三重积分的计算学习教案

1、三重三重(sn zhn)积分的计算积分的计算第一页，共57页。,0 ,20 . z的柱面坐标的柱面坐标就叫点就叫点个数个数，则这样的三，则这样的三的极坐标为的极坐标为面上的投影面上的投影在在为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点设设MzPxoyMzyxM,),( 规定规定(gudng)：xyzo),(zyxM),( P r机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第1页/共56页第二页，共57页。0 xz yM(, , z)z N cos xxyz sin y(x, y, z) (, , z)z = z.机动机动(jdng) (jdng) 目录目录

2、 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第2页/共56页第三页，共57页。 z动点动点M(, , z)柱面柱面S =常数常数(chngsh)：平面平面(pngmin)z =常数常数(chngsh)：x0yzMrz第3页/共56页第四页，共57页。动点动点M(r, , z)半平面半平面(pngmin)P柱面柱面S =常数常数(chngsh): =常数常数(chngsh)：平面平面 z =常数：常数：zx0yzM 柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面第4页/共56页第五页，共57页。xz y0 dd d z平面z元素元素(yun s)区域由六个坐标面围成：区域由六个坐标面围成：半平面半平面(pngm

3、in) 及及 +d ; 半径为半径为及及 +d 的园柱面；的园柱面； 平面平面(pngmin) z及及 z+dz；机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第5页/共56页第六页，共57页。半平面半平面(pngmin) 及及 +d ; 半径为半径为及及 +d的园柱面；的园柱面； 平面平面(pngmin) z及及 z+dz；xz y0 d d d z底面积底面积(min j) (min j) d d d d元素区域元素区域(qy)由六个坐标面围成：由六个坐标面围成：dz平面平面z+dz机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体

4、积元素第6页/共56页第七页，共57页。xz y0 drrrd d z底面积底面积(min j) (min j) d dd d元素区域元素区域(qy)由六个坐标面围成：由六个坐标面围成：半平面半平面(pngmin) 及及 +d ; 半径为半径为及及 +d 的园柱面；的园柱面； 平面平面(pngmin) z及及 z+dz；dz ),sin,cos(zf zddd zyxddddV =zddd .zyxzyxfddd ),( dV机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素第7页/共56页第八页，共57页。例例 1 1 计算计算 zdxdyd

5、zI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx 与与 抛物面抛物面 zyx322 所围所围的立体的立体. . 解解 zz34222 , 3, 1 z知交知交(zhjio)线线为为机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第8页/共56页第九页，共57页。 23242030 zdzddI.413 面上，如图，面上，如图，投影到投影到把闭区域把闭区域xoy .20, 3043:22 ，z机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第9页/共56页第十页，共57页。例例 计算计算 dxdydzyxI)(22， 其中其中

6、是曲线是曲线 zy22 ，0 x 绕绕 oz 轴旋转一周轴旋转一周而成的曲面与两平面而成的曲面与两平面 2 z，8 z 所围的立体所围的立体. . 解解由由 022xzy ,222zyx 所围成的立体所围成的立体(lt)(lt)如如图，图， 绕绕 oz 轴轴旋旋转转得得旋旋转转面面方方程程为为， 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第10页/共56页第十一页，共57页。:2D, 422 yx.222020:22 z :1D,1622 yx,824020:21 z 所围成立所围成立(chngl)(chngl)体的投影区域如体的投影区域如图，图，

7、2D1D机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第11页/共56页第十二页，共57页。,345 ,625 原式原式 I 345 625 336. 824020122 dzddI 222020222 dzddI21III ,)()(212222 dxdydzyxdxdydzyx第12页/共56页第十三页，共57页。其中其中(qzhng)(qzhng)为由为由zyxyxzddd22 0),0(, 0 yaazz所围所围解解: : 在柱面坐标系下在柱面坐标系下: cos202d dcos342032 a cos20 20 az 0及平面及平面(pngm(

