周建华工程矩阵理论PPT学习教案

1、会计学1周建华工程矩阵理论周建华工程矩阵理论2第1页/共353页3第2页/共353页4第3页/共353页51.kA计算2.讨论矩阵序列的极限3.Axb求线性方程组的近似解第4页/共353页6第5页/共353页70101010n nN第6页/共353页8第7页/共353页9mmmmmmmmmmBABCBACBACABABA1122211,即相应的二项式定理成立可交换时与当第8页/共353页1011Aknn次幂：矩阵的计算下述解：1122211()()()()()kkkkkkkkkkkkkAININAINICINCINCI NC N且与 可交换，kkkkkkkkkkkkNCNCNCNCIA1122

2、211112211112211000000kkknk nkkkkkkkkkkkkCCCCCC 第9页/共353页11 tnijnsijbBaA,qrqqrrpqppqqBBBBBBBBBBAAAAAAAAAA212222111211212222111211,在一定条件下，ABC 也可以写成分块矩阵将这两个矩阵分块：prpprrCCCCCCCCCC212222111211其中，1122ijijijiqqjCA BA BA B第10页/共353页12,)ijijs nn tAaBb(设一些常见的分块形式一些常见的分块形式第11页/共353页13第12页/共353页142.AB将 视作一块， 按列分

3、块。.)()(,nBrArOAB则若第13页/共353页153. AB 按列分块， 不分块)(),()(BrArABr11112112111(,),tnnntnnniiiiitiiiibbABbbbbb 第14页/共353页16例如，矩阵的相似对角化问题第15页/共353页17, bAx TsnsijbbbbaA21,其中，bArAr)(有解2. .,)(nrrbArAr则有唯一解若3. ( ),.r Ar Abrnnr若则通解中含有个自由未知量第16页/共353页18,Ax nsijaA其中，对于齐次线性方程组1. 有非零解当且仅当.)(nAr.,)(. 2个解向量则其基础解系中含若rnnA

4、r3.( ),.r Annr若则其任意个线性无关的解向量是其基础解系第17页/共353页1915543423323322154321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx：求下列线性方程组的解00000022111000431100111111初等行变换增广矩阵第18页/共353页20第19页/共353页2100000022111000431100111111初等行变换增广矩阵0000002211100026140100540011初等行变换第20页/共353页22阵化成阶梯形矩阵；用初等行变换将增广矩确定自由未知量；用回代法找出通解。第21页/共353页230

5、5540423303322054321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx础解系：求齐次线性方程组的基000001110003110011111初等行变换增广矩阵0000022100014010040011初等行变换第22页/共353页241. ( )();2.HHHAsnbsr Ar A AA AxA b设 是矩阵， 是 维列向量。证明：线性方程组恒有解。第23页/共353页25., 21向量均是其极大无关组个线性无关的，则其中任意的秩为量组若向rrs第24页/共353页26第25页/共353页27有关矩阵的秩的不等式：);()()(. 1BrArBAr;)

6、()(,. 3nBrArOBAtnns则若;)()()(. 4nBrArBArtnns);(),()(. 2BrArABr第26页/共353页28第27页/共353页29第28页/共353页30第29页/共353页31.11snArsrBrnCABC：假设矩阵 的秩为 ，证明： 存在矩阵及矩阵 ， 使得（矩阵的满秩分解）例第30页/共353页321112122304.1142522788A求的满秩分解11121005460000000000A 初等行变换解：611105564001550000000000 初等行变换第31页/共353页33第一章第一章 第32页/共353页34.:数域实或复是

7、是非空集合设定义）（，FV:上定义了两种运算及在FV:,;VV 对在 中有惟一的元素与之对应记这个元素为称为加的和法:,.V kFVkk对在 中有惟一的元素与之对应记这个元素为称为 与数的积乘第33页/共353页351.,;2.,()();3.,;4.,;5.,1;6., , ()() ;7., ,();8., ()VVVVVVVV k lF k lklV k lFklklV kF kkk 对对元使得对使对对对对第34页/共353页36nFV . 1nnFV. 2. 3xFV . 4xFVnRFCV,. 5CFCV,. 6第35页/共353页37CFRV,. 7通常运算,. 8RFRV9.,V

8、RFRkkFkVV,:;,:对对定义新的运算第36页/共353页38则上的线性空间是数域假设,FV;. 1 中的零向量是惟一的V;,. 2记为的负元素是惟一的对V;,:. 3则若加法消去律4.,(),);Vxxx 对向量方程有惟一解记;) 1( ,),().(5特别地kk或0. 6kk第37页/共353页39 在线性空间中可以定义线性组合、线性表示、线性相关、线性无关，向量组的极大线性无关组、秩等概念。121211221212.,.,.ssssssVk kkkkk定义：设， ，若 不全为零的数使得则称向量组， ，否线性相关线则 称，性无关，第38页/共353页40121.2,1.sjsjs 若

