极限定理 样本及抽样分布

1、 XB(n, p), 以以i表示第次试验表示第次试验A发生的次数发生的次数 niiXX1以以X表示表示n重贝努里试验重贝努里试验A发生次数发生次数EX=np, DX=npq, 大数定律大数定律 niiXn11 niiXnE11 niiXEn1)(1i独立同分布独立同分布中心极限定理中心极限定理 niiX1服从正态分布服从正态分布i独立同分布独立同分布, 且且E(Xi )=, D(Xi )= 2 2).,(2 nnN5.1 大数定律大数定律大数定律大数定律 表达了大量随机变量平均值的稳定性表达了大量随机变量平均值的稳定性. niiXn11 niiXnE11. ,., 1lim 21aYaYYYa

2、YPPnnnn - - 记为记为依概率收敛于依概率收敛于则称序列则称序列对于任意正数对于任意正数e, e, 有有定义定义5.1 5.1 设随机变量序列设随机变量序列Y1 , Y2 Yn , a是常数是常数, ,Le e niiXEn1)(11lim - - e epnnPAn贝努利大数定律贝努利大数定律 以以nA是是n次贝努利试验中次贝努利试验中A出现的出现的次数次数, P(A)=p, 则当则当n时时,有有:表达了频率的稳定性表达了频率的稳定性.XB(n, p), X表示表示n重贝努里试验中重贝努里试验中A发生次数发生次数 . 01iX记记：第次试验中第次试验中A发生发生第次试验中第次试验中A

3、不发生不发生有有 n1iiXX辛钦大数定律辛钦大数定律 设随机变量设随机变量X1 , X2 Xn 相互独立相互独立, 服从同一分布，数学期望服从同一分布，数学期望 E(Xi )= (i=1, 2),则对于任意正数则对于任意正数 e e, 有有11lim1 - - e e nkknXnP表达了随机变量算术平均值的稳定性表达了随机变量算术平均值的稳定性.例例5.2 设电站供电网有设电站供电网有 10000盏电灯盏电灯, 夜晚每一盏灯开夜晚每一盏灯开灯的概率是灯的概率是0.7, 假定开关时间彼此独立假定开关时间彼此独立, 估计夜晚同时估计夜晚同时开着的灯数在开着的灯数在 6800与与 7200之间的

4、概率之间的概率.解：设解：设X表示同时开着的灯数表示同时开着的灯数, 有有X b(10000, 0.7). E( X )=7000 , D( X )= 2100,200700072006800 - - 120第六章第六章样本及抽样分布样本及抽样分布 第一节第一节 随机样本随机样本研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体总体. 每一个元素称为每一个元素称为个体个体. 总体用随机变量总体用随机变量X表示表示. 从总体中从总体中随机独立随机独立抽取一部分个体进行观察抽取一部分个体进行观察, 所抽得所抽得的个体称为的个体称为样本样本.样本样本 的观察值的观察值x1 , x2 .xn称为称为样本值样本值

5、.总体总体X的分布函数为的分布函数为F(x), 则样本则样本X1, X2.Xn的的联合联合 分布函数分布函数样本用随机变量样本用随机变量X1, X2Xn表示表示.),(21nxxxFL ).(1inixF )()()(2121nXXXxFxFxFnL )()()(21nxFxFxFL 例例 考察某种型号灯泡的寿命，考察某种型号灯泡的寿命，设为设为 X, 总体总体X服从指数分布服从指数分布( ),从中随机独立抽取个个体从中随机独立抽取个个体,设为设为X1, X2 X,x1=1010, x2=1020 , x=1000, x =990, x5 =980。X可能为到正无穷上任一值。可能为到正无穷上任

6、一值。 则则X1,X2X相互独立且相互独立且Xi ( ),例例 考察某厂家生产的彩电是否合格考察某厂家生产的彩电是否合格, 总体总体X (0-1)分布分布,从中随机独立抽取从中随机独立抽取5台台, 则则 X1, X2 X5相互独立且相互独立且 Xi (0-1)分布分布. x1=1， x2=0 ， x=1，x =， x5 =1。总体分布总体分布P X =1=p， X =0 =1-p，常写成常写成P X =x 01,XX 记记设设为为合格品合格品否则否则合格率为合格率为p，x=0或。或。px(1-p)1-x ,分别以分别以 X1, X2 X5表示表示,例例 某种炮弹的炮口速度某种炮弹的炮口速度,

7、随机独立抽取发随机独立抽取发,则则X1,X2X相互独立且相互独立且 Xi N (, 2 2) . x1=3, x2=4 , x=5, x =6, x5 =7。设为设为X, 总体服从正态分布总体服从正态分布(, 2 2),),(21nXXXgL不含任何未知参数不含任何未知参数.统计量统计量: 样本样本X1,X2.Xn的函数的函数样本方差样本方差 样本均值样本均值 niiXnX11 1111122122 - - - - - - niiniiXnXnXXnS分别以分别以X1, X2 X表示炮口速度表示炮口速度,但但, 2 2未知，未知， - - - niiiXXXXn122)2(11 - - - -

