专题08,,立体几何多选题,（解析版）

1、本文格式为word版，下载可任意编辑专题08,立体几何多选题,（解析版） 第一篇 备战新高考狂练新题型之高三数学提升捷径 专题 08 立体几何多选题 典 型 母 题 题源 2021荆门市龙泉中学高三月考（理） 试题 内容 正方体1 1 1 1abcd abc d - 的棱长为 2, , , e f g 分别为1 1, , bc cc bb 的中点,则（ ） a直线1d d 与直线 af 垂直 b直线1ag 与平面 aef 平行 c平面 aef 截正方体所得的截面面积为92 d点 c 与点 g 到平面 aef 的距离相等 试题 解析 a若1d d af ，又由于1d d ae 且 aeaf a

2、= ，所以1dd 平面 aef ， 所以1dd ef ，所以1cc ef ，明显不成立，故结论错误； b如图所示，取1 1bc 的中点 q ，连接1, aq gq ， 由条件可知： / / gq ef ，1/ / aq ae ，且1, cq aq q ef ae e = = ，所以平面1/ / agq 平面 aef ， 又由于1ag 平面1agq ，所以1/ / ag 平面 aef ，故结论正确； c如图所示，连接1 1, d f d a ，延长1, d f ae 交于点 s ， 由于 , e f 为1, c c bc 的中点，所以1/ / ef ad ，所以1, , , a e f d 四点

3、共面， 所以截面即为梯形1aefd ，又由于2 214 2 2 5 ds as = = + =，12 2 ad= ， 所以( )1221 2 22 2 2 5 62 2ad ss = - = ，所以13 9=6 =4 2aefds 梯形，故结论正确； d记点 c 与点 g 到平面 aef 的距离分别为1 2, h h ， 由于11 1 1 1 123 3 2 3c aef aef a cefv s h v- -= = = = ， 又由于21 1 1 2 223 3 2 3g aef aef a gefv s h v- -= = = = ， 所以1 2h h ，故结论错误. 故选：bc. 试题

4、点评 本题考查空间立体几何的直线与直线垂直、直线与平面平行的推断及截面面积、点到平面的距离、体积有关的计算的综合应用，难度一般. 方法 归纳 解决立体几何有关的选择题，一般就是直线、平面之间的位置关系，面积、体积、距离、线线角、线面角的求解等。解决这类题要观看图形的特点，结合所学的几何定理、公式解决问题，尤其在求求线线角、面面角时，能建立空间直角坐标系，建立坐标系，用空间向量求解。解决立体几何选择题的方法一般有： 特值检验法，顺推破解法， 正难则反法，逐项验证法，估算法等。 【针对训练】 1.已知菱形 abcd 中， 60 bad = ， ac 与 bd 相交于点 o ，将 abd 沿 bd

5、折起，使顶点 a 至点 m ，在折起的过程中，下列结论正确的是( ) a bd cm b存在一个位置，使 cdm v 为等边三角形 c dm 与 bc 不行能垂直 d直线 dm 与平面 bcd 所成的角的最大值为 60 【答案】abd 【解析】a 选项，由于菱形 abcd 中， ac 与 bd 相交于点 o ，所以 ao bd ， co bd ； 将 abd 沿 bd 折起，使顶点 a 至点 m ，折起过程中， ao 始终与 bd 垂直，因此 mo bd ， 又 mo co ，由线面垂直的判定定理，可得： bd 平面 cmo ，因此 bd cm ，故 a 正确； b 选项，由于折起的过程中，

6、ad 边长度不变，因此 md cd = ；若 cdm v 为等边三角形，则 cm cd = ；设菱形 abcd 的边长为 2 ，由于 60 bad = ，则sin60 3 ao ab = =，即3 ao mo = =，又2 cm cd = = ，所以3 3 4 1cos2 3 3moc+ - = =，即二面角 m bd c - - 的余弦值为13时， cdm v 为等边三角形；故 b 正确； c 选项， dm om od = - ， bc oc ob = - ，由 a 选项知， mobd ， co bd ， 所以 0 om ob od oc = = ，因此 ( ) ( ) dm bc om o