9、则线性相关使可由其余个向量线性表示1212122.,.,.sss 若线性无关 但线性相关则 可由线性表示而且 线性表示的方法是惟一的第39页/共353页411212123.,.tstts 若可由线性表示则线性相关1212121.,.tstts 推论 若可由线性表示且线性无关 则12122.,.tsst 推论 若与等价 且均线性无关 则第40页/共353页421000010000100001. 12221121122，E，E，E，EF中在2322213243,31,32. 2xxxxxx，xF中在123.,1,1VC FRi 124.,1,1VC FCi 第41页/共353页4312121212

10、1 .2 .nnnnVVV 若， ，满足条件（） ， ，线性无关；（ ）均可由， ，线性表示,则，称， ，是 的一组基，,( )dimVVnV称 是 的记为或维数维。第42页/共353页44.1,dim个向量线性相关中任意则命题：若nVnV.注：线性空间的基不一定存在如： V零空间- dim0 VF xdimxF第43页/共353页45. 1nFV . 222 FV. 3xFVn.,. 4RFCV.,. 5CFCV.,. 6RFRV第44页/共353页46dim,.VnVnV若则 中任意 个线性无关的向量均构成 的基32122234: ,( )123,( )3,( )2.F xf xxxfxx

11、xfxxx 例证明 在中 向量构成一组基第45页/共353页47nnnxxxVV221121,且的一组基是，设1212,nnx xx 则称是 在基的坐标下1212,().nnxxx 或是 在基下坐标 列向量的第46页/共353页481212,( ,)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).nnnFx xxeee中在基下的坐标第47页/共353页492 211122122 10010000,00001001.abFAcdEEEE在中，在基下的坐标第48页/共353页501. 线性空间的基是有序的。2. 基相当于几何空间中的坐标系。 第49页/共353页51则及下的坐标分别是在基假设.,

12、2 , 1,21siXXV，ini;. 1X;. 222112211ssssXkXkXkXkkk.,. 32121线性相关线性相关ssXXX第50页/共353页52232213)(,2)(,1)(:xxxfxxxfxxfxF关性中下述向量组的线性相判断第51页/共353页534233,1221,3012,2211:22DCBAF关组中下述向量组的极大无求第52页/共353页54XxxxxxxXnnnnn),(),(,2121212121可形式地记成则下的坐标，在基是若第53页/共353页55,2121线性表示可由若st使得矩阵我们可以找到一个于是,AtsAst),(),(2121第54页/共3

13、53页56Ast),(),(2121若Btp),(),(2121)(,(),(2121ABsp则第55页/共353页57,21线性无关设nAnn),(),(2121.,:21是可逆矩阵线性无关证明An第56页/共353页58且的基都是及设,2121VnnAnn),(),(21211212,.nnA 则称 是从基到基过渡矩阵的.过渡矩阵一定是可逆的于是，第57页/共353页591212112121.,.nnnnAA 若从基到基的过渡矩阵是则从基到基的过渡矩阵是1212121212122.,.nnnnnnABAB 若从基到基的过渡矩阵是从基到基的过渡矩阵是则从基到基的过渡矩阵是第58页/共353页

14、60。，F的过渡矩阵到基从基求中在)5 , 3 , 2(),2 , 1 , 0(),3 , 2 , 1 () 1, 1 , 2(),3 , 1 , 0(),1 , 0 , 1 (3213213第59页/共353页61,21XVn下的坐标是在基设n,21在基,Y下的坐标是的过到基而从基nn,2121则,A渡矩阵是,AYX 或XAY1第60页/共353页62在基求中在231)(,xxxfxF222, 23x x xxx 下的坐标。第61页/共353页63:,.,.VFWVWVFWVWV定义 设 是数域 上的线性空间是 的非空子集若关于 的子空运算也构成 上的线性空间间则称是 的记.:的子空间是例x

15、FxFn.:中的运算应当相同的运算与注VW第62页/共353页64.WVWVW设则是 的子空间 关于线性运算封闭 :.VV例如及 本身均是 的子空间312:( , , )|3251( , , )|3250RVx y zxyzVx y zxyz例如中集合第63页/共353页651.|.s nnAFVFAVAx设称 是齐次线性方程组的解空间)(.,.,|. 2212121121ssssiiiis，LWWFkkWV，。FV记是其生成元生成的子空间是由称集合上的线性空间是设第64页/共353页66;),(. 121WLWjs则若121212122. (,)(,),ststLL 与等价；12121212

