一道课本概率习题的推广

1、一道课本概率习题的推广个房间是等可能的，求指定的5个人员临时休息（N n ），假定每人可浙江省象山中学张宗余 315700在新教材第二册（下A）第141房间恰好进住1人的概率。页“排列、组合和概率”的小结与分析：每人有6个房间可供选复习中有这样一题“将并排的 5个 择，所以5个人住的方式有65种,房间安排给5个工作人员临时休指定的5个房间各有1人住，其可息，假定每人可以进入任一房间, 能总数为5人的全排列5！，于是且进入各个房间是等可能的，求每 个房间恰好进入1人的概率。”分纵向推广2:将上题中的“指定的析：由于每个人可以进入任一房间,5个房间恰好进住1人”改为“恰进入哪个房间有5种等可能的方

2、有5个房间各入住1人”，情况又如根据分步计数原理，5个人进5个房间共有55种等可能的方分析：题中的5个房间可以在每个房间中恰好各进去 1人,6个房间中任意选取，其总数有 d相当于对5个人进行全排列，其排种，对选定的5个房间，按上述的法的种数是5,，因此，每个房间恰分析可知有5!种分配方式，所以好进入1人的概率：P 2空。55625恰有5个房间入住1人的概率为纵向推广1:将并排的6个房间安排给5个工作人员临时休息，假定将纵向推广1推广到一般情况1 :每人可以进入任一房间，且进入各将并排的N个房间安排给n个工作以进入任一房间，且进入各个房间D CN n!N!Nn Nn N n!是等可能的，求指定的

3、 n个房间各注：这是一个古典概型中的一个恰好进住1人的概率。很典型的“分房问题”事实上不少分析：每人有n个房间可供选择,实际问题多可以归结为它的模型。所以n个人住的方式有Nn种，指定例如，若把人解释为质点，把房间的n个房间各有1人住，其可能总解释为相应空间中的小区域，这个数为n人的全排列n ！，于是问题就是统计物理学中的Maxwell-Boltzmann质点运动问题。将纵向推广2推广到一般情况2 :横向推广1：设有m个不同的质点,将并排的N个房间安排给n个工作每个质点以等可能落与M（ M m）人员临时休息（N n），假定每人可个空间小区域（每个小区域能容纳以进入任一房间，且进入各个房间的质点数

4、是没有限制的），求某预先是等可能的，求恰好有 n个房间,指定的m个空间小区域各含一个质其中各住1人的概率。点的概率。分析：每人有N个房间可供选择,分析：由推广到一般情况1的所以n个人住的方式有Nn种，题中结论得：P册。的n个房间可以在N个房间中任意横向推广2：设有r个人，r 365 ，选取，其总数有CN种，对选定的n并设每人的生日在一年 365天中的个房间，按上述的分析可知有n！每一天的可能性是均等的，问此r种分配方式，所以恰有 n个房间入个人有不同生日的概率是多少（武住 1 人的概率为汉理工大学2001年硕士研究生入学考试试题）分析：令r=2，利用引申的结论:分析：若把人解释为每人的生日,P

5、 ( A)=1 P ( A)=1 把房间解释为一年365天中的每一365!23652 365 2 !天，由推广到一般情况2的结论得:P C365 r!365!365r365r 365 r !.365 364 _ 1=I2 =。3652365注：当然这道例题本身并不需要365 364365 r 13651 211 1这么麻烦，而且方法较多。但对于365365365不同的一些r值，计算得相应的 P进一步引申：有r个人，（r 365 ），问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大分析：这个例子是概率论历史上有名的“生日问题”。如果直接求（A）比较麻烦，我们利用对立事件就转化为横向推广2所得的结论:A=r个人中至少有两个人的生日r102023304050P上表所列的答案是足以引起多数读者惊奇的，因为“一个班级中至少有两人的生日相同”这件事情发生的概率，并不如大多数人直觉中想象的那么小，而且相当大。由表可相同A=r个人中的生日全不相同就有半数以上的班级会发生这件事 365!rP(A)=1 P( A)=1 365'365 r !情，而当班级的人数达到 50时，竟以看出，当班级中的人数为 23时,有97%勺班级会发生上述的事情。应用：在新教材第二册（下A）第120页习题（6）一年