相似综合题(解析汇报版)

1、相似综合题（解析版）一解答题（共35 小题）1（ 2017? 娄底）如图，在 Rt ABC中， ACB=90，以 BC为直径的 O交 AB 于点 D， E 是 AC的中点， OE交 CD于点 F（ 1）若 BCD=36， BC=10，求 的长；（ 2）判断直线 DE与 O的位置关系，并说明理由；2（3）求证： 2CE=AB? EF【考点】 S9：相似三角形的判定与性质；MB：直线与圆的位置关系菁优网版权所有【分析】（ 1）连接 OD，根据弧长公式，求出圆心角DOB即可解决问题；（ 2）欲证明 DE是切线，只要证明 OD DE即可；（ 3）首先证明 EF是 ADC的中位线，再证明 ACD ABC

2、即可解决问题；【解答】 解：（ 1）连接 OD BCD=36， DOB=72的长 = （2）连接 ODAE=EC， OB=OC，OE AB，CD AB，OE CD，OD=OC， DOE=COE，第1页（共 46页）在 EOD和 EOC中， EOD EOC， EDO=ECO=90，OD DE，DE是 O的切线（ 3） OE CD，DF=CF， AE=EC，AD=2EF， CAD=CAB， ADC= ACB=90， ACD ABC，2AC=AD? AB，AC=2CE，24CE=2EF? AB，22CE=EF? AB【点评】 本题考查相似三角形的判定和性质、 切线的判定、三角形的中位线定理、 全等三

3、角形的判定和性质等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线， 构造全等三角形解决问题， 属于中考常考题型2（ 2017? 攀枝花）如图， ABC中，以 BC为直径的 O交 AB于点 D， AE平分 BAC交 BC 于点 E，交 CD于点 F且 CE=CF（ 1）求证：直线 CA是 O的切线；（ 2）若 BD= DC，求的值【考点】 S9：相似三角形的判定与性质；ME：切线的判定与性质菁优网版权所有【分析】（ 1）若要证明直线CA是 O的切线，则只要证明ACB=90即可；（2）易证 ADF ACE，由相似三角形的性质以及结合已知条件即可求出的值【解答】 解：（ 1）证明： BC为直径， BDC=A

4、DC=90， 1+ 3=90AE平分 BAC， CE=CF， 1= 2， 4= 5， 2+ 3=90，第2页（共 46页） 3= 4， 2+ 5=90， ACB=90，即 AC BC，直线 CA是 O的切线；（ 2）由（ 1）可知， 1= 2， 3= 5， ADF ACE，BD=DC，tan ABC=， ABC+BAC=90， ACD+ BAC=90， ABC=ACD， tan ACD= ，sin=，ACD【点评】 本题考查了切线的判断和性质、 相似三角形的判断和性质、 圆周角定理以及三角函数的性质，熟记切线的判断和性质是解题的关键3（ 2017? 十堰）已知 AB为 O的直径， BC AB于

5、 B，且 BC=AB， D为半圆 O上的一点，连接 BD并延长交半圆 O的切线 AE于 E（1）如图 1，若 CD=CB，求证： CD是 O的切线；第3页（共 46页）（2）如图 2，若 F 点在 OB上，且 CD DF，求的值【考点】 S9：相似三角形的判定与性质；M2：垂径定理； ME：切线的判定与性质菁优网版权所有【分析】（ 1）连接 DO， CO，易证 CDO CBO，即可解题；（2）连接 AD，易证 ADF BDC和 ADE BDA，根据相似三角形对应边成比例的性质即可解题【解答】 解：（ 1）连接 DO， CO，BC AB于 B， ABC=90，在 CDO与 CBO中， CDO C

6、BO， CDO=CBO=90，OD CD，CD是 O的切线；（2）连接 AD，AB是直径， ADB=90， ADF+BDF=90， DAB+ DBA=90， BDF+BDC=90， CBD+ DBA=90， ADF=BDC， DAB= CBD，在 ADF和 BDC中， ADF BDC，第4页（共 46页）=， DAE+DAB=90， E+DAE=90， E= DAB，在 ADE和 BDA中， ADE BDA，=，=，即=，AB=BC，=1【点评】 本题考查了相似三角形的判定和性质，考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证和是解题的关键ADFBDCADE BDA4（ 2017? 广东）如图，是O