16、3.,(,)dim (,)(,).ssssLLr 的极大无关组是的基，故，第65页/共353页67.),()2 , 1 , 0 , 2(),1 , 1 , 1 , 1 (),2 , 1 , 3 , 2(),1 , 1 , 2 , 1 (,432143214的一组基及其维数求已知中在LWF第66页/共353页68.),(1111,1111,2112,1221,22的一组基求中在DCBALWDCBAF第67页/共353页69.,|22的一组基中子空间求FyxxyyxWF第68页/共353页702 22 210,:21|,.AWXFAXXAFW设证明是的子空间 并求的一组基第69页/共353页712

17、 2211 1,.121 1,.ABA BF例：已知将扩充成的一组基.VV有限维线性空间 的子空间的基均可扩充成 的一组基第70页/共353页72.21V，VV假设212211212121|:使得且定义V，VVVVVVVVV第71页/共353页731212:.3VVVVV，都是定的子空间理第72页/共353页74则若命题，LVLVts),(),(:212211),(212121tsLVV第73页/共353页7512121212,dim()dimdimdimV VVVVVVVV假设有第74页/共353页76.,|,|2121212122的及维数及求子空间设VVVVVVFyxxyyxVFyxyyx

18、xVF第75页/共353页77121211221241212(1,2,1,0),( 1,1,1,1),(2, 1,0,1),(1, 1,3,7)(,),(,),.VLVLFVV VV 设。求的子空间的基及维数第76页/共353页78.|,|22121121,44132211111121214241的基及维数，求已知VVVVBxFxVAxFxVBA第77页/共353页7912121122121212.,.,.V VVVVVVVVVV 定义 设若，惟一的使得，则称是记为直和。第78页/共353页80:,21则下述条件是等价的设VVV;. 121直和VV ;. 2 的表示方式是唯一的 ;. 321V

19、V;dimdim)dim(. 42121VVVV.,. 52121的基的基合在一起就是将VVVV第79页/共353页811212|,|n nTTn nFVA AA VA AAFVV 已知的子空间，证明：。第80页/共353页8221212 ,.|,|n nnnnAFAAVxFAxVxFAxxFVV设且，证明：。第81页/共353页83121211212.,.,1,2, ,sssiiiissV VVVVVVV isVVVVVV 定义设若，惟一的使得，则称是，记为直和。第82页/共353页84定理6;. 2 的表示方式是唯一的 ;. 3 jiijVVsiisiiVV11dimdim. 4.,. 5

20、2121的基的基合在一起就是将ssVVVVVV;. 121直和sVVV:,21则下述条件是等价的设VVVVs第83页/共353页85第84页/共353页86.:.,( ),.fSTxS yf xyxfxyf定义 设有映射若则称 为的 在 下的，称 为 在 下的像原像第85页/共353页87.:.( ),; ( )( ),;,.fSTf STff af babfff定义 假设映射若则称 是若由必能推得则称 是若满射单射既是满射又是单射 则是双射称:(:,).7STfSTfg TSgfIfgI定理是双射是可逆映射 存在映射使得第86页/共353页88,.:1.,()( );2.,()( )( ).

21、V UFf VUxV kF f kxkf xx yV f xyf xf yfVU 设均是数域 上的线性空间若映射满足条件则称 是到 的线性映射从).,(UVHomUV的线性映射全体记为到从VV到自身的线性映射称为 上的线性变换。第87页/共353页891.,:,( ).s nnsnAFfFFxFf xAx 假设映射定义为2.: :( ) ,( ( )( ).nnnfF xF xp xF xf p xp x映射定义为第88页/共353页903.,:,().n nn nn nn nAFfFFXFf XXA假设映射定义为第89页/共353页91性变换：考虑下列变换是否为线是一给定向量。上的线性空间，

22、是数域假设VFV0 . 0)(,. 1xfVx. 0)(,. 2xxfVx第90页/共353页92换：下述变换肯定是线性变;)(,:xOVxVVO.)(,:xxIVxVVI第91页/共353页93;)(. 1:fUVf是线性映射。则：假设1212112.,()();ssssiiiiiiV k kkFfkk f 若则12123.,(),(),();ssVfffU 若线性相关，则线性相关第92页/共353页9412124.(,),( )( (),(),();ssVLfR fL fff 若则 的值域5. ( )|( ) K fxVf xVf是的子空间， 称为 的核子空间。第93页/共353页95定义

23、为：其中：和维数：的值域及核子空间的基求线性映射:33xFxFff)( )(xpxpf第94页/共353页96.:( ),s nnsnAFffFFf xAxxF 设求线性映射 的值域及核子空间的基和维数，其中：定义为：).)(),(AKARf记为的值域及核子空间分别第95页/共353页97,( ,),( ,),f fHom V UgHom U WkFkfffgf假设定义如下：它们都是线性映射。第96页/共353页98则：假设).,(,VVHomhgf);().(1ghfhfg;)(. 2fhfghgf3.().fg hfhgh第97页/共353页99选定基偶：设).,(UVHomf ;,:21

