数学模型与数学建模教学教材

1、数学(shxu)模型与数学(shxu)建模第一页，共44页。主要(zhyo)内容n1.什么是数学模型？n 1.1基本概念n 1.2特点(tdin)和分类n2.如何数学建模？n 2.1方法和步骤n 2.2示例n3.为什么数学建模？n 3.1现实意义n 3.2个人收获2第二页，共44页。1.什么(shn me)是数学模型？n数学(shxu)n模型n数学(shxu)模型3第三页，共44页。自然离不开数学1、圆形蜘蛛网是一个简单漂亮(pio ling)的数学创造2、蜂巢(fngcho)消耗最少的材料(cilio)和最少的“工时”巴黎科学院院士、瑞士数学家克尼格 3、在矿物结构中，可以找到许多更为奇妙的

2、空间图形 4第四页，共44页。问题/应用来自数学的贡献核磁共振成像技术(MRI)计算机辅助成像(CAT)积分几何空中交通管制控制论期权定价Black-Scholes期权模型和Monte Carlo模拟全局勘察、信号处理、图象处理、数据采掘应急用储备物资的管理运筹学、最优化理论复杂网络的稳定性逻辑、计算机科学、组合学机密和完整性数论、密码学/组合学大气和海洋的建模小波、统计学、数值分析敏捷制造、自动制造、可视化、机器人过程质量控制中的几何学、控制论设计和训练模拟、建模、离散数学人类基因组分析数据采掘、模式识别、算法合理的药物设计数据采掘、组合学、统计学Seiberg- Witten方程(弦论)几

3、何学宇宙数据的解释数据采掘、建模、奇点理论复合材料的设计系统控制论、计算、偏微分方程地震的分析和预测过程控制中的统计学动力系统/湍流建模社会离不开数学5第五页，共44页。 宇宙之大，粒子之微，火箭之速，华工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是有“量”和“形”的地方就少不了用数学，研究(ynji)量（或形）的关系、量（或形）的变化、量（或形）的变化关系、量（或形）的关系的变化等问题都离不开数学作为语言工具 。著名(zhmng)数学家 华罗庚 任何应用问题，一旦建立起了数学的模型，就会立即任何应用问题，一旦建立起了数学的模型，就会立即(lj)显现出解决问题的清晰途径和通向胜利的一

4、线曙光。显现出解决问题的清晰途径和通向胜利的一线曙光。马克思教导我们：一门学科只有成功地运用数学运用数学时，才算达到了完善的地步！6第六页，共44页。玩具、照片玩具、照片(zhopin)、飞机、火箭模型、飞机、火箭模型 实物实物(shw)模型模型我们我们(w men)(w men)常见的模型常见的模型7第七页，共44页。玩具、照片、飞机玩具、照片、飞机(fij)、火箭模型、火箭模型 实物实物(shw)模型模型水箱水箱(shuxing)中的舰艇、风洞中的飞机中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型物理模型我们常见的模型我们常见的模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型8第八

5、页，共44页。玩具、照片、飞机、火箭玩具、照片、飞机、火箭(hujin)模型模型 实物实物(shw)模型模型水箱中的舰艇、风洞水箱中的舰艇、风洞(fn dn)中的飞机中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的抽象、提炼出来的原型原型的替代物，集中反映了的替代物，集中反映了原型原型中中人们需要的那一部分特征。人们需要的那一部分特征。我们常见的模型我们常见的模型9第九页，共44页。模型(mxng)物质(wzh)模型（形象模型）理想模型(m

6、xng)（抽象模型(mxng)）直观模型物理模型思维模型符号模型数学模型模型的分类10第十页，共44页。 “1”是最简单是最简单(jindn)的数学模型。的数学模型。 那些我们(w men)所熟知的数学模型 设水池的总容量为1。两台抽水机同时工作所需要(xyo)时间为 例例 两台不同功率的抽水机向一个大水池中注水。如果第一台抽两台不同功率的抽水机向一个大水池中注水。如果第一台抽水机单独工作，水机单独工作，4小时可以将水池注满；如果第二台抽水机小时可以将水池注满；如果第二台抽水机单独工作，单独工作，6小时可以将水池注满。现在由两台抽水机同小时可以将水池注满。现在由两台抽水机同时工作，需要多长时间

7、注满水池？时工作，需要多长时间注满水池？4 . 261411（小时）（小时） 11第十一页，共44页。弧度制是对角大小的另一种度量弧度制是对角大小的另一种度量(dling)方式，弧度制的基本原理与方式，弧度制的基本原理与平面相似形有关。平面相似形有关。AABBO1扇形扇形(shn xn)AOB相似相似(xin s)于扇形于扇形BOA OAAOABBA因此，可以用扇形弧长与半径之比来确定圆心角。因此，可以用扇形弧长与半径之比来确定圆心角。 OAABAOBA比如，当扇形的弧长与半径之比为比如，当扇形的弧长与半径之比为2时，对应的圆心角是直角；时，对应的圆心角是直角；时，对应的圆心角是平角（扇形刚好

