Lesbesgue积分的定义及性质

1、第五章 积分理论iniiEmEcdxxL1)()()( xiniEE1)()(1xcxiEnii 设 是 ( Ei可测且两两不交）上非负简单函数，定义 为 在E上的Lebesgue积分01001)()(dxxDLE有QxQxxD1 ,011 ,00)(例：对Dirichlet函数0 1非负简单函数的积分1)qERxE定理设为可测集，（ 为 上的一个非负简单函数，则1( )( );EEccx dxcx dx（）对于任意非负实数 ，(2)()()();ABABABEx dxx dxx dx设和是的 两 个 不 相 交 的 可 测 子 集 ， 则11211(3)2.lim( )( ).nnnnnnn

2、AEnAEAAAAAEx dxx dx 设是的 一 列 可 测 子 集 ， 满 足1.则11( ),()ikkiEiijiic Xx EE EEij 证设1(2)( )()kiiABicx dxcm ABE11()()kkiiiiiic m AEc m BE( )( )ABx dxx dx11(1)( )( )kkiiiiEEiicx dxcc mEcc mEcx dx1(3)lim( )lim()nkiniAnnix dxc m AE1( ).kiiEic mEx dx)( )qERxxE定理2设为可测集，（ 和为 上的一个非负简单函数，则(2)( )( )( )( )( , ,0);EEE

3、ax dx bx dxaxbx dx a bR a b(1)( )( )( )( );EEEx dxx dxxxdx11( ),( ),ijkliEjFijc Xxd Xx证设11( ( )( )() ()klijijEijxx dxcdm EF1111()()kllkiijjijijjicm EFdm EF 11kliijjijc mEd mF( )( )EEx dxx dx010nkkiinnikinimEmEnkimE若对每个 ，则，从而得到矛盾，所以存在 ，使。，所以时，有证明：当1 ,011 ,0111)()()( 1 , 0kdxxdxxmEkxxiiiEniEniiniEni(

4、)( )sup( )( ): ( )0( )( )EELf x dxLx dxxExExf x为 上的简单函数且时，为f(x)在E上的Lebesgue积分设f(x)为E上非负可测函数，定义| )(| )(|21xx)(lim)(xxfnn)(xn若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数 的极限 ，而且还可办到0( ),( ),( )EEf x dxf x dxf xE 显然若称在 上勒贝格可积,( )( )( )( )( )AAAEEAf xAf xAfAf x dxf x Xx dx设则在 上的勒贝格积分定义为在 的限制在 的勒贝格积分,则( ),( ). .;Ef x

5、dxf xa eE (3)若则0于零集上的任何函数的积分为0( )0,( )0 . .;Ef x dxf xaeE(2)若则于( )( )( );ABABABEf x dxf x dxf x dx(4)设 和 为 的两个互不相交的可测子集，则1证明（）由定义可得；2, n（ ）对于任意自然数令1,nAEfn1,( )0,nnnxAxnxE A10( )( )0nnEEf x dxx dxmAn10,0nnnmAE fA故而00,( )0 . .m ff xaeE故因而于3,EE fn （ ）令对于任一自然数令,( )0,nn xExxE E( )( )0nEEf x dxx dxnmE 1(

6、)0Ef x dxmEn0,nmE由 的任意性，则因而0( ). .f xaeE 于4( )0( )( )xABxABxf x（ ）设是上任一满足条件时的简单函数( )( )( )A BABx dxx dxx dx则( )( )ABf x dxf x dx( )( )( )ABABf x dxf x dxf x dx( )( )A BA Bf x dxx dx( )( )ABx dxx dx()()()ABABfx dxfx dxfx dx()()()ABABfx dxfx dxfx dxEfdxxfnEnn于，则若00)(lim0)()()(nfEnfEnEnfmEdxxfdxxfdxxfn

7、n有证明：, 00lim0)(limnnnEnfmEdxxf，所以又用到了积分的可加性Efn于从而0 1( )( ) . .( )( );( )( )EEfxg x a eEfx dxg x dxg xELfxEL（ ） 若于， 则若在上可 积 ， 则也 在上可 积 ；2( )( )qERf xg xE定理设为可测集，和都是 上的非负可测函数，则( )( ) . .( )( );( )0 . .,( )0EEEf xg x a eEf x dxg x dxf xa eEf x dx（2）若于 ，则若于则；12,EEfgEEfg证令1212122,0E EEEEEEE mE 则都是 的可测子集，

8、11( )( ),( )( )EEEEf x dxf x dxg x dxg x dx110)( )ExExf xx对于 上任一满足条件时（的非负简单函数（1( )( ),xExg x显然时，0故11( )( )EEx dxg x dx11( )( )( )( )EEEEf x dxg x dxf x dxg x dx因而，由此得EnnEnndxxfdxxf)(lim)(lim则只要证明大于等于，但一般而言fn(x)不会跑到f(x)上方,所以我们有必要先把f(x)下移一点。 f(x)cf(x) fn(x)()(lim,)()()()(321xfxfxfxfxfxfnnn且若fn(x)为E上非负