24、sVnU,:21Afffns),()(,),(),(2121若Af则称 是 在选定基偶下的矩阵。且如,VU Afffss),()(,),(),(2121Af则称 是线性变换 在所选基下的矩阵。第98页/共353页100第99页/共353页1012 22 22 211122122(,)32(),34.,.fHom FFabbcf XabcabcdabXFcdfEEEE定义为：其中，求 在基下的矩阵第100页/共353页10212121212( ,):,;:,( ),.snsnfHom V UVUAVXfAX 若在基偶下的矩阵是在的坐标是则在基下的坐标是第101页/共353页103在选定基偶：设)

25、,(UVHomf ;,:21sVnU,:21。下的矩阵是A在新的基偶则fPss),(),(2121Qnn),(),(2121下的矩阵是APQB112,( , ),sfHom V VAf 特别是 若在基下的矩阵是则 在新的基Pss),(),(2121下的矩阵是.1APPB第102页/共353页10433322123: ( ( )( ),( ) ( )13,( )1,( )12.fF xF xf p xp xp xF xp xxxpxx p xxx 求线性变换在基下的矩阵第103页/共353页105下，则在基设下的矩阵分别是的基在假设ssFkBAVVVHomgf,),(,2121;. 1kAkf的

26、矩阵是;. 2BAgf 的矩阵是;. 3ABfg的矩阵是。的矩阵是可逆，并且，矩阵可逆11. 4AfAf对线性映射的矩阵有类似的性质。第104页/共353页106(.11.,)fHom V U假设定理则;)(UfRf是满射 .)(fKf是单射第105页/共353页107即矩阵是下的在基偶若,:;,:),(2121AUVUVHomfnsAfffns),()(,),(),(2121)(),(),()(21sfffLVf由于).()(dimArfR第106页/共353页10812121212( ,):,;:,( ),.nsnsfHom V UVUAVXfAX 若在基偶下的矩阵是在的坐标是则在基下的坐

27、标是;)(AXfK因此，1212,( )n rjjn rXXXAXXVK f 从而，若是的基础解系，是以为坐标的 中的向量，则是的基。dim( )( ).K fnr A第107页/共353页109则假设).,(UVHomf VfKfRdim)(dim)(dim第108页/共353页110则设推论).,(,dim:VVHomfV是满射是单射可逆fff注：对无限维空间，推论不成立。第109页/共353页1112 22 2(,),()( )( )fHom FFababbcXf XcdcddaR fK f设定义为：对求及的一组基及维数。第110页/共353页112( , ),.,( ),fHom V

28、V WVWfWWf 设若有则称是 的不变子空间。的不变子空间。均是则设例fFKfRVVHomf)(),().,(.第111页/共353页113第112页/共353页114第113页/共353页1152( , ),.fHom V VffIOfVOO设且证明：在 的任意基下的矩阵均相似于第114页/共353页116第115页/共353页117第116页/共353页118第117页/共353页119第118页/共353页120内积空间、等距变换内积空间、等距变换第119页/共353页121 ,1.,0;2.,;3.,;4., VFVVVV kFkkFRVFCV 定义：假设 是数域 上的线性空间， 在

29、 上定义了一个二元函数若则称是的。定义了内积的线性空内积内积空间欧基里德空间称为。当时称 是，当时称间是酉空间。第120页/共353页122.,. 1TnRV.,. 2AtrBBARVTnn.)()()(),(,. 3113dxxgxfxgxfxRV.,. 4HnCV第121页/共353页123;,. 1;,. 2kk;,. 31111jisitjjisitjjjiilklk0,. 4V对任意第122页/共353页124的坐标是的基，是设VVn,21jininjjiyx,11则,),(,),(2121TnTnyyyYxxxXYAXT12(,),ijn nnAAV 其中，称 是度在基下的量矩阵。

30、;,TAARF则若HAACF则若,第123页/共353页125的模（长度）定义为定义：设,V,是单位向量。，则称若1性质：；且0, 0,. 1V;. 2kk.1,是单位向量则故若第124页/共353页126,V线性相关。，而且，等号成立第125页/共353页127,V定义：向量 ， 间的距离定义为)( ，d：三角不等式的距离形式),(),(),(,dddV第126页/共353页128定义：若向量 ， 的内积为零，则称 ， 是正交的。记222，则勾股定理：若第127页/共353页129 定义： 由两两正交的非零向量组成的向量组。正交向量组称为 由两两正交的单位向量组成的向量组称标准正交向量组为。