7、的直径，=4，点E为线段上一点（不与，B重ABABOBO合），作 CE OB，交 O于点 C，垂足为点E，作直径 CD，过点 C的切线交 DB的延长线于点P， AF PC于点 F，连接 CB（ 1）求证： CB是 ECP的平分线；（ 2）求证： CF=CE；（3）当=时，求劣弧的长度（结果保留）【考点】 S9：相似三角形的判定与性质；M2：垂径定理； MC：切线的性质； MN：弧长的计算 菁优网版权所有【分析】（ 1）根据等角的余角相等证明即可；（ 2）欲证明 CF=CE，只要证明 ACF ACE即可；（ 3）作 BM PF于 M则 CE=CM=CF，设 CE=CM=CF=4a， PC=4a，

8、 PM=a，利用相似三角形的性质求出 BM，求出 tan BCM的值即可解决问题；【解答】（ 1）证明： OC=OB， OCB=OBC，PF是 O的切线， CE AB， OCP=CEB=90， PCB+OCB=90， BCE+ OBC=90， BCE=BCP，第5页（共 46页）BC平分 PCE（2）证明：连接ACAB是直径， ACB=90， BCP+ACF=90， ACE+ BCE=90， BCP=BCE， ACF=ACE， F= AEC=90， AC=AC， ACF ACE，CF=CE（ 3）解：作 BM PF于 M则 CE=CM=CF，设 CE=CM=CF=3a， PC=4a，PM=a，

9、 BMC PMB，=，22BM=CM? PM=3a ，BM=a，tan BCM=， BCM=30， OCB=OBC= BOC=60，的长 =【点评】 本题考查切线的性质、 角平分线的判定、 全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型5（ 2017? 泰安）如图，四边形 ABCD中， AB=AC=AD，AC平分 BAD，点 P 是 AC延长线上一点，且 PD AD（ 1）证明： BDC= PDC；（ 2）若 AC与 BD相交于点 E，AB=1， CE： CP=2：3，求 AE的长第6页（

10、共 46页）【考点】 S9：相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】（ 1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出BDC= PDC；（ 2）首先过点 C作 CM PD于点 M，进而得出 CPM APD，求出 EC的长即可得出答案【解答】（ 1）证明： AB=AD， AC平分 BAD，AC BD， ACD+BDC=90，AC=AD， ACD=ADC， ADC+BDC=90， PD AD， ADC+PDC=90， BDC=PDC；（ 2）解：过点 C作 CM PD于点 M， BDC=PDC，CE=CM， CMP=ADP=90， P=P， CPM APD，=，设 CM=CE=x，CE： CP

11、=2： 3，PC=x，AB=AD=AC=1，=，解得： x=，故 AE=1=第7页（共 46页）【点评】 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，正确得出CPM APD是解题关键6（ 2017? 天水） ABC和 DEF是两个全等的等腰直角三角形，BAC= EDF=90， DEF的顶点E与的斜边的中点重合，将绕点E旋转，旋转过程中，线段与线ABCBCDEFDE段 AB相交于点 P，线段 EF与射线 CA相交于点 Q（ 1）如图，当点 Q在线段 AC上，且 AP=AQ时，求证： BPE CQE；（ 2）如图，当点 Q在线段 CA的延长线上时，求证： BPE CEQ；并求当

12、 BP=2，CQ=9时 BC的长【考点】 S9：相似三角形的判定与性质； KD：全等三角形的判定与性质； KW：等腰直角三角形； R2：旋转的性质 菁优网版权所有【分析】（1）由 ABC是等腰直角三角形，易得B= C=45， AB=AC，又由 AP=AQ，E 是 BC的中点，利用SAS，可证得： BPE CQE；（2）由 ABC和 DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得 B= C=DEF=45，然后利用三角形的外角的性质，即可得BEP= EQC，则可证得：BPE CEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，【解答】（ 1）证明：ABC是等腰直角三角形， B= C=4