7、d oc ob om oc od ob = - - = - ， 同 b 选项，设菱形 abcd 的边长为 2 ，易得 3 oc om = = ， 1 ob od = = ， 所以 3cos 1 dm bc moc = + ，明显当1cos3moc =- 时，0 dm bc =，即 dm bc ；故 c 错误； d 选项，同 bc 选项，设菱形 abcd 的边长为 2 ，则 3 om = ， 1 od= ， 2 md= ，由几何体直观图可知，当 om 平面 bcd ，直线 dm 与平面 bcd 所成的角最大，为 mdo ，易知 60 mdo = . 故选：abd. 2.如图，在正方体1 1 1

8、1abcd abc d - 中，点 p 在线段1bc 上运动，则 （ ） a直线1bd 平面1 1ac d b三棱锥1 1p ac d - 的体积为定值 c异面直线 ap 与1a d 所成角的取值范围是 45 ,90 d直线1c p 与平面1 1ac d 所成角的正弦值的最大值为63 【答案】abd 【解析】对于选项 a,连接1 1b d ,由正方体可得1 1 1 1ac bd ,且1bb 平面1 1 1 1d c b a ,则1 1 1bb ac ,所以1 1ac 平面1 1bd b ,故1 1 1ac bd ；同理,连接1ad ,易证得1 1ad bd ,则1bd 平面1 1ac d ,故

9、 a 正确； 对于选项 b,1 1 1 1p ac d c a pdv v- -=,由于点 p 在线段1bc 上运动,所以1112a dps ad ab = ,面积为定值,且1c 到平面1 1apd 的距离即为1c 到平面1 1abcd 的距离,也为定值,故体积为定值,故 b 正确； 对于选项 c,当点 p 与线段1bc 的端点重合时, ap 与1a d 所成角取得最小值为 60 ,故 c 错误； 对于选项 d,由于直线1bd 平面1 1ac d ,所以若直线1c p 与平面1 1ac d 所成角的正弦值最大,则直线1c p 与直线1bd 所成角的余弦值最大,则 p 运动到1bc 中点处,即所

10、成角为1 1c bd ,设棱长为 1,在1 1rt dc b 中,11 112 6cos3 3c bc bdbd = = = ,故 d 正确 故选：abd 3.已知两条直线 l ， m 及三个平面 a ， b ， g ，则 a b 的充分条件是（ ） a l a ， lb b la ， mb ， lm c ag ， b g d l a ， m b ， l m 【答案】 abc 【解析】由面面垂直定理可以推断 , , a b c 正确， 对于选项 d ， l a ， m b ， l m ，也可以得到 a b ，故 d 错. 故选： abc . 4.如图,在棱长均相等的四棱锥 p abcd - 中

11、, o 为底面正方形的中心, m , n 分别为侧棱 pa , pb 的中点,有下列结论正确的有：( ) a pd 平面 omn b平面 pcd 平面 omn c直线 pd 与直线 mn 所成角的大小为 90 d on pb 【答案】 abd 【解析】选项 a,连接 bd，明显 o 为 bd 的中点，又 n 为 pb 的中点，所以 pd on,由线面平行的判定定理可得， pd 平面 omn ；选项 b, 由 m , n 分别为侧棱 pa , pb 的中点,得 mn ab,又底面为正方形，所以mn cd，由线面平行的判定定理可得，cd 平面 omn,又选项 a 得 pd 平面 omn ，由面面平

12、行的判定定理可得，平面 pcd 平面 omn ；选项 c,由于 mn cd，所以 pdc 为直线 pd 与直线 mn 所成的角，又由于全部棱长都相等，所以 pdc= 60 ，故直线 pd 与直线 mn 所成角的大小为 60 ；选项 d，因底面为正方形，所以2 2 2ab ad bd + =,又全部棱长都相等，所以2 2 2pb pd bd + =,故 pb pd ,又 pd on，所以 on pb ，故 abd 均正确. 5.已知四棱锥 p abcd - ，底面 abcd 为矩形，侧面 pcd 平面 abcd ， 2 3 bc = ，2 6 cd pc pd = = =.若点 m 为 pc 的