31、 作为正交向量组的基称为是。正交基 作为标准正交向量组的基称为是。标准正交基第128页/共353页130XYYXVVHnn,2121则，的坐标是下在的标准正交基，是设nCYX,第129页/共353页131是线性无关的。设Vs,21正交化：:令11111111111132222333111122211,ssssssss单位化：siiii, 2 , 11第130页/共353页132121225VV假设 在基 ，下的度量矩阵是。求 的一组标准正交基。第131页/共353页133311 ( ), ( )( ) ( ).VR xf x g xf x g x dxV在中定义内积：求 的一组标准正交基第13

32、2页/共353页134.HnAA AI定义： 阶复矩阵 称为是，若酉矩阵1HAAA命题： 是酉矩阵的标准正交基。的行（列）向量组是nCA第133页/共353页135,21的标准正交基是设VnUnn),(),(2121是酉矩阵。是标准正交基则，Un,21第134页/共353页136Schmidt正交化方法的应用正交化方法的应用第135页/共353页137使得的基，则有标准正交基是如果nnV,2121Tnn),(),(2121对角元均大于零。是上三角矩阵，且其主其中，T第136页/共353页138第137页/共353页139第138页/共353sssnsssnWVWV 假

33、设是 的子空间，是的标准正交基，则存在使得是的标准正交基。第139页/共353页141,.WVVWW 定义：设若，称。，称，对若2121221121,WWWWVWW12(,),.,3.sjWLVWj 则定：设理第140页/共353页142记定义：设,VW WVW| VW易证这是 的子空间，称的正交补空间是。,.4WVVWW：若则定理,.VWUWUUW而且，若且则.,WWVW则推论：若第141页/共353页143.:s nnsACf CC假设定义线性映射为：( ),nf xAxxC ？和问题：如何计算)()(AKAR第142页/共353页144第143页/共353页1451201 0121,10

34、12|.AWx AxW设求的一标准正交基。第144页/共353页146空间中点到直线的距离：PQ第145页/共353页147空间中向量到子空间的距离：V00第146页/共353页148使得求已知,.,WVVW),(min),(ddW,.6WVV定：假设理则),(min),(ddWWW（称 是 在 中的正投影）。第147页/共353页149中的正投影。在求假设中，已知在WLWR).,().2 , 1 , 2(),3 , 1, 2(),1, 2 , 1 (21213第148页/共353页150第149页/共353页151第150页/共353页152,s nACAxb设求线性方程组的最佳近似解。第1

35、51页/共353页153( , ).VfHomV V定义：设 是内积空间，若,)(),(ffV,f称 是等距变换。,;FRf若称 是正交变换,.FCf若是酉变换称第152页/共353页154定义为：是酉矩阵。设nnCCfA:nCxAxxf,)(第153页/共353页155( , ).1 .2 .3 .4 .VfHom V Vffff设 是内积空间，下述条件等价：（） 保持长度不变；（ ） 保持内积不变；（ ） 将标准正交基变为标准正交基；（ ） 在标准正交基下的矩阵是酉矩阵。第154页/共353页156( )f关于直线的反射关于直线的反射( )f第155页/共353页157欧氏空间中的反射欧氏

36、空间中的反射第156页/共353页158第157页/共353页15911第158页/共353页160第159页/共353页161第160页/共353页162第161页/共353页163第162页/共353页164第163页/共353页165第164页/共353页166第165页/共353页167,),(),(33TzyxXCCHomf定义为：zyxyxXf2)(的特征值、特征向量。求f第166页/共353页168第167页/共353页169,),(222222CXCCHomf定义为：XXf1111)(的特征值、特征向量。求f第168页/共353页170.,BIAICBAnn是相似的，则若注：多

37、项式。可定义线性变换的特征. 21. 定理的逆命题不成立。第169页/共353页171第170页/共353页172第171页/共353页173第172页/共353页174,ijn nAa定：设理2则nnnnnbbbbAI12211阶主子式）的（其中，jAbjj) 1(,11niiiab特别地，.) 1(Abnn第173页/共353页1751( ),.nijn niiiAaaAtr A定义：设称为 的，记为迹则的特征值为命题：若,)(21nnnijaA,)(1niiAtr.1iniA.),()(,BABtrAtrBA相似，则推论：若第174页/共353页176的特征值。求设AAbbbaaaHnn

38、.,2121第175页/共353页177( )( ),( )0.f xf AOAf x设是多项式。若则 的特征值均是的根2.01AAA例：已知证明：的特征值只能是 或 。第176页/共353页178,( ).( ).n nAFCIAC AO：则定理3设( , ),( )( ).fHom V VCfC fO：设是 的特征多项式，则定理4是上三角矩阵。使得存在酉矩阵引理：对AUUUCASchurHnn,第177页/共353页179.5343100AA求设32)(2C第178页/共353页180100122103112AA已知，求。2) 1)(1()(C第179页/共353页181.AA定义：矩阵