13、5， AB=AC，AP=AQ，BP=CQ，E 是 BC的中点，BE=CE，在 BPE和 CQE中，第8页（共 46页）， BPE CQE（ SAS）；（2）解： ABC和 DEF是两个全等的等腰直角三角形， B= C= DEF=45， BEQ=EQC+ C，即 BEP+DEF= EQC+ C， BEP+45 = EQC+45， BEP=EQC， BPE CEQ，=，BP=2， CQ=9， BE=CE，2BE=CE=3，BC=6【点评】 此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理此题难度较大，注意数形结合思想的应用7（ 2017? 滨州）如图，点E

14、是的内心，的延长线交于点，交的外接圆ABCAEBCFABCO于点 D，连接 BD，过点 D作直线 DM，使 BDM= DAC（1）求证：直线DM是 O的切线；2（2）求证： DE=DF? DA【考点】 S9：相似三角形的判定与性质； M2：垂径定理； M5：圆周角定理； ME：切线的判定与性质； MI：三角形的内切圆与内心 菁优网版权所有【分析】（ 1）根据垂径定理的推论即可得到OD BC，再根据 BDM= DBC，即可判定 BCDM，第9页（共 46页）进而得到 ，据此可得直线是O的切线；OD DMDM（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到BED= EBD，即可得出 DB=DE，再判

15、定22DBF DAB，即可得到 DB=DF? DA，据此可得 DE=DF? DA【解答】 解：（ 1）如图所示，连接OD，点 E 是 ABC的内心，=，BADCAD = ，OD BC，又 BDM= DAC， DAC=DBC， BDM=DBC，BC DM，OD DM，直线 DM是 O的切线；（ 2）如图所示，连接 BE，点 E 是 ABC的内心， BAE=CAE= CBD， ABE= CBE， BAE+ABE= CBD+ CBE，即 BED=EBD，DB=DE， DBF=DAB， BDF= ADB， DBF DAB，2=，即 DB=DF? DA，2DE=DF? DA【点评】 本题主要考查了三角形

16、的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径， 垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角第 10 页（共 46 页）8（ 2017? 衢州）如图， AB为半圆 O的直径， C为 BA延长线上一点， CD切半圆 O于点 D，连接 OD作 BE CD于点 E，交半圆 O于点 F已知 CE=12， BE=9（ 1）求证： COD CBE（ 2）求半圆 O的半径 r 的长【考点】 S9：相似三角形的判定与性质；MC：切线的性质菁优网版权所有【分析】（ 1）由切线的性质和垂直的定义得出E=

17、90 = CDO，再由 C= C，得出 COD CBE（2）由勾股定理求出BC=15，由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案【解答】（ 1）证明： CD切半圆 O于点 D，CD OD， CDO=90，BE CD， E=90= CDO，又 C=C， COD CBE（2）解：在Rt BEC中， CE=12， BE=9，BC=15， COD CBE，即，解得： r =【点评】 本题考查了切线的性质、相似三角形的判定及其性质、勾股定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键9（ 2017? 黄冈）已知：如图，MN为 O的直径， ME是 O的弦， MD垂直于过点E 的直线DE，垂足为点D，且

18、 ME平分 DMN求证：（ 1）DE是 O的切线；2（2） ME=MD? MN第 11 页（共 46 页）【考点】 S9：相似三角形的判定与性质；ME：切线的判定与性质菁优网版权所有【分析】（ 1）求出 OE DM，求出 OEDE，根据切线的判定得出即可；（ 2）连接 EN，求出 MDE=MEN，求出 MDE MEN，根据相似三角形的判定得出即可【解答】 证明：（ 1） ME平分 DMN， OME=DME，OM=OE， OME=OEM， DME=OEM，OE DM，DM DE，OE DE，OE过 O，DE是 O的切线；（ 2）连接 EN，DM DE，MN为 O的直径， MDE=MEN=90，

19、NME=DME， MDE MEN，=，2ME=MD? MN【点评】 本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键10（ 2017? 阿坝州）如图，ABC 和 ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，BAC=DAE=90，点 P 为射线 BD， CE的交点（ 1）求证： BD=CE；（ 2）若 AB=2， AD=1，把 ADE绕点 A 旋转，当 EAC=90时，求 PB的长；第 12 页（共 46 页）【考点】 S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质； KW：等腰直角三角形； R2：旋转的性质 菁优网版权所有【分析】（

