：icmkk22112i（3.2-6）H()的绝对值是振幅与静变形之比，即放大因子。iH211)(2（3.2-7）为求出相位差相位差，由（3.2-6）式得：212arctan)(222211）（）（对比等号

13、两边同类项系数得：211)sin(cos20ikFiXXei22220)2()1 (21ikF也称相频特性H()又称为幅频特性幅频特性。不平衡质量激发的强迫振动。P41图3.2-2两个偏心质量m/2以角速度按相反方向转动，偏心距e，例3.2-1解：设机器的铅直方向位移为x，动力学方程：0)sin()(2222kxdtdxctexdtdmdtxdmM求系统强迫振动.机器总质量M。tmekxxcxMsin2 )Im(2tieme的答案。的解，其虚部就是本题求tiemekxxcxM2 ，则：设方程的解为)(tiXex2222)2()1 (1kmeX0F212arctanMknn,其中机器的振幅可改为

14、：机械的振动为2222)2()1 ()sin()sin(tkmetXx212arctan初相角为)(2HkmeX 2222)2()1 (1)(nMme2222)2()1 (Mme)(2HmeMX0.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0 meMX1 0 0190180支承激励引起的强迫振动。例3.2-2解：设质量只能作铅直方向运动，位移为x，0)()(yxkyxcxm 有，则：设方程的解为)(tiXexYiXeii)21 ()212（mknn,其中)(tx)(tyc2km2k支承的运动为y:tYysinyckykxxcxm yyxxxnnnn 2222)Im(tiYe21212iiYX

15、)()2(12H2222)2()1 ()2(1，解为)(tiXexYiXeii)21 ()212（)(tx)(tyc2km2k)sincosiYXeYXi（223)2(12tan2222)2()1 ()21)(21 (ii21212ii222322)2()1 (2)2(1i2121Im2tiYeiix实际振动为)2()1 ()2(1Im)(2222tiYe)sin()2()1 ()2(12222tY幅频曲线幅频曲线0110 0.1 0.25 0.35 0.5 1.0 YX2可看出：可看出：当当 时，时，21YX振幅恒为支承运动振幅振幅恒为支承运动振幅Y当当 时，时，21YX振幅恒小于振幅恒小于

16、Y这时，增加阻尼反而使振幅增大这时，增加阻尼反而使振幅增大2222)2()1 ()2(1YX3.3 隔振隔振 机器设备运行会产生振动，为减少对环境的影响，通常在机器机器设备运行会产生振动，为减少对环境的影响，通常在机器底部加装弹簧、橡胶等，相当于弹簧和阻尼。底部加装弹簧、橡胶等，相当于弹簧和阻尼。隔振前机器传到地基的力：隔振前机器传到地基的力：tieF0隔振材料：隔振材料：k，c隔振后系统响应隔振后系统响应x：222)2()1 (1)(0tiekFx212arctanmtieF0隔振前隔振前kcm隔振后隔振后tieF0tieFkxxcxm0 隔振后通过弹簧和阻尼传到地基的力：隔振后通过弹簧和阻

17、尼传到地基的力：kxxcFT )(0)(tiekFick222)(0)2()1 ()21 (tieFi通过通过k、c传到地基上的力：传到地基上的力：kcm隔振后隔振后tieF0)(0222)2()1 ()21 (tiTeFiF22220)2()1 ()2(1FFT这是实际传递力的力幅与激这是实际传递力的力幅与激励力幅之比，称为励力幅之比，称为传递率传递率.也称也称隔振系数隔振系数0110 0.1 0.25 0.35 0.5 1.0 0FFT2(1) 不论阻尼大小，只有当阻尼比不论阻尼大小，只有当阻尼比 时，才有时，才有隔振效果隔振效果. .2(2)后传递但在趋于增加，传递率降低，并后，随着5. 02.率变化很小.52 . 2了之间隔振效果已经足够值在实际上取(3)隔振。即此时最大阻尼不利于传递率提高增大若时.,2 3.4 振动测量仪器振动测量仪器 tiYety)(基础位移基础位移动力方程动力方程 ：0)(kxxcyxm tiemYkxxcxm2 YX2222)2()1 (振幅振幅 ：kcm)(ty设x 为为 m 相对于外壳的相对位移相对于外壳的相对位移解为解为 ：)(2)(tieHYxmknn,其中0.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0 YX1 0