39、的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式称为 的最小多项式1( ), ( )( )| ( ).m xxAm xx性质 ：若分别是矩阵 的最小多项式、化零多项式，则式是唯一的：任意矩阵的最小多项性质2有相同的最小多项式。相似，则：如果矩阵性质BABA,3小多项式）定义：（线性变换的最第180页/共353页182000( ),( )( )|( ),()0()0m x C xAm xC xC mC设分别是矩阵 的最小多项式和特征多项式，则，并且，对。第181页/共353页183aaaaaaaaa11,01,式：求下列矩阵的最小多项第182页/共353页184的最小多项式。求设AAbbbaaaHnn

40、.,2121第183页/共353页185,),(222222CXCCHomf定义为：XXf1111)(的最小多项式。求f第184页/共353页186 对给定的线性空间上的线性变换，判断是否存在空间的一组基，使得其矩阵是对角阵。第185页/共353页1876n nAAn：矩阵 相似于对角阵有 个线性无关定理的特征向量。7：矩阵的属于不同特征值的特征向定理量线性无关。12121 ,211,211 12,2221 ,2,8,issiit iittsst sAA ：若是矩阵 的互不相同的特征值，是 的属于特征值 的线性无关的特征向量，则定理线性无关。第186页/共353页1889ffn： 可对角化有

41、个线性无关的定理特征向量。0:1f的属于不同特征值的特征向定理量线性无关。12121 ,211,211 12,2221 ,2,1,1,issiit iittsst sff ：若是线性变换 的互不相同的特征值，是 的属于特征值 的线性无关的特征向量，则定理线性无关。( , ).VnfHom V V假设 是 维线性空间，第187页/共353页1890( , ),fHom V Vf定义：设是 的特征值。称00|( )VVf的特征子空间。的相应于特征值为0f第188页/共353页190第189页/共353页191,),(222222CXCCHomf定义为：XXf1111)(。相应的特征子空间的基的特征

42、值及求 f第190页/共353页1921()( )()dim.iisriiifHom VVCVr 设，的特征多项式是，则第191页/共353页1931( , )( )()isriifHom V VC 设的特征多项式是，则下述条件是等价的：是可对角化的；f . 1;dim. 2irVii，sVVVV21. 3第192页/共353页194,),(222222CXCCHomf定义为：XXf2211)(; .2相应的特征子空间的基的特征值及求f下的矩阵；在基求22122111,.1EEEEf2 23.Cf问：是否存在的基，使得 的矩阵为对角阵？为什么？第193页/共353页195的最小多项式无重根。相

43、似于对角阵矩阵AAnn121,()(1) .issiinMM MMOr Msn引理：若 阶矩阵满足则第194页/共353页196相似于对角阵。则满足阶矩阵若AAAAn,2第195页/共353页197.3.)5(,1032IArIArIAACAnn求行列式并且，满足已知第196页/共353页198问题：如果给定的矩阵不与任何对角阵相似，如何找一最简单的矩阵与之相似。等价的问题：若线性空间上给定的线性变换不可对角化，如何找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。第197页/共353页19911k kJoaaardan定义：形如的矩阵称为块。12isJJJJJordanJoaJrd n形如（其中

44、， 均是块）的矩阵称为形矩阵。AJordanJJA若矩阵 与形矩阵 相似，则称 是 的标准形。第198页/共353页2001000020001200001,000100002,000100012,200120001,200020011,200120011,200020001?形矩阵下列矩阵是否为Jordan第199页/共353页201标准形。的也是的一个排列，则是其中，标准形，而的是矩阵若JordanAKJJJJJJJJJKJordanAJJJJsiiiiiisss,21212121的。标准形是存在的、唯一矩阵的块的次序外，除了相差JordanJordan第200页/共353页2020001.

45、, ()() ;kkAJk r AIr JI若 与 相似，是数，则对一切正整数nknkNrNrNnnkk若若则矩阵若, 0, 1)()(,01010. 21等于矩阵，则是若kkIJrIJrJordanJ)()(. 3010块的块数。为主对角元的的，以中阶数JordankJ0第201页/共353页20300AAJordankJordan设是矩阵 的特征值。则 的标准形中以为主对角元的 阶块的块数为：)()(2)(11kkkBrBrBrIAB0其中，第202页/共353页20424( )(1) (2) ,(2 )4,ACr AIAJordan已知矩阵 的特征多项式是且求 的标准形。第203页/共3

