三角形中的角平分线的性质学习教案

1、会计学1三角形中的角平分线的性质三角形中的角平分线的性质(xngzh)第一页，共31页。1课堂课堂(ktng)(ktng)讲解讲解角形的角平分线角形的角平分线 角平分线性质角平分线性质(xngzh)(xngzh)的应用的应用2课时课时(ksh)(ksh)流程流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业提作业提升升第1页/共31页第二页，共31页。角平分线的性质与判定的内容角平分线的性质与判定的内容(nirng)是什么？是什么？复复习习回回顾顾第2页/共31页第三页，共31页。归归 纳纳（来自（来自(li z)(li z)教材）教材）定理定理(dngl)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平

2、分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理定理(dngl)在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上在这个角的平分线上.第3页/共31页第四页，共31页。1知识点知识点三角形的角平分线三角形的角平分线求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且(bngqi)这一点到三条边的距这一点到三条边的距 离相等离相等.例例1 （来自（来自(li z)(li z)教材）教材）知知1 1讲讲第4页/共31页第五页，共31页。已知：如图，在已知：如图，在ABC中，角平分线中，角平分线BM与角平分与角平分线线CN相交相交(

3、xingjio)于点于点P，过点，过点P分别作分别作AB，BC，AC，的垂线，垂足分别为，的垂线，垂足分别为D，E，F.求证：求证：A的平分线经过点的平分线经过点P，且，且PDPEPF.（来自（来自(li z)(li z)教材）教材）知知1 1讲讲第5页/共31页第六页，共31页。（来自（来自(li z)(li z)教材）教材）BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上，且上，且 PD丄丄AB，PE丄丄BC，垂足分别为，垂足分别为D，E，PDPE (角平分线上的点到这个角的两边的角平分线上的点到这个角的两边的 距离距离(jl)相等）相等）.同理，同理，PEPFPDPEPF.点点P在

4、在A的平分线上的平分线上(在一个角的内部，到在一个角的内部，到 角的两边距离角的两边距离(jl)相等的点在这个角的平分线上相等的点在这个角的平分线上)， 即即A的平分线经过点的平分线经过点P.证明证明(zhngmng)：知知1 1讲讲第6页/共31页第七页，共31页。知知1 1讲讲三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三条三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三条边的距离相等边的距离相等要点精析：要点精析：(1)角平分线常与三角形内角和定理角平分线常与三角形内角和定理(dngl)相结合求角的度数相结合求角的度数(2)与三角形三条角平分线的交点有关的面积问题常利用几个小与

5、三角形三条角平分线的交点有关的面积问题常利用几个小三角形面积和等于大三角形的面积来解决三角形面积和等于大三角形的面积来解决(3)角平分线和平行线相结合常常可以得到等腰三角形角平分线和平行线相结合常常可以得到等腰三角形拓展：三角形三条角平分线的交点，叫三角形的内心，这一点拓展：三角形三条角平分线的交点，叫三角形的内心，这一点一定在三角形的内部，它到三角形三边的距离相等；三角形一定在三角形的内部，它到三角形三边的距离相等；三角形三边垂直平分线的交点，叫三角形的外心，它到三角形三个三边垂直平分线的交点，叫三角形的外心，它到三角形三个顶点的距离相等二者莫混淆顶点的距离相等二者莫混淆（来自（来自(li

6、z)(li z)点拨）点拨）第7页/共31页第八页，共31页。知知1 1讲讲如如图，图，在在ABC中，中，A100，若，若ABC和和ACB的平分线交于点的平分线交于点O，则，则BOC_（来自（来自(li z)(li z)点拨）点拨）例例2 导引导引(do yn)：在在ABC中，中，A100，ABCACB80.又又BO，CO分别分别(fnbi)平分平分ABC，ACB，OBCOCB40.BOC180(OBCOCB)18040140.140第8页/共31页第九页，共31页。总总 结结（来自（来自(li z)(li z)点拨）点拨）若若ABC中，中，ABC和和ACB的平分线交于点的平分线交于点O，则有