13、中点，则下列说法正确的为（ ） a bm 平面 pcd b / pa 面 mbd c四棱锥 m abcd - 外接球的表面积为 36 p d四棱锥 m abcd - 的体积为 6 【答案】 bc 【解析】作图在四棱锥 p abcd - 中： 由题：侧面 pcd 平面 abcd ，交线为 cd ，底面 abcd 为矩形， bc cd ，则 bc 平面 pcd ，过点 b 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项 a 错误； 连接 ac 交 bd 于 o ，连接 mo ， pac d 中， om pa ， mo 面 mbd ， pa 面 mbd ，所以 / pa 面 mbd ，所以选项 b 正确；

14、四棱锥 m abcd - 的体积是四棱锥 p abcd - 的体积的一半，取 cd 中点 n ，连接 pn ， pn cd ，则 pn 平面 abcd ，3 2 pn =，四棱锥 m abcd - 的体积 1 12 3 2 6 3 2 122 3m abcdv-= = 所以选项 d 错误. 矩形 abcd 中，易得 6, 3, 3 ac oc on = = = ， pcd 中求得：16,2nm pc = = 在 rt mno 中2 23 mo on mn = + = 即： om oa oboc od = = = = ，所以 o 为四棱锥 m abcd - 外接球的球心，半径为 3 ， 所以其体

15、积为 36 p ，所以选项 c 正确 故选：bc 6.正方体1 1 1 1abcd abc d - 的棱长为 2，已知平面1ac a ，则关于 a 截此正方体所得截面的推断正确的是（ ） a截面外形可能为正三角形 b截面外形可能为正方形 c截面外形可能为正六访形 d截面面积最大值为 3 3 【答案】acd 【解析】如图，明显 a,c 成立，下面说明 d 成立， 如图设截面为多边形 gmefnh ， 设1ag x = ，则 01 x ， 则 2 , 2(2 ), 2 2, gh me nf x mg hn ef x mn = = = = = = - = 所以多边形 gmefnh 的面积为两个等腰

16、梯形的面积和， 所以1 21 1( ) ( )2 2s gh mn h mn ef h = + + + 由于2 2 2 212 2 2 1 3 3 2(2 ) ( ) ( 2 2) (2 ) (2 )2 2 2 2xh x x x x-= - - = + - = -， 22 222(2 ) 2 2 3( 2 ) 2 2x xh x- -= - =， 所以2 21 3 1 3( 2 2 2) (2 ) 2 2 2(2 )2 2 2 2s x x x x = + - + + - 23 2 3 2 3 x x = - + + 当 1 x= 时，max3 3 s = ，故 d 成立。 故选：acd 7

17、.正方体1 1 1 1abcd abc d - 的棱长为 1， , , e f g 分别为1 1, , bc cc bb 的中点则（ ） a直线1d d 与直线 af 垂直 b直线1ag 与平面 aef 平行 c平面 aef 截正方体所得的截面面积为98 d点 c 和点 g 到平面 aef 的距离相等 【答案】 bc 【解析】对选项 a：（方法一）以 d 点为坐标原点， da 、 dc 、1dd 所在的直线分别为 x 、 y 、 z 轴，建立空间直角坐标系，则 (0,0,0) d 、 (1,0,0) a 、1 (1,0,1)a 、1,1,02e 、10,1,2f 、11,1,2g .从而1(0

18、,0,1) dd = ，11,1,2af = - ，从而1102dd af = ，所以1dd 与直线 af 不垂直，选项 a 错误； （方法二）取1dd 的中点 n ，连接 an ，则 an 为直线 af 在平面1 1add a 内的射影， an 与1dd 不垂直，从而 af 与1dd 也不垂直，选项 a 错误； 取 bc 的中点为 m ，连接1am 、 gm ，则1am ae ， gmef ，易证1amg aef 平面 平面 ，从而1ag aef 平面 ，选项 b 正确； 对于选项 c，连接1ad ，1d f ，易知四边形1aefd 为平面 aef 截正方体所得的截面四边形（如图所示），且1