46、53页205242( )(1) (2) ,(2 )4, (2 )3,ACr AIr AIAJordan已知矩阵 的特征多项式是且求 的标准形。第204页/共353页206,411301621AJordan标准形：求下列矩阵的,786675161613B.) 1()(3 xxCA2) 1)(3()(xxxCB第205页/共353页207,16,AOMOBM A B：若则矩阵的最小多项式间定理有关系：).(),()(BAMmmm第206页/共353页2081( )() ,7.1isriiiiAm xxAJordanJordanr：假设矩阵 的最小多项式是则 的标准形中以 为主对角元的块的最高阶数为

47、定理的最小多项式无重根。相似于对角阵特别地，AA 第207页/共353页209形。的可能的求项式分别是的特征多项式和最小多已知JordanAxxxmxxxCA252)2)(1()(,)2() 1()(第208页/共353页21042( )( )AC xm xxAAJordan已知 的特征多项式和最小多项式均是求 及的标准形。第209页/共353页2111122,.HnnababAabAJordan设求 的标准形。第210页/共353页2122 ( )( )1,.tr Ar AAA已知证明：第211页/共353页213,126103 ,114PJordanA 求相似变换矩阵将下列矩阵变成其标准形

48、：,786675161613B.) 1()(3 xxCA2) 1)(3()(xxxCB第212页/共353页214第213页/共353页215第214页/共353页216第215页/共353页217第216页/共353页218第217页/共353页219第218页/共353页220第219页/共353页221第220页/共353页222 .nnijaA设的谱；的特征值的集合为称AA,( )AAA谱半径称 的特征值的模的最大值为 的记为。iniiiiiiaaaaR111记：|,iiiiCzzAiaR称第 个之为 的盖尔园；1niiGCA称为 的盖尔园系。第221页/共353页223的盖尔园系中。

49、的特征值必定在矩阵AA第222页/共353页224.61104A设中没有特征值。中有两个特征值，但21CC第223页/共353页225,n nACAnknkk定义：设在 的 个盖尔园中， 有 个园构成一连通区域，但与 其余个园不相交，则称这 个连通区域为一 区。第224页/共353页226210140012A01.20040.500.51B第225页/共353页227个特征值。的区中有且仅有的盖尔园的kAkAAnAn推论：如果 的 个盖尔园互不相交，则 有 个互不相等的特征值。第226页/共353页2285 . 001. 002. 014. 09 . 001. 011. 002. 01A区。的

50、盖尔园均是1TA第227页/共353页229121111,max,max,ijn nnnijiji nj njiAaaa ：定22设理.,)(21A则，第228页/共353页2305 . 001. 002. 014. 09 . 001. 011. 002. 01A第229页/共353页231. 6)(.211123321AA证明：设第230页/共353页232第231页/共353页233第232页/共353页234第233页/共353页235第234页/共353页236第235页/共353页237数定义一复变量、复值函设,nnCA,)(1,jinjiijHxxaAXXXfTnxxxX),(21

51、其中，可以证明：AARxxxfCxHnj),(,21第236页/共353页238,()HHermiteHHermiteAAAf X矩阵阵若称 是，简称。这时的称为是二次型。第237页/共353页239第238页/共353页240: 1 H阵的特征值均定理是实数。2:H阵的属于不同特征值的 特征向量相定理互正交。:A3,HHUU AU若 是 阵，则一定存在酉矩阵使得定理是对角阵。第239页/共353页241.,n nHHACA AAAA定义：设若则称 是正规阵。阵均是正规阵。阵，酉矩阵，反例：HH第240页/共353页242AA若 既是上三角的，又是正规的，则 必是对角阵。定理4：第241页/共

52、353页243酉相似于对角阵。是正规阵ACAnn第242页/共353页244n nACAn是正规阵.有 个两两正交的单位特征向量.第243页/共353页245,A B证明：正规阵相似的充要条件 是它们有相同的特征多项式。第244页/共353页24621.012.AAAAAAO设 是正规阵。证明：的特征值是 或 ；是幂零阵第245页/共353页247可以证明：,.nHHA BHXCXAXX BXAB若都是 阵，且对则(), ( ),()( ),HHf XXAX g YY BY CXCYf Xg Y设是可逆矩阵，若在下，.ACCBH则，第246页/共353页248,HA BHCBC AC定义：设是

53、 阵，若有可逆阵 使得，则称可以证明：共轭合同关系满足： 反身性，对称性，传递性。AB共轭与 是合同的。第247页/共353页249定义：第248页/共353页250第249页/共353页251第250页/共353页252Hermite二次型的标准形中的正项个数、负项个数与所用的可逆线性变换无关。标准形中的正项个数称为其 负项个数称为其正惯性指数，负惯性指数。第251页/共353页253矩阵形式：1122121212,nnnnHAabababa aab bbA 若 阵 与共轭合同，则与中正、负项个数相同。分别称为矩阵 的正、负惯性指数。第252页/共353页254第253页/共353页255,