8、pngmin)in)2axyzozvdddd 20d azz0dzzddd2 原式原式398a 柱面柱面 cos2 成半圆柱体成半圆柱体. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xyx222 第13页/共56页第十四页，共57页。ooxyz解解: : 在柱面坐标系下在柱面坐标系下h: hz42d hdh2022)4(12 4)41ln()41(4hhh hz h20 20 h202d1 20d,1ddd22 yxzyxzyx422 )0( hhz所围成所围成 . .与平面与平面(pngm(pngmin)in)其中其中(qzhng)(qzhng)由由抛物面抛物面42 zv

9、dddd 原式原式 = =机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第14页/共56页第十五页，共57页。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 解解: : 在柱面坐标系下在柱面坐标系下: 22 z10 20 2 dvyxz 22 2221020 dzzdd 10534 第15页/共56页第十六页，共57页。机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解1:1: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下: hz h 0 20 dvzyx 2224 hhdzzdd 220204此积分此积分(jfn)(jfn)

10、很很难求！难求！第16页/共56页第十七页，共57页。机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解2:2:dvzyx 2224 zhdzddz0222004 用截面用截面(jimin)(jimin)法：法：先固定先固定(gdng) z(gdng) z，,0hz | ),(222zyxyxDz dxdyzyxdzzDh 22204极坐标极坐标4)855(6h 第17页/共56页第十八页，共57页。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 解解3:3:dvzyx 2224 zhdzdzd0220204 用截面

11、用截面(jimin)(jimin)法：法：先固定先固定(gdng) (gdng) ，,20 ,0| ),(hzhzzD dzdzdD 222044)855(6h 第18页/共56页第十九页，共57页。的球面坐标的球面坐标就叫做点就叫做点，个数个数面上的投影，这样的三面上的投影，这样的三在在点点为为的角，这里的角，这里段段逆时针方向转到有向线逆时针方向转到有向线轴按轴按轴来看自轴来看自为从正为从正轴正向所夹的角，轴正向所夹的角，与与为有向线段为有向线段间的距离，间的距离，与点与点点点为原为原来确定，其中来确定，其中，三个有次序的数三个有次序的数可用可用为空间内一点，则点为空间内一点，则点设设Mr

12、xoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第19页/共56页第二十页，共57页。0 xz y x y zM(r, , )r Nyxz. cos sinr sin sinr cosr.机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第20页/共56页第二十一页，共57页。 SrM yz x0r =常数常数(chngsh): =常数常数(chngsh):球面球面(qimin)S动点动点M(r, , )机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第21页

13、/共56页第二十二页，共57页。 r =常数常数(chngsh): =常数常数(chngsh):球面球面(qimin)S半半平面平面P动点动点M(r, , )M yz x0 =常数常数:锥面锥面C机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面第22页/共56页第二十三页，共57页。 r drd rsin xz y0圆锥圆锥(yunzhu)面面rd 球面(qimin)r圆锥圆锥(yunzhu)面面+d球面球面r+d r元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：d rsin d 半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；

14、的球面；圆锥面圆锥面 及及 +d 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第23页/共56页第二十四页，共57页。r drd xz y0 ,sinsin,cossin( rrf d rd 元素元素(yun s)区域由六个坐标面围成：区域由六个坐标面围成：rsin d 半平面半平面 及及 +d ； 半径半径(bnjng)为为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及 +d zyxzyxfddd ),( r 2sin drd d sin drd d r 2rcos )dVdV =机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 球面坐标

15、下的体积元素球面坐标下的体积元素第24页/共56页第二十五页，共57页。解解 1 1 采采用用球球面面坐坐标标 az ,cos ar 222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第25页/共56页第二十六页，共57页。 dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第26页/共56页第二十七页，共57页。解解 2 2 采用柱面坐标采用柱面坐标 ,:222a