8、是半圆）时，对应的圆心角是平角（扇形刚好是半圆）. 当扇形的弧长与半径之比为当扇形的弧长与半径之比为弧度制的主要特点是只用数就可以表示角的大小，并不需要在弧度值的后面再弧度制的主要特点是只用数就可以表示角的大小，并不需要在弧度值的后面再加量纲（名数）。加量纲（名数）。 引入角的弧度制实际上是数学建模的过程，这种数学模型恰是关于几何图形的数学模型。12第十二页，共44页。方程是表现方程是表现(bioxin)等量关系的数学等量关系的数学模型模型 31 10 x“ ”那些我们(w men)所熟知的数学模型例例 一百匹马，一百块瓦，大马驮仨，小马一百匹马，一百块瓦，大马驮仨，小马(xio m)驮俩，马

9、仔俩驮驮俩，马仔俩驮一块。问大马、小马一块。问大马、小马(xio m)、马仔各几何。、马仔各几何。解解 设大马，小马，马仔分别为设大马，小马，马仔分别为1001321002xyzxyz5(20)32(100)3yxzx匹，应有匹，应有分别消去分别消去 和和 可得可得, ,x y zzy这是一个不完全方程组的求整数解问题这是一个不完全方程组的求整数解问题丢番图问题。丢番图问题。13第十三页，共44页。 “点点”、“面面”、“线线”抽象化的数学模型抽象化的数学模型那些我们(w men)所熟知的数学模型1726年，瑞士数学家欧拉（年，瑞士数学家欧拉（17011783）受聘于沙俄）受聘于沙俄(Sh )

10、科学院，科学院，后来出任数学部主任。后来出任数学部主任。1736年秋天，欧拉收到来自东普鲁士首都哥尼斯年秋天，欧拉收到来自东普鲁士首都哥尼斯堡（今属奥地利）的一封信，哥尼斯堡大学的学生在来信中向他请教的堡（今属奥地利）的一封信，哥尼斯堡大学的学生在来信中向他请教的是下面一个问题。是下面一个问题。 布勒格尔河横穿市区，哥尼斯堡大学的校园就坐落于新旧河道交汇处。校园附近有一个小岛，布勒格尔河横穿市区，哥尼斯堡大学的校园就坐落于新旧河道交汇处。校园附近有一个小岛，七座小桥分别连通着河岸、小岛和半岛。傍晚七座小桥分别连通着河岸、小岛和半岛。傍晚(bngwn)前后，学生们三三两两地散步于小岛前后，学生们

11、三三两两地散步于小岛上与河岸边。上与河岸边。 有人突发奇想，能不能在一个晚上走遍这七座桥而每座桥又都只通过一次呢？有人突发奇想，能不能在一个晚上走遍这七座桥而每座桥又都只通过一次呢？哥尼斯堡七桥哥尼斯堡七桥问题问题14第十四页，共44页。店主桥店主桥铁匠桥铁匠桥木桥木桥绿桥绿桥“馋嘴馋嘴”吉布莱茨桥吉布莱茨桥高桥高桥蜜桥蜜桥内福夫岛内福夫岛普雷盖尔河普雷盖尔河新河道新河道旧河道旧河道哥尼斯堡是条顿骑士在1380年建立的，作为日耳曼势力最东端的前哨达四百年之久。第二次世界大战以后，他被更名为加里宁格勒，成为前苏联最大的海军基地。今天(jntin)，哥尼斯堡位于立陶宛与波兰之间，加里宁格勒现仍属俄

12、罗斯。 15第十五页，共44页。CDBA作为一笔画过程，应该只有一个起点和一个终点作为一笔画过程，应该只有一个起点和一个终点(zhngdin)，并且起点和终点，并且起点和终点(zhngdin)应该是奇节点，而其它点都是通过点，并只能是偶节点应该是奇节点，而其它点都是通过点，并只能是偶节点欧拉在草纸上勾画出示意图。在他看来，问欧拉在草纸上勾画出示意图。在他看来，问题是否有可行的方案，与岛、半岛题是否有可行的方案，与岛、半岛(bndo)的大小无关，也与河岸上桥头的间隔及小桥的大小无关，也与河岸上桥头的间隔及小桥的长度无关。因而不妨将半岛的长度无关。因而不妨将半岛(bndo)、两、两侧河岸和小岛都缩