8、 niininiiXXXXn11212)2(11 - - - niiXXnS12211)(1112 - - niiXn11122 - - - niiXnXn niiXnX112Xn22 Xn- - 2222.XXXX2Xn niiXX1 niiXX12Xn 样本样本k阶矩阶矩 L, 2 , 111 kXnAnikik样本样本k阶中心矩阶中心矩 L, 2 , 111 - - kXXnBnikik:kX阶矩阶矩的的总体总体)(kkXEa :kX阶中心矩阶中心矩的的总体总体kkXEXEb)(- - 例例 总体总体X的期望的期望, 方差分别为方差分别为 X1，X2Xn为来自总体为来自总体X的样本的样本

9、, 求求),(),(2XDXE 。)(),(2SEXE niiniiXEnXnEXE11)(1)1()(:解解 niiniiXDnXnDXD121)(1)1()( - - - niiXnEXEnSE1222)()(11)( - - - - ninnn12222)(11 n2 2 第二节第二节 抽样分布抽样分布 niiX122 设设X1,X2Xn是来自总体是来自总体N(0，1)的样本，称统计量的样本，称统计量服从服从自由度为自由度为n的的 分布分布，记，记为为2 ).(22n - - -其他其他0 0 221)(2212yeynyfynn 分布的概率分布密度为分布的概率分布密度为)(2n 1、

10、分布分布2 )( yfyO1 n5 n15 n)( )(),()1(2122221222122221221nnnn 则则相相互互独独立立与与且且如如果果 分布具有以下性质分布具有以下性质: )(2n .2)(,)(),()2(2222nDnEn 则则有有如如果果.)()()()(),(),10(22)(22222分分位位点点分分布布的的上上为为的的点点称称满满足足条条件件设设对对于于给给定定的的正正数数 nndyyfnPnn )(yfy )(2n )25(21 . 0 382.34 382.342)(382.34dyyfP 1 . 0 05. 02 P)10(205. 0 )10(205. 0

11、 307.18 05. 012- - P)10(295. 0 )10(295. 0 940. 3 )(222)()(ndyyfnP)(yfy )(2n )(12n - - - -1 - -)()(22/222/1nnP .1 - - - - -)(21221)()(ndyyfnP )(x zXN(0,1), 若若 满足条件满足条件z zdxxzXP)(称称 为标准正态分布的为标准正态分布的上上 分位点分位点.z - -1z9985. 02/ zXP求标准正态分布的上求标准正态分布的上 分位点分位点,.,2/zz =0.003, 求求）96. 2( .96. 22/ z997. 0 zXP,75

12、. 2(） ,75. 2 z2、t分布分布设设XN(0, 1), Y , 且且X 与与 Y相互独立，相互独立，则称随机变量则称随机变量nYXt 服从自由度为服从自由度为 n的的t 分布分布, 记为记为t t(n)。)(2n t(n)分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为 - - - -tntnnnthn )1()2()21()(212 )(thtO)(正正态态 n1 n10 nt(n)分布的图形：分布的图形： t)(nt )(tht(n)分布的上分布的上 分位点记为分位点记为 , 满足：满足：)(nt dtthnttPnt)()()( - -)(nt )(1nt - -)()(2/2/ntt

13、ntP - -)(2/nttP .1 - - 设设 且且U与与V相互独立，相互独立，则称随机变量则称随机变量)(),(2212nVnU 21/nVnUF 服从自由度为服从自由度为(n1，n2)的的F分布，记为分布，记为FF(n1，n2) - - -其其他他 00 )1 ()()2()2()22()(2211221212121211yynnynnnnnnnnynnn 3、F分布分布 概率密度函数为概率密度函数为.)(),(),(2121 dyynnFFPnnF 的上的上 分位点记为分位点记为 ，即它满足，即它满足),(21nnF),(21nnF )(y yO ),(21nnF FF(n1, n2), 则则 1F),(1211nnFFP - - - - - -),(11211nnFFP),(1211nnF - -),(1),(12211nnFnnF - -),(111211nnFFP - - - - ),(11211nnFFP - - 性质性质证证:),(12nnF).,(12nnF 则则为为样样本本方方差差为为设设正正态态总总体体均均值值为为,212nXXXL /n )D( )E(2 XX例例6.2 设总体设总体XN(62, 102), 为使样本均值大于为使样本均值大于60的概的概率不小于率不小于0.95, 问样本容量问样本容量 n至少应取多大