54、n nHermiteA B：矩阵定理6共轭合同数。有相同的正、负惯性指BA,第254页/共353页256nHermite问：按共轭合同关系， 阶矩阵共可分成多少个共轭合同类？第255页/共353页25700(),()0,HAHf XXAXXf XfAH定义：设 是 阵， 若对， 则称 是， 是正定的正定的 阵。第256页/共353页258; 0,. 121indDdddD是正定的则设正定；正定共轭合同，则阵若BABAH,. 2。正定共轭合同，则与阵若0. 321indAdddDAH第257页/共353页259 An n Hermite 设是阵，则下述条件等价：零。的各顺序主子式均大于使得存在可

55、逆阵共轭合同；与的特征值均大于零；是正定的；APPAPIAAAH. 5;. 4. 3. 2. 1第258页/共353页2601HnkAIk假设 是 维列向量，且。问：当 取何值时，矩阵是正定的。第259页/共353页2612.AHermiteHermiteSAS设 是正定的矩阵，证明：存在正定的矩阵 使得第260页/共353页262. IAA是正定的，则证明：若酉矩阵第261页/共353页263000000(),()0,()0,()0,HAHf XXAXXf XfAHXf XfAHXf XfAH定义：设 是 阵， 若对，则称 是的， 是的 阵； 若对，则称 是的， 是的 阵； 若对，则称负定负

56、定半正定半正定半负定半负定是的， 是的 阵。第262页/共353页264; 0,. 121indDdddD是半正定的则设半正定；半正定共轭合同，则阵若BABAH,. 2。半正定共轭合同，则与阵若0. 321indAdddDAH第263页/共353页265 An n Hermite 设是阵，则下述条件等价：于零。的各主子式均大于或等使得存在矩阵共轭合同；与零；的特征值均大于或等于是半正定的；APPAPOIAAAHr. 5;. 4. 3. 2. 1第264页/共353页266矩阵。定矩阵的和一定是正定证明：正定矩阵与半正第265页/共353页267第266页/共353页268第267页/共353页

57、269第268页/共353页270第269页/共353页271第270页/共353页272,.nHAnHXCXAXR设 是 阶 阵，则于是，可以定义一复变量的实值函数nHHCXXXAXXXR，)(Rayl iAe gh称此函数为 的商。第271页/共353页273则的特征值，阵假设,21nnnACAH1min()max()nnX CnX CR XR X第272页/共353页274|max1.nHHX CAXAXXX假设 是酉矩阵，证明： 第273页/共353页27512121211,( ,),( ,),n nnniiiiinHACAx xxSL x xxTL x xx假设 阵， 的特征值相应的

58、标准正交特征向量组是令 则1min()max()iiix Sx TR XR X 第274页/共353页27612dimdim1,max min( )minmax( )n nnix SS iS n ix SHACR xR x 假设 阵的特征值是则第275页/共353页277第276页/共353页278第277页/共353页279 VFV定义：设 是数域 上的线性空间，是定义在 上的实值函数。 若 满足：; 0)(,. 1V);()(,. 2kkFkV)()()(,. 3VV则称 是定义在 上的，定义了范数的线性空间称为范数赋范线是性空间。第278页/共353页2801.VV例 设 是内积空间。则

59、 上的内积下 的长度就是一范数。上的范数常记为因此，任意线性空间V第279页/共353页281nTnCxxxX),(21;1 . 111niixX范数：;)()(2 . 21212122niHiXXxX范数：.max. 31inixX范数：第280页/共353页282. 1;)(. 111pxXpppniip范数：2.nnACAXAXC如果是上的一种范数， 是一可逆矩阵，则也是上的一种范数。第281页/共353页28312123.,nnnnCnCVVCVVXX 设 是复数域上的线性空间，是 的基， 是上的范数。定义 上的范数： 假设在基下的坐标是规定 第282页/共353页284 0,iVVV

60、假设是线性空间 上的一个范数，是 上的一个向量序列，若0lim0,ii 00lim.iii则称，趋记向于为在范数下第283页/共353页2851212,VkkV kk定义：对线性空间 上的两个范数及，若有正实数使得 则称这两个范数是可比较的。V：有限维线性空间 上任意两个范数均是可定理1比较的。第284页/共353页286 nmijaAp范数：矩阵;,1jiijmaA2/12/12/12,2HHjiijmtrAAAtrAaA ijjimaA,max第285页/共353页2872,mFFroben uAsAi又记为称为范数。.,FFUAVAVU是酉矩阵，则若第286页/共353页288,s mm