7、则有BOC90 A.12知知1 1讲讲第9页/共31页第十页，共31页。知知1 1讲讲如图，在如图，在ABC中，中，ABC与与ACB的平分线的平分线相交相交(xingjio)于点于点O，过点，过点O作作DEBC，分别，分别交交AB，AC于点于点D，E.求证：求证：DEBDCE.例例3 （来自（来自(li z)(li z)点拨）点拨）第10页/共31页第十一页，共31页。知知1 1讲讲证明证明(zhngmng)：BO平分平分(pngfn)ABC，ABOCBO.DEBC，CBODOB.ABODOB.BDOD.同理可证同理可证OECE，DEODOEBDCE.（来自（来自(li z)(li z)点拨）

8、点拨）第11页/共31页第十二页，共31页。（来自（来自(li z)(li z)点拨）点拨）角平分线和平行线都可以角平分线和平行线都可以(ky)得出角相等，由得出角相等，由角相角相等可以等可以(ky)得出线段相等，进而可以得出线段相等，进而可以(ky)进行进行线段之间的转线段之间的转化，达到证明线段之间和差倍分关系的目的化，达到证明线段之间和差倍分关系的目的知知1 1讲讲总总 结结第12页/共31页第十三页，共31页。1到到ABC的三条的三条(sn tio)边距离相等的点是边距离相等的点是ABC的的()2A三条三条(sn tio)中线的交点中线的交点 3B三条三条(sn tio)角平分线的交点

9、角平分线的交点4C三条三条(sn tio)高的交点高的交点 5D以上均不对以上均不对知知1 1练练（来自（来自(li z)(li z)典中点）典中点）第13页/共31页第十四页，共31页。知知1 1练练（来自（来自(li z)(li z)典中点）典中点）2如图，在如图，在ABC中，中，ABC，ACB的平分线的平分线相交于点相交于点O，下面，下面(xi mian)结论正确的是结论正确的是()3A12 4B125C1AB，ADDC，BD平分平分(pngfn)ABC.求证：求证：CBAD180.（来自（来自(li z)(li z)点拨）点拨）例例5 导引导引(do yn)：本题根据本题根据BD平分平

10、分ABC，想到过点想到过点D向角的两边作垂向角的两边作垂线段，构造直角三角形，线段，构造直角三角形，证明直角三角形全等，从证明直角三角形全等，从而将两角的和转化为一个而将两角的和转化为一个平角，进而得出结论平角，进而得出结论知知2 2讲讲第20页/共31页第二十一页，共31页。知知2 2讲讲如图，过点如图，过点D作作DEAB交交BA的延长线于点的延长线于点E，作作DFBC于点于点F.BD平分平分(pngfn)ABC，DEDF.在在RtEAD和和RtFCD中，中，RtEAD RtFCD.EADC.EADBAD180，CBAD180.（来自（来自(li z)(li z)点拨）点拨）证明证明(zhn

11、gmng)：ADCDDEDF ，第21页/共31页第二十二页，共31页。知知2 2讲讲（来自（来自(li z)(li z)点拨）点拨）本题运用了构造法和转化思想，见角平分线，利本题运用了构造法和转化思想，见角平分线，利用用角平分线的性质角平分线的性质(xngzh)作角两边的垂线段是经常作角两边的垂线段是经常作的辅助线之作的辅助线之一，为解题提供了相等线段在本题中通过辅助一，为解题提供了相等线段在本题中通过辅助线与已线与已知条件一起构造出全等直角三角形，又利用全等知条件一起构造出全等直角三角形，又利用全等三角形三角形的性质的性质(xngzh)把毫无关系的两个角转化成了一个把毫无关系的两个角转化成