20、1）依据等腰三角形的性质得到AB=AC， AD=AE，依据同角的余角相等得到DAB=CAE，然后依据 SAS可证明 ADB AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到BD=CE；（2）分为点E在上和点E在的延长线上两种情况画出图形， 然后再证明，ABABPEBAEC最后依据相似三角形的性质进行证明即可【解答】 解：（ 1） ABC和 ADE是等腰直角三角形，BAC= DAE=90，AB=AC， AD=AE， DAB= CAE ADB AECBD=CE（2）解：当点E在 AB上时， BE=AB AE=1 EAC=90，CE=同（ 1）可证 ADB AEC DBA=ECA PEB=AEC， PEB

21、AEC=PB=当点 E 在 BA延长线上时， BE=3第 13 页（共 46 页） EAC=90，CE=同（ 1）可证 ADB AEC DBA=ECA BEP=CEA， PEB AEC=PB=综上所述， PB的长为或【点评】 本题主要考查的是旋转的性质、 等腰三角形的性质、 全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得 PEB AEC是解题的关键11（ 2017? 眉山）如图，点 E 是正方形 ABCD的边 BC延长线上一点，连结 DE，过顶点 B 作 BF DE，垂足为 F，BF分别交 AC于 H，交 CD于 G（1）求证： BG=DE；（2）若点 G为 CD的中点，求的值【考点】

22、S9：相似三角形的判定与性质； KD：全等三角形的判定与性质； LE：正方形的性质 菁优网版权所有【分析】（ 1）由于 BF DE，所以 GFD=90，从而可知CBG= CDE，根据全等三角形的判定即可证明 BCG DCE，从而可知BG=DE；（2）设 CG=1，从而知 CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，由易证 ABH CGH，所以，从而可求出HG的长度，进而求出的值【解答】 解：（ 1） BF DE， GFD=90， BCG=90， BGC= DGF， CBG=CDE，在 BCG与 DCE中，第 14 页（共 46 页） BCG DCE（ ASA），BG=DE，（ 2）设 CG=

23、1，G为 CD的中点，GD=CG=1，由（ 1）可知： BCG DCE（ ASA），CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，sin CDE=，GF=，AB CG， ABH CGH，= ，BH=， GH=，=【点评】 本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高，属于中等题型12（ 2017? 毕节市）如图，在 ?中 过点A作 ，垂足为，连接，为BE上ABCDAEDCEBE F一点，且 AFE= D（ 1）求证： ABF BEC；（ 2）若 AD=5， AB=8， sinD = ，求 AF的长【考点】 S9：相似三角形的判定

24、与性质；L5：平行四边形的性质；T7：解直角三角形菁优网版权所有【分析】（ 1）由平行四边形的性质得出ABCD， ADBC， AD=BC，得出 D+ C=180，ABF= BEC，证出 C= AFB，即可得出结论；（ 2）由勾股定理求出 BE，由三角函数求出 AE，再由相似三角形的性质求出 AF的长【解答】（ 1）证明：四边形 ABCD是平行四边形，AB CD，AD BC，AD=BC，第 15 页（共 46 页） D+ C=180， ABF=BEC， AFB+AFE=180， C= AFB， ABF BEC；（ 2）解： AE DC， AB DC， AED=BAE=90，在 Rt ABE中，根

25、据勾股定理得：BE=4，在 Rt ADE中， AE=AD? sinD =5 =4，BC=AD=5，由（ 1）得： ABF BEC，即，解得： AF=2【点评】 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键13（ 2017? 河池）（ 1）如图 1，在正方形ABCD中，点 E，F 分别在 BC，CD上， AE BF于点M，求证： AE=BF；（2）如图 2，将 （ 1）中的正方形 ABCD改为矩形 ABCD，AB=2，BC=3，AE BF于点 M，探究AE与 BF的数量关系，并证明你的结论【考点】 9：相似三角形的判定与性质；：全等三角形的