19、5 dh ah = = ，12 ad= ，所以1221 2 32 ( 5)2 2 2ad hs d = - = ，而1 13 94 8ad h aefds s = =四边形 ，从而选项 c 正确； 对于选项 d：（方法一）由于1 1 1 1 1 1 112 2 2 2 2 2 4gef ebg befgs s sd d = - = + - = 梯形，而1 1 1 12 2 2 8ecfs d = = ，而13a gef efgv s ab- d= ，13a ecf ecfv s ab- d= ，所以 2a gef a ecfv v- -= ，即2g aef c aefv v- -= ，点 g

20、到平面 aef 的距离为点 c 到平面 aef 的距离的二倍.从而 d 错误. （方法二）假设点 c 与点 g 到平面 aef 的距离相等，即平面 aef 将 cg 平分，则平面 aef 必过 cg 的中点，连接 cg 交 ef 于点 o ，易知 o 不是 cg 的中点，故假设不成立，从而选项 d 错误. 8.如图，矩形 abcd ， m 为 bc 的中点，将 abm d 沿直线 am 翻折成1ab m d ，连接1b d ， n 为1b d 的中点，则在翻折过程中，下列说法中全部正确的是( ) a存在某个位置，使得1cn ab ; b翻折过程中， cn 的长是定值； c若 ab bm = ，

21、则1am b d ； d若1 ab bm = = ，当三棱锥1b amd - 的体积最大时，三棱锥1b amd - 的外接球的表面积是 4 p . 【答案】 bd 【解析】对于 a，取 ad 的中点为 e ，连接 ce 交 md 于点 f ，如图 1 则1ne ab ，1nf mb 假如1cn ab ，则 encn , 由于1 1ab mb ，则 ennf , 由于三线 , , ne nf nc 共面且共点， 故这是不行能的，故不正确； 对于 b，如图 1 ，由1nec mab = , 且11,2ne ab am ec = = ， 在cen d 中，由余弦定理得： 2 2 22 cos nc

22、ne ec ne ec nec = + - ，也是定值， 故 nc 是定值，故正确； 对于 c，如图 2 ab bm = ，即1 1ab b m = ,则1am bo 若1am b d ，由于1 1 1bo b d b = ， 且1 1, bo b d 平面1odb ， am 平面1odb ， od 平面1odb ， od am ，则 ad md = , 由于 ad md ，故1am b d 不成立，故不正确； 对于 d，依据题意知，只有当平面1b am 平面 amd 时， 三棱锥1b amd - 的体积最大，取 ad 的中点为 e ， 连接1, , oe b e me ，如图 2 1 ab

23、bm = = ，则1 11 ab b m = = ， 且1 1ab b m ，平面1b am 平面 amdam = 1bo am ，1bo 平面1b am 1bo 平面 amd ， oe 平面 amd 1bo oe ， 则2 am =，11 22 2bo am = = , 1 1 22 2 2oe dm am = = =, 从而2 212 212 2eb = + = , 易知 1 ea ed em = = = ad 的中点 e 就是三棱锥1b amd - 的外接球的球心，球的半径为 1 ， 表面积是 4 p ，故 d 正确； 故选：bd 9.已知 , a b 是两个不重合的平面，, m n 是

24、两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） a若 / m n m a ， ， 则 n a b若 /, m n a a b = ， 则/ m n c若 m a ， mb ，则 / a b d若 , / , m m n n ab ，则 / a b 【答案】 acd 【解析】 若 m a ，则 , a b a $ 且 a b p = 使得 m a ， m b ，又 / m n ，则 n a ， n b ，由线面垂直的判定定理得 n a ，故 a 对； 若 / m a ， n a b = ，如图，设 m ab = ，平面1 1 1 1d c b a 为平面 a ， / m a ，设平面1 1add a 为平面 b ，1 1ad n a b = = ，则 mn ，故 b 错； 垂直于同一条直