12、了一个平角证角的平角证角的和是和是180通常转化成平角或三角形内角和问题通常转化成平角或三角形内角和问题注意：对于角平分线常采用注意：对于角平分线常采用“翻折法翻折法”构造全等构造全等三三角形，即在角形，即在BC上截取一点上截取一点E使使BEAB，连接，连接DE，则则ABD EBD，其实质是截长补短法，其实质是截长补短法总总 结结第22页/共31页第二十三页，共31页。知知2 2讲讲探究题已知：如图，探究题已知：如图，CEAB，BFAC，垂足分别，垂足分别为为E，F，BF交交CE于于D点，且点，且BDCD.(1)求证：求证：AD平分平分BAC.(2)若将若将(1)中的条件中的条件“BDCD”与

13、结论与结论“AD平分平分BAC”互互换，还成立吗？试说明换，还成立吗？试说明(shumng)理由理由（来自（来自(li z)(li z)点拨）点拨）例例6 导引导引(do yn)：(1)由由DEB DFC得到得到DEDF，进而可得，进而可得AD平分平分BAC；(2)易知成立易知成立第23页/共31页第二十四页，共31页。知知2 2讲讲CEAB，BFAC，DEBDFC90.在在DEB与与DFC中，中， DEB DFC(AAS)DEDF.又又DEAB，DFAC，AD平分平分(pngfn)BAC.(1)证明证明(zhngmng)：90DEBDFCBDECDFBDCD ，第24页/共31页第二十五页，

14、共31页。知知2 2讲讲将将(1)中的条件中的条件“BDCD”与结论与结论(jiln)“AD平分平分BAC”互换仍然成立理由：互换仍然成立理由：AD平分平分BAC，DEAB，DFAC，DEDF，DEBDFC90.在在DEB与与DFC中，中， DEB DFC(ASA)BDCD.(2)解：解：BDECDFDEDFDEBDFC ，（来自（来自(li z)(li z)点拨）点拨）第25页/共31页第二十六页，共31页。知知2 2讲讲（来自（来自(li z)(li z)点拨）点拨）本题运用了转化思想在解决有关角的平分线的问本题运用了转化思想在解决有关角的平分线的问题时，由角的平分线的性质可得线段相等；反

15、之由线段题时，由角的平分线的性质可得线段相等；反之由线段相等可得角的平分线欲证明某个点在一个角的平分线相等可得角的平分线欲证明某个点在一个角的平分线上，就是证明角的顶点与该点所连的射线为角的平分线，上，就是证明角的顶点与该点所连的射线为角的平分线，只需从这一点向角的两边只需从这一点向角的两边(lingbin)作垂线段，证明该点到作垂线段，证明该点到角的两角的两边的距离相等即可这样把证边的距离相等即可这样把证“点在线上点在线上”的问题转化的问题转化为证为证“线段相等线段相等”的问题的问题总总 结结第26页/共31页第二十七页，共31页。1已知已知ABC，求作一点，求作一点P，使，使P到到A的两边

16、的距离相的两边的距离相等，且等，且PAPB.下列确定下列确定(qudng)P点的方法正确的点的方法正确的是是()2AP为为A与与B的平分线的交点的平分线的交点3BP为为A的平分线与的平分线与AB的垂直平分线的交点的垂直平分线的交点4CP为为AC，AB两边上的高的交点两边上的高的交点5DP为为AC，AB两边的垂直平分线的交点两边的垂直平分线的交点知知2 2练练（来自（来自(li z)(li z)典中点）典中点）第27页/共31页第二十八页，共31页。知知2 2练练（来自（来自(li z)(li z)典中点）典中点）2(改编改编凉山州凉山州)如图，李明计划在张村、李村之间建一如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市张、李两村坐落在两相交家超市张、李两村坐落在两相交(xingjio)公路内公路内超市的位置应满足下列条件：超市的位置应满足下列条件：(1)使其到两公路的距使其到两公路的距离相等；