13、为一点，将各个小桥代之侧河岸和小岛都缩为一点，将各个小桥代之以线。以线。现在的问题是，能否现在的问题是，能否(nn fu)用一只铅笔从用一只铅笔从“结点结点”A、B、C、D之中的某一点开始，不抬笔地连续描完每一条线而之中的某一点开始，不抬笔地连续描完每一条线而不出现线路重复呢？不出现线路重复呢？ 类似这样的问题，后来被统称为类似这样的问题，后来被统称为“一笔画一笔画”问题。问题。 图中四个节点图中四个节点A、B、C、D都是奇节点。所以，这是一个不可行的都是奇节点。所以，这是一个不可行的一笔画问题。一笔画问题。 16第十六页，共44页。什么(shn me)是数学模型、数学建模n 一般地说，数学模

14、型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些(yxi)必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学模型数学模型数学数学(shxu)建模建模建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）17第十七页，共44页。对某个实际问题对某个实际问题了解的深入程度了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特模型中变量的特征征连续型模型、离散型模型或确定性连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等模型、随机型模型等建模中所用的数建模中所用的数学方法

15、学方法初等模型、微分方程模型、差分方初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等程模型、优化模型等研究课题的实际研究课题的实际范畴范畴人口模型、生人口模型、生 态系统模型态系统模型 、交通、交通流模型、经流模型、经 济模型、济模型、 基因模型等基因模型等18第十八页，共44页。2.如何(rh)数学建模？19第十九页，共44页。你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行航行(hngxng)(hngxng)问题问题”用用 x x 表示表示(biosh)(biosh)船速，船速，y y 表示表示(biosh)(biosh)水速，列出方程：水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船

16、速每小时答：船速每小时(xiosh)20(xiosh)20千米千米/ /小时小时(xiosh).(xiosh).甲乙两地相距甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，小时，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少小时，问船的速度是多少?x =20y =5求解求解20第二十页，共44页。航行航行(hngxng)问题建立数学模型的基本步骤问题建立数学模型的基本步骤n 作出必要的简化作出必要的简化(jinhu)假设（船速、水速为常数）；假设（船速、水速为常数）；n 用符号表示用符号表示(biosh)有关量（有关量（x, y表示表示(bios

17、h)船速和水速）；船速和水速）；n 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）；n 求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20, y=5）；）；n 回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米千米/小时）；小时）；21n 验证上述结果（用实际现象进行验证）验证上述结果（用实际现象进行验证）。第二十一页，共44页。几个(j )数学建模示例22第二十二页，共44页。例例1 1 椅子能在不平椅子能在不平(bpng)(bpng)的地面上的地面上放稳吗放稳吗问题问题(wnt)分分析析模模型

18、型(mxng)假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地n 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形;n 地面高度连续变化，任何方向都不会出现地面高度连续变化，任何方向都不会出现间断，即地面可视为数学上的连续曲面间断，即地面可视为数学上的连续曲面;n 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。同时着地。23第二十三页，共44页。n 椅子椅子(y zi)位置位置利用利用(lyng)正方形正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性xBADCOD C B A 用用 (对角

19、线与对角线与x轴的夹角轴的夹角(ji jio)表示椅表示椅子位置子位置n 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f( )B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( )两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性用数学语言把椅子位置和四用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来只脚着地的关系表示出来模型构成模型构成24第二十四页，共44页。用数学用数学(shxu)语言把椅子位语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出置和四只脚着地的

20、关系表示出来来f( ) , g( )是是连续函数连续函数对任意对任意 , f( ), g( )至少至少(zhsho)一个一个为为0数学数学(sh(shxuxu)问题问题已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在证明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置至椅子在任意位置至少三只脚着地少三只脚着地25第二十五页，共44页。模型模型(mxng)求解求解给出一种简单、粗糙的证明给出一种简单、粗糙的证明(zhngmn

21、g)方法方法将椅子旋转将椅子旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f(/2)=0 , g(/2)0.令令h()= f()g(), 则则h(0)0和和h(/2)0.由由 f, g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数, 据连续函数的基本性质据连续函数的基本性质, 必存必存在在(cnzi)0 , 使使h(0)=0, 即即f(0) = g(0) .因为因为f() g()=0, 所以所以f(0) = g(0) = 0.评注和思考评注和思考建模的关键建模的关键 假设条件的本质与非本质假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形

22、的椅子 和和 f( ), g( )的确定的确定26第二十六页，共44页。 数学数学(shxu)(shxu)建模的一般步骤建模的一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用模模型型准准备备了解了解(lioji)(lioji)实际背景实际背景明确明确(mngqu)(mngqu)建模目的建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个比较清晰比较清晰的的问题问题27第二十七页，共44页。模模型型假假设设针对针对(zhndu)问题特点和建模目的问题特点和建模目的作出合理的、简化作出合理的、简化(jinh