16、yxD dxdydzyxI)(22 aadzdd 2020 ada03)(2 54254aaa .105a 222zyx , z,20,0,: aaz机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第27页/共56页第二十八页，共57页。例例 8 8 求曲面求曲面22222azyx 与与22yxz 所围所围 成的立体体积成的立体体积. . 解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成， 采采用用球球面面坐坐标标， 由由 22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回

17、返回 结束结束 第28页/共56页第二十九页，共57页。由三重积分的性质知由三重积分的性质知 dxdydzV, adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第29页/共56页第三十页，共57页。,)(222 zdydxdzyx22yxz 为锥面为锥面2222Rzyx 解解: : 在球面在球面(qimin)(qimin)坐标系下坐标系下: zyxzyxddd)(222 所围立体所围立体(lt).(lt).40 Rr 0 20 其中其中 与球面与球面 dddsind2rrv

18、Rrr04d)22(515 R 40dsin 20dxyzo4Rr 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第30页/共56页第三十一页，共57页。)0()(32222 azazyx所围立体所围立体(lt)(lt)体积体积. .解解: : 由曲面方程可知由曲面方程可知, , 立体立体(lt)(lt)位于位于xoyxoy面上部面上部, ,cos0:3 ar 利用对称性利用对称性, , 所求立体体积为所求立体体积为 vVdrrad3cos02 dcossin32203 a331a 3cos ar ,20 20 20dsin 20d4 yoz面对称面对称, , 并与并与xoy面相

19、切面相切, , 故在球坐标系下所围立体为故在球坐标系下所围立体为且关于且关于 xoz dddsind2rrv yzxar机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第31页/共56页第三十二页，共57页。解解积分域关于三个坐标积分域关于三个坐标(zubio)(zubio)面都面都对称，对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数, ,z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第32页/共56页第三十三页，共57页。机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回

20、返回 结束结束 解解: : 在球面在球面(qimin)(qimin)坐坐标系下标系下,cos20: ,40 20 利用利用(lyng)(lyng)对称性对称性, 03 dxdydzy03 dxdydzxdxdydzzI 3 cos20233020sincos4drrrdd 1531 第33页/共56页第三十四页，共57页。)(2222zxyzxyzyx 其其中中yzxy 是是关关于于y的的奇奇函函数数, , 且且 关关于于zox面面对对称称, , 0)(dvyzxy,机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2)(zyx 解解同同理理 zx是是关关于

21、于x的的奇奇函函数数, , 且且 关关于于yoz面面对对称称, , , 0 xzdv第34页/共56页第三十五页，共57页。在柱面坐标下：在柱面坐标下： ,20 , 10 r,222rzr , 122 yx投投影影区区域域 xyD： 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则 dxdydzzyxI2)( ,)(222 dxdydzzyx第35页/共56页第三十六页，共57页。,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI 其其中中(qz(qzhnhng)g).4, 1),(212

22、2围成围成由由 zzyxz解解: :zyxxIddd2 利用利用(lyng)(lyng)对对称性称性zyxyxddd)(2122 yxyxzzDdd)(d212241 zrrz2032041ddd21 21 4zxoy1zDzyxyxyxdddsin5222 0机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第36页/共56页第三十七页，共57页。满足满足变换变换，上连续上连续在有界闭区域在有界闭区域设设),(, ),(, ),(:),(wvuzzwvuyywvuxxTzyxf ;)1( 中的中的一对一的变为一对一的变为中的中的将将oxyzuvwo；一阶连续偏导数一阶连续偏导数上具

23、有上具有在在 ),(, ),(, ),()2(wvuzwvuywvux定理定理(dngl)机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第37页/共56页第三十八页，共57页。;0),(),(),()3( wvuzyxwvuJ上雅可比式上雅可比式在在 .),(),(),(),(),(dudvdwwvuJwvuzwvuywvuxfdxdydzzyxf则有则有机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第38页/共56页第三十九页，共57页。解解做广义做广义(gungy)球坐标球坐标变换变换 cossinsincossinc

