CT平行束和扇形束算法的转换学习教案

1、会计学1CT平行束和扇形束算法的转换平行束和扇形束算法的转换第一页，编辑于星期六：三点 二十五分。2第1页/共26页第二页，编辑于星期六：三点 二十五分。3PIIdni0ln1第2页/共26页第三页，编辑于星期六：三点 二十五分。4)sin,cos(),(FP中心切片定理中心切片定理: 二维图像的一维投影（线积分）的傅立叶变换，恰好等于图像本身的二维傅立叶变换的一个特定截面。第3页/共26页第四页，编辑于星期六：三点 二十五分。5 通过转动投影方向，可以得到各个方向上傅立叶变换的特定截面，从而获得整个二维平面的傅立叶变换，最后由傅立叶逆变换得到重建的图像第4页/共26页第五页，编辑于星期六：三

2、点 二十五分。6平行束图像重建),(sp),(P),(P),(Q),(Q),(sq第5页/共26页第六页，编辑于星期六：三点 二十五分。7 dudvevuFyxfvyuxi)(2),(),(将直角坐标（u，v）转换成极坐标（w, ）.cos wusin wvwwwvwvuwuJcossinsincos雅各比行列式为故wdwddudv 则20 0)sincos(2),(),(wdwdewFyxfyxiwpolar第6页/共26页第七页，编辑于星期六：三点 二十五分。8具体的推导 0)sincos(220 0)sincos(2),(),(),(),(),(),(ddeFyxfFFddeFyxfyx

3、ipolarpolarpolaryxipolar，所以因为根据中心切片定理，可以用P来代替F: 0)sincos(2),(),(ddePyxfyxi其中 是斜坡滤波器的传递函数第7页/共26页第八页，编辑于星期六：三点 二十五分。90sincos)sincos(2)(),(),()(dsqyxfdwewwPsqyxsyxiw则令滤波w背投影dwewdtetpsqiwsiwt22)()( 滤波：交换积分次序： dwdtewtpsqtsiw)(2)()(-)()(dttshtp卷积的形式dwewtshtsiw)(2)(卷积核最终的形式：第8页/共26页第九页，编辑于星期六：三点 二十五分。10第9

4、页/共26页第十页，编辑于星期六：三点 二十五分。11对与扇形束成像，我们并没有相应的中心切片定理。我们只好想个别的办法来推导扇形束的图像重建算法。这个办法就是把扇形束的成像问题转化成平行光束的成像问题，把平行光束图像重建的算法修正一下然后应用于解决扇形束的成像问题中。第10页/共26页第十一页，编辑于星期六：三点 二十五分。12第11页/共26页第十二页，编辑于星期六：三点 二十五分。13第12页/共26页第十三页，编辑于星期六：三点 二十五分。14),(r),cos(sincos,sin,cosryxryrx第13页/共26页第十四页，编辑于星期六：三点 二十五分。15),cos(sinc

5、os,sin,cosryxryrx 0)sincos(),(),(dsdsyxhspyxfdsdsrhsprf)cos(),(21),(20 第14页/共26页第十五页，编辑于星期六：三点 二十五分。16利用 将平行束的变量dsd换成扇形束的变量dd，其中雅克比因子为 ，这样可得sin,Ds cosDJ dsdsrhsprf)cos(),(21),(20 变成 20cos)sin)cos(),(21),(mmddDDrhgrf对这一部分利用几何关系化简第15页/共26页第十六页，编辑于星期六：三点 二十五分。17ddDDhgrfmm 20cos)sin(),(21),()sin(sincosc

6、ossinsin)sin(cossinsinsin)sin(cos)cos(sin)cos(DDDDrDDrrDr第16页/共26页第十七页，编辑于星期六：三点 二十五分。18斜坡滤波器卷积核的一个特殊性质：)(sin)sin(2hDDh证明过程如下：斜坡滤波卷积核的定义是dethti2)(ddDhDgrfmm 2022cos)()sin()(),(21),(不加窗时成立，加窗时会使重建不精确第17页/共26页第十八页，编辑于星期六：三点 二十五分。19ddDhDgrfmm 2022cos)()sin()(),(21),(202/2/2)(),()(cos)(1),(ddhgDrffan第18

7、页/共26页第十九页，编辑于星期六：三点 二十五分。20202/2/2)(),()(cos)(1)(r,ddhgDffan 假如我们现在想重建某点 的值，我们先确定一个，即确定了源的位置，由于重建点的位置也是确定的，故D和均为确定的值。然后用卷积核 对不同角的信号进行卷积。 当这个 角度的卷积完成后，我们对0-180所有角度的做一个积分，即背投影过程。 这就是扇形束的滤波背投影算法。),r（fanh第19页/共26页第二十页，编辑于星期六：三点 二十五分。21第20页/共26页第二十一页，编辑于星期六：三点 二十五分。22第21页/共26页第二十二页，编辑于星期六：三点 二十五分。23第22页/共26页第二十三页，编辑于星期六：三点 二十五分。24第23页/共26页第二十四页，编辑于星期六：三点 二十五分。25数据冗余条件第24页/共26页