23、u)的假设的假设抓本质，在合理抓本质，在合理(hl)与简化之间作出折中与简化之间作出折中模模型型构构成成用数学的语言、符号描述问题内在规律用数学的语言、符号描述问题内在规律发挥想像力发挥想像力使用类比法使用类比法尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤28第二十八页，共44页。模型模型(mxng)求解求解各种数学方法各种数学方法(sh xu fn f)、软件和计算机技术、软件和计算机技术如结果的误差分析如结果的误差分析(fnx)、统计分析、统计分析(fnx)、模型对数据的稳定性分析模型对数据的稳定性分析(fnx)模型模型分析分析模型模型检验检验与实际现

24、象、数据比较，与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性检验模型的合理性、适用性模型应用模型应用 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤29第二十九页，共44页。例例2 2 商人们怎样商人们怎样(znyng)(znyng)安全过河安全过河问题(智力(zhl)游戏) 3名商人 3名随从河小船(至多2人)随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人(shngrn)多, 就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河30第三十页，

25、共44页。模型(mxng)构成xk第k次渡河前此岸(c n)的商人数yk第k次渡河前此岸(c n)的随从数xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,sk=(xk , yk)状态S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允许状态集合uk第k次渡船上的商人数vk第k次渡船上的随从数dk=(uk , vk)决策D=(u , v) u+v=1, 2 允许决策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2,sk+1=sk dk +(-1)k状态转移律求求dk D(k=1,2, n), 使使sk S按按转移律转移律由由s1=(3,3)到达到达sn+

26、1=(0,0).多步决策问题31第三十一页，共44页。模型(mxng)求解xy3322110 穷举法 编程上机图图解解法法状态(zhungti)s=(x,y) 16个格点 10个 点允许决策(juc)D 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.s1sn+1d1, d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法规格化方法, , 易于推广易于推广考虑考虑4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况d1d11允许状态SS=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2D=(u , v) u+v=1, 2 32适当地设置状态和决策，确定状态转移律，建

27、立多步决策模型，是有效解决此类问题的方法。第三十二页，共44页。数学数学(shxu)建模的全建模的全过程过程现实现实(xinsh)对象的信息对象的信息数学模型数学模型现实现实(xinsh)对象的解答对象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问题成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得

28、到的解答实践现现实实世世界界数数学学世世界界理论实践33第三十三页，共44页。思考(sko)与练习34第三十四页，共44页。 交通灯在绿灯转换成红灯时，有一交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态个过渡状态亮一段时间的黄灯。亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作用是什么，不难看出设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离，车辆仍将向前行

29、驶一段距离 L。这就。这就是说，在离街口距离为是说，在离街口距离为 L处存在着一条处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图停车线（尽管它没被画在地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。则应当保证它们仍能穿过马路。 马路的宽度马路的宽度 D是容易测得是容易测得 的，问题的关键在的，问题的关键在 于于L的的确定。为确定确定。为确定 L，还应当将，还应当将 L划分为两段：划分为两段：L1和和L2，其中其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程的反应时间内驶过的路程 ，L2

30、为刹车制动后车辆为刹车制动后车辆驶过的路程。驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对司机的平较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间均反应时间 t1早有测算，反应时间过长将考不出早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度驾照），而此街道的行驶速度 v 也是交管部门早也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而究，从而 L1=v*t1。刹车距离。刹车距离 L2既可用曲线拟合既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来 （ 留作留作习题）习题）。黄灯究竟应当亮多久现在已经变得

31、清楚多了。第一黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机停得应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即利穿过马路，即T 至少应当达到至少应当达到 （L+D）/v。 DL第三十五页，共44页。练习练习 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离。设两艇间距离(jl)为为60哩，潜水艇最大航速为哩，潜水艇最大航速为30节而巡逻艇

32、最大航速为节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。追赶潜水艇。 显然，这是一个显然，这是一个(y )对策问题，较为复杂。仅讨论以下简对策问题，较为复杂。仅讨论以下简单情形：单情形：敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即(lj)下潜，并沿着直线下潜，并沿着直线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。（追赶方案的设计）（追赶方案的设计） 设巡逻艇在设巡逻艇在A处发现位于处发现位于B处的潜水艇，处的潜水艇，取极坐标，以取极坐标，以B为极点，为极点，BA为极轴，设巡为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为r=r()，见图，见图1。BAA1drdsd图1第三十六页，共44页。3.为什么数学(shxu)建模？37第三十七页，共44页。 随着科学技术的迅速发展，数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、工作和社会活动中。例如： 电气工程师必须建立一个用于控制生产过程的数学模型，通过它的精确设计和计算来实现有效的过程控制； 气象工作者为得到准确的天气预报，需要依赖