24、rzbryarx则则),(),( rzyxJ sin2abcr dvVdvabcr sin2drabcrdd 102020sin abc 34 机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第39页/共56页第四十页，共57页。（1 1） 柱面坐标柱面坐标(zubio)(zubio)的体的体积元素积元素dzdddxdydz （2 2） 球面球面(qimin)(qimin)坐标的体积元素坐标的体积元素 ddrdrdxdydzsin2 （3 3） 对称性简化对称性简化(jinhu)(jinhu)运算运算三重积分换元法三重积分换元法 柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标机

25、动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第40页/共56页第四十一页，共57页。* * 说明说明(shumng):(shumng):三重三重(sn zhn)(sn zhn)积分也有类似二重积分的换元积分积分也有类似二重积分的换元积分公式公式: :),(),(wvuzyxJ 对应对应(duyng)(duyng)雅可比行列雅可比行列式为式为 *ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第41页/共56页第四十二页，共57页。P106 9 (1)； 10 (2)； 11 (2)(3)(4)；12第四节 目录 上

26、页 下页 返回(fnhu) 结束 第42页/共56页第四十三页，共57页。思考题思考题则则上的连续函数上的连续函数为为，区域区域面对称的有界闭面对称的有界闭中关于中关于为为若若,),(3 zyxfxyR ;0),(,_),(dvzyxfzyxf为为奇奇函函数数时时关关于于当当 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf为偶函数时为偶函数时关于关于当当.1面面上上方方的的部部分分在在为为其其中中x zz2机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第43页/共56页第四十四页，共57页。Dxy:cxyz 围成围成 1 2 byax,y,x

27、zzyxfyxDcxyd ),(dd 0 zzyxfyxcxyaxaabd ),(dd 0 0 022 。z = 0ab0y xDxy。直角坐标直角坐标(zh jio zu bio)：上顶上顶：下底下底 是是曲曲顶顶柱柱体体 用哪种坐标用哪种坐标(zubio)？区区域域。 所所围围成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及 zbyaxcxyz: , )( c zyxzyxfIddd ),( 计计算算zyxzyxfIddd ),( 机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第44页/共56页第四十五页，共57页。azob12222 byaxyxcz=xy1.

28、1.区区域域。 所所围围成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及 zbyaxcxyz: , )( c zyxzyxfIddd ),( 计计算算机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第45页/共56页第四十六页，共57页。zz = 0a12222 byaxcz=xyyxb1.1.区区域域。 所所围围成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及 zbyaxcxyz: , )( c zyxzyxfIddd ),( 计计算算o机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第46页/共56页第四十七页，共57页。azoxy. z

29、zyxfyxIDcxyd ),(dd zzyxfyxcxyaxaabd ),(dd cz=xyb1.1.区区域域。 所所围围成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及 zbyaxcxyz: , )( c zyxzyxfIddd ),( 计计算算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第47页/共56页第四十八页，共57页。Dxy:。a0y xDxy)( aazyx:曲面曲面所围区域所围区域与与 yxaz raz 2ar z2 azarL ：解解得得交交线线 0 zar razazr2 2联立联立柱面坐标柱面坐标(zubio)zz ,r ,rfrrIxyD

30、raard )sincos(dd22 zzrrfrrraarad ),sin,cos(dd20202 。：上顶上顶：下底下底 是是曲曲顶顶柱柱体体 用哪种坐标用哪种坐标(zubio)？zyxzyxfIddd ),( 机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第48页/共56页第四十九页，共57页。2aaraz 2azr 2.L razazr2 2联立联立柱面坐标柱面坐标(zubio)2a0 xyz )( aazyx:曲面曲面所围区域所围区域与与 yxaz azarL ：解解得得交交线线2.2.zyxzyxfIddd ),( 机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第49页/共56页第五十页，共57页。zzrrfrrraarad ), sin, cos