26、判定与性质；：正方形的性质 菁SKDLE优网版权所有【分析】（ 1）根据正方形的性质，可得与的关系，AB与的关系，根据两直线ABCCBC垂直，可得 AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得ABM与 BAM的关系，根据同角的余角相等，可得 BAM与 CBF的关系，根据ASA，可得 ABE BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；（ 2）根据矩形的性质得到 ABC= C，由余角的性质得到 BAM=CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】（ 1）证明：四边形 ABCD是正方形， ABC=C， AB=BCAE BF， AMB=BAM+ ABM=90， ABM+CBF=90， BAM=CBF

27、第 16 页（共 46 页）在 ABE和 BCF中， ABE BCF（ ASA），AE=BF；（2）解： AE=BF，理由：四边形ABCD是矩形， ABC=C，AE BF， AMB=BAM+ ABM=90， ABM+CBF=90， BAM=CBF， ABE BCF，=，AE=BF【点评】 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键14（ 2017? 常德）如图，直角ABC中， BAC=90， D 在 BC上，连接AD，作 BFAD分别交 AD于 E， AC于 F（1）如图 1，若 BD=BA，求证： ABE DBE；2（2）

28、如图 2，若 BD=4DC，取 AB的中点 G，连接 CG交 AD于 M，求证： GM=2MC； AG=AF? AC【考点】 S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】（ 1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）过 G作 GH AD交 BC于 H，由 AG=BG，得到 BH=DH，根据已知条件设DC=1，BD=4，得到 =2，根据平行线分线段成比例定理得到= =，求得=2；BH DHGM MC过C作 交的延长线于，则，根据相似三角形的性质得到= ，由CN ADADNCN AG知 GM=2MC，得到 2NC=AG，根据相似三角形的性质得到结论【解答】

29、 证明：（ 1）在Rt和Rt中，ABEDBE第 17 页（共 46 页） ABE DBE；（ 2）过 G作 GHAD交 BC于 H，AG=BG，BH=DH，BD=4DC，设 DC=1， BD=4，BH=DH=2，GH AD， = = ，GM=2MC；过 C作 CN AC交 AD的延长线于N，则 CN AG， AGM NCM，=，由知 GM=2MC， 2NC=AG， BAC=AEB=90， ABF=CAN=90 BAE， ACN BAF，=，AB=2AG，=， 2CN? AG=AF? AC，2AG=AF? AC【点评】 本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，

30、熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键15（ 2017? 绥化）如图，在矩形中，E为边上一点，平分，为的中ABCDABECDEB FCE点，连接 AF， BF，过点 E 作 EH BC分别交AF，CD于 G，H两点（ 1）求证： DE=DC；（ 2）求证： AF BF；（ 3）当 AF? GF=28 时，请直接写出 CE的长第 18 页（共 46 页）【考点】 S9：相似三角形的判定与性质； KD：全等三角形的判定与性质； LB：矩形的性质 菁优网版权所有【专题】 152：几何综合题【分析】（ 1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到DCE= DEC，进而得出DE=DC；（ 2）连

31、接 DF，根据等腰三角形的性质得出 DFC=90，再根据直角三角形斜边上中线的性质得出 BF=CF=EF= EC，再根据 SAS判定 ABF DCF，即可得出 AFB= DFC=90，据此可得 AF BF；（ 3）根据等角的余角相等可得BAF= FEH，再根据公共角EFG= AFE，即可判定EFG AFE，进而得出EF2=AF? GF=28，求得 EF=2，即可得到CE=2EF=4【解答】 解：（ 1）四边形ABCD是矩形，AB CD， DCE=CEB，EC平分 DEB， DEC=CEB， DCE=DEC，DE=DC；（2）如图，连接DF，DE=DC，F 为 CE的中点，DF EC， DFC=

32、90，在矩形 ABCD中， AB=DC， ABC=90，BF=CF=EF=EC， ABF=CEB， DCE=CEB， ABF=DCF，在 ABF和 DCF中，第 19 页（共 46 页）， ABF DCF（ SAS）， AFB=DFC=90，AF BF；（ 3） CE=4 理由如下： AF BF， BAF+ABF=90，EH BC， ABC=90， BEH=90， FEH+CEB=90， ABF=CEB， BAF=FEH， EFG=AFE， EFG AFE，2=，即 EF=AF? GF，AF? GF=28，EF=2，CE=2EF=4【点评】 本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角