9、可测函数列，说明：小于等于显然成立，因为fn(x)总在f(x)的下方,EEndxxdxxn)()(lim引理1：设En是递增集列， 是Rn上的非负可测简单函数，则)(,1xEEnndxxfdxxfdxxfnnEEnEn)(lim)()(lim引理2：设f(x)是E上的非负可测函数，A是E中可测子集，则EAAdxxxfdxxf)()()(证明：由条件知fn(x)为E上非负可测函数递增列，, 3 , 2 , 1,)()(1ndxxfdxxfEnEn有定义，又dxxfnE n)(lim所以Enndxxf)(lim故有定义，且从函数列的渐升性知道下证大于等于号)()(|xcxfExEnn记( )sup

10、( ): ( )0( )( )EEf x dxx dxxExf x为 上的简单函数，)()(xfx )(x证明：令c满足0c1， 是Rn上的非负可测简单函数，且EEEnnnn1lim且则En是递增集列，EEndxxcdxxcn)()(lim由引理1知 c(x) f(x) fn(x)(x)EEnndxxcdxxf)()(lim得到dxxdxxfcEEnn)()(lim, 1则有令dxxfdxxfEEnn)()(lim所以)()(|xcxfExEnndxxfdxxfEnEn)()(lim再由的积分定义知,)()()()()()(nnnnEEEnEEnEndxxcdxxcdxxfdxxxfdxxf于

11、是从（应用引理2） f(x)(x)c(x) fn(x)4( )( ),0,( )( )( )( ).qEEEERf xg xEa bR a baf xbg x dx af x dx bg x dx定理设为可测集，和都是 上的非负可测函数，且则,0,.qERfgELa b R a bafbgE L推论设为可测集， 和 都是 上的非负 可积函数，且则 也在 上 可积( )( )kkxx证设，是非负上升可测简单函数列lim( )( ),lim( )( ),kkkkxf xxg xxE ( )( )kkaxbx则仍是非负上升简单函数列，且有lim( )( )( )( ),kkkaxbxaf xbg x

12、xE 由简单函数积分的线性性质，有( )( )( )( )kkkkEEEaxbx dxax dxbx dxkLevi 令，由定理即得。然后利用即可)()()()()(lim11xgxfxgxfxgnnnnnniin，且为非负可测函数递增列则证明：令11)(iiiimAAm 11)()(nnEnEndxxfdxxf若fn(x)为E上非负可测函数列， 则对比:积分的线性(有限个函数作和)dxxfdxxfnEnnnE)()(limlim1( )inf( ),( ),( )( )( )limlimnnnnnnEEnngxfxfxgxfx dxgx dx 证明：令，则为非负可测函数递增列，且若fn(x)

13、为E上非负可测函数列，则)(infsup)(limxfxfmnmnnnlim( )lim( )nnEEnngx dxfx dx积分的几何意义：);()()(fEmGdxxfLE)(0 ,: ),();(xfyExyxfEGdxxfLE)()(注：当 有限时，称f(x)在E上 L可积dxxfLdxxfLEE)()(,)()(（要求 不同时为 ）为f(x)在E上的Lebesgue积分（有积分）dxxfLdxxfLdxxfLEEE)()()()()()( 设f(x)为E上的可测函数，定义()L EE用表示上可积函数的全体。1）零集上的任何函数的积分为0( )( )0,( ). .f xL EmE f

14、f xaeE 若，则即于 （2）3( ),( )( )( )EABf xEfEAEABABEABf x dxf x dxf x dx ）设在 上积分确定，则 在 上任一可测子集 上积分也确定，又若这里 和 都是 的子集且，则4)( )( )( ) . .( )( ).EEf xEf xg x aeEgEf x dxg x dx设在 上积分确定且于 ，则 也在上积分确定且5)( )( ) . .( )( ).( ). .( ).EEEfgEf xg x a eEf x dxg x dxmEbf xBa eEbmEf x dxBmE 设 和 在 上积分确定且于 ，则特别地若且于 ，则6)( )(

15、)( ).EEf xELfELf x dxf x dx设在 上 可积，则也在 上 可积,且7)( )( )( ) . .( )( )( ).EEEf xEgELf xg x a eEfELf x dxf x dxg x dx设是 上可测函数， 是 上非负 可积函数,且于 ，则 也在 上 可积,且(2)( ),EEfL Ef dxf dx 由于，故000( ). .,0( ). .fxa eEfxa eE 所以于于( ). .fxffa eE 因 而于3fE（ ）由于 在 上积分确定，所以0( )0( )EEfx dxfx dx 或0( )Efx dxEA 不妨设，对于任一0( )( ),AEf

16、x dxfx dxfA 因而 在 上积分确定,EAB EA BAB 又 若且， 则()()()EEEfxd xfxd xfxd x( )( )( )( )ABABfx dxfx dxfx dxfx dx( )( ) ( )( )AABBfx dxfx dxfx dxfx dx( )( )ABf x dxf x dx(4),EEfEf dxf dx由于 在 上积分确定，故中至少有一个有限()().fxgxa eE由 于于， 故( )( ) . .( )( ) . .fxgx aeEfxgx aeE于 且于 ，则( )( ),( )( )EEEEfx dxgx dxfx dxgx dx( ) ,(