33、形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线， 构造全等三角形 在判定两个三角形相似时， 应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用16（ 2016? 齐齐哈尔）如图，在 ABC中， AD BC， BE AC，垂足分别为 D， E，AD 与 BE 相交于点 F（ 1）求证： ACD BFD；（ 2）当 tan ABD=1， AC=3 时，求 BF的长【考点】 S9：相似三角形的判定与性质菁优网版权所有第 20 页（共 46 页）【分析】（ 1）由 C+ DBF=90， C+ DAC=90，推出 D

34、BF= DAC，由此即可证明（2）先证明AD=BD，由 ACD BFD，得=1，即可解决问题【解答】（ 1）证明： AD BC，BE AC， BDF=ADC= BEC=90， C+ DBF=90， C+ DAC=90， DBF=DAC， ACD BFD（ 2） tan ABD=1， ADB=90=1，AD=BD， ACD BFD， = =1， BF=AC=3【点评】 本题考查相似三角形的判定和性质、三角函数等知识， 解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型17（ 2017? 桂林）已知：如图，在ABC中， AB=BC=10，以 AB为直径作 O分别交 AC， BC于点 ，

35、，连接和，过点E作，垂足为，交于点 D EDEDBEFABFBDP（ 1）求证： AD=DE；（ 2）若 CE=2，求线段 CD的长；（ 3）在（ 2）的条件下，求 DPE的面积【考点】 S9：相似三角形的判定与性质； KH：等腰三角形的性质； KQ：勾股定理； M2：垂径定理 菁优网版权所有【分析】（ 1）根据圆周角定理可得ADB=90，再根据等腰三角形的性质可证AD=DE；（2）根据 AA可证 CED CAB，根据相似三角形的性质和已知条件可求CD；（3）延长 EF交 O于 M，在 Rt ABD中，根据勾股定理可求 BD，根据 AA可证 BPE BED，根据相似三角形的性质可求 BP，进一

36、步求得 DP，根据等高三角形面积比等于底边的比可得 S DPE： S BPE=13： 32，S BDE：S BCD=4： 5，再根据三角形面积公式即可求解第 21 页（共 46 页）【解答】（ 1）证明： AB是 O的直径， ADB=90，AB=BC，D是 AC的中点， ABD= CBD，AD=DE；（ 2）解：四边形 ABED内接于 O， CED=CAB， C= C， CED CAB，=，AB=BC=10， CE=2，D是 AC的中点，CD=；（3）解：延长EF交O于，M在 Rt ABD中， AD=， AB=10，BD=3，EM AB，AB是 O的直径， = ， BEP=EDB， BPE B

37、ED，=，BP=，DP=BD BP=，S DPE： S BPE=DP： BP=13： 32，S BCD= 3=15， S BDE：S BCD=BE： BC=4： 5，S BDE=12，S DPE=第 22 页（共 46 页）【点评】 考查了圆周角定理、 等腰三角形的性质、 相似三角形的判定与性质以及勾股定理的知识注意准确作出辅助线、掌握方程思想的应用是解此题的关键18（ 2017? 巴中）如图， AH是 O的直径， AE平分 FAH，交 O于点 E，过点 E 的直线 FG AF，垂足为 F， B为半径 OH上一点，点 E、 F 分别在矩形 ABCD的边 BC和 CD上（1）求证：直线是O的切线；FG（2）若 AF=12， BE=6，求的值【考点】 S9：相似三角形的判定与性质； LB：矩形的性质； ME：切线的判定与性质 菁优网版权所有【分析】（ 1）连接 OE，证明 FG是 O的切线，只要证明OEF=90即可；（2）先根据角平分线的性质得出EF=BE=6，再证明 ADF FCE，根据相似三角形对应边成比例得出=【解答】（ 1）证明：如图，连接OE，OA=OE， EAO=AEO，AE平分 FAH， EAO=FAE， FAE=AEO，AF OE， AFE+OEF=180，AF GF， AFE=OEF=90，OE GF，点 E 在圆上，