17、 )EEg x dxg x dxgE所以中至少有一个有限，因而 在 上积分确定()()()EEEgx d xgx d xgx d x( )( )EEfx dxfx dx()Efxd x(5)( )( ) . .f xg x aeE由于于 ，故. . .fg aeEfg aeE于 且于fgE又由于 和 在 上积分确定( )( )( )EEEf x dxfx dxfx dx( )( )( )EEEgx dxgx dxg x dx(6)( )( ),( ),fL EfM EfffM E因为，故则且0( ),0( )EEfx dxfx dx ( )( )( )EEEf x dxfx dxfx dx f

18、EL由此可知在上非负 可积，且( )( )( )EEEf x dxfx dxfx dx( )( )( ) ( )EEEfx dxfx dxf xx dx(7)0( )( ),0( )( )fxg xfxg x显然,gELffEL由于 在 上非负 可积，则都在 上非负 可积fEL故 都在 上 可积,且( )( )( )EEEf x dxf x dxg x dx21,( )( ).2)( ( )( )( )( ).3),( )( )( )( ).qEEEEEEEEERfgELRfELf x dxf x dxfgELf xg x dxf x dxg x dxRfgELf xg x dxf x dxg

19、 x dx 定理设为可测集， 和 都是 上的 可积函数，则）对于任意的在 上 可积且在 上的 可积,且对于任意的在 上的 可积,且(1)0若，则结论显然成立.0,xE若，则对任意的有() ( ),() ( )fxffxffEL由于 在 上 可积，0()0()EEEEEEfdxf dxf dxfdxf dxf dx fEL故在上可 积 ， 且()( )() ( )() ( )EEEfx dxfx dxfx dx( )( )EEfx dxfx dx( )( )( )EEEfx dxfx dxf x dx0,(),()ffff 若，则注意到() ( )( ),() ( )( )fxfxfxfx故，所

20、以0() ( )( )( )EEEfx dxfx dxfx dx0() ( )( )( )EEEfx dxfx dxfx dxfEL故在上可 积 ， 且()( )() ( )() ( )EEEfx dxfx dxfx dx( )( )( )( )( )EEEEEfx dxfx dxfx dxfx dxf x dx(2)fgELffggEL由于 和 都在 上 可积，故 ， ，都在 上 可积,所以fgfgEL（），（）都在 上 可积0() ( )max( )( ),0)fgxfxg xmax( )( ),0)( )( )fxgxfxgx0() ()m ax()(), 0)fgxfxgxmax( )

21、( ),0)( )( )fxgxfxgx()()fgfgELfgEL又由于和都在 上非负 可积，因而在 上 可积( )( )( ), ( )( )( )f xfxfx g xgxgx由于( )( )() ( )() ( ),f xg xfgxfgx故() ( )() ( )( )( )( )( )fgxfgxfxfxgxgx() ( )( )( )() ( )( )( )fgxfxgxfgxfxgx所以() ( )( )( )() ( )( )( )EEEEEEfgxdxf xdxg xdxfgxdxf xdxg xdx() ( )() ( )( )( )( )( )EEEEEEfgx dxf

22、gx dxfx dxfx dxg x dxg x dx( ( )( )( )( ).EEEf xg x dxf x dxg x dx说明：若|f(x)|M,则只要取=/M即可，所以我们要把f(x)转化为有界函数。, 0, 0,时当meEe|( )|( )|eef x dxf x dx 若f(x)在E上可积，则及任何可测子集有即：当积分区域很小时，积分值也很小.MeeeeMMdxdxfdxfdxfmeEe222)|(|时，且，则当令|)(|)(0 xfx 且上简单函数，为ExdxxdxxfEE)(:)(sup| )(|证明：由于f(x)可积，故|f(x)|也可积故对任意，存在E上的简单函数(x)

23、 ，22( )|( )|( ),(|( )|( )EEEEx dxf x dxx dxf xx dx故有且|,)(|)(0 xfx 使在E上由于(x)为简单函数，故存在M，使得|(x)|MnGnPdxxfdxxf)()(10)(1 ,010)()(nnGPdxxfdxxf113100( )23nnnn证明：显然f(x)为E上可测函数（可测函数列的极限函数是可测函数）)()(limxfxfnn设fn(x)为E上可测函数列， a.e.于E，且存在非负可积函数F(x)，使得|fn(x)| F(x) a.e.于E，且由|fn(x)| F(x) a.e.于E，知|f(x)| F(x) a.e.于E，所以fn(x)， f(x)都为E上可积函数EnnEnndxxfdxxf)(lim)(lim则f(x)在E上可积且dxxfxFdxxfxFnEnnnE)()()()(limlim由|fn(x)| F(x) a.e.于E，知F(x)fn(x) 0 a.e.于E，由知又F(x)可积，从而dxxfdxxfnEnE)()(limdxxfdxxfnEnE)()(limdxxfdxxfdxxfEnnEEnn)()()(limlim从而EnnEnndxxfdxxf)(lim)(lim故1220lim( )sin01nnxRnxdxn x证明: