第八章假设检验8.1,8.2

1、第八章第八章 假设检验假设检验第一节第一节 假设检验的基本思想和概念假设检验的基本思想和概念二、假设检验的相关概念二、假设检验的相关概念三、假设检验的一般步骤三、假设检验的一般步骤一、假设检验的基本思想一、假设检验的基本思想四、小结四、小结一、假设检验的基本思想一、假设检验的基本思想在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不知其参数的情况下知其参数的情况下, 为了推断总体的某些性质为了推断总体的某些性质, 提提出某些关于总体的假设出某些关于总体的假设.假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判断假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判断: 是接受是接受,

2、 还是拒绝还是拒绝.例如例如, 提出总体服从泊松分布的假设提出总体服从泊松分布的假设; . ,0假设等假设等的的期望等于期望等于对于正态总体提出数学对于正态总体提出数学又如又如 如何利用样本值对一个具体的假设进行检验如何利用样本值对一个具体的假设进行检验? 通常借助于直观分析和理通常借助于直观分析和理论分析相结合的做法论分析相结合的做法, 其基本原其基本原理就是人们在实际问题中经常理就是人们在实际问题中经常采用的所谓实际推断原理采用的所谓实际推断原理:“一一个小概率事件在一次试验中几个小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的乎是不可能发生的”。下面结合实例来说明假设检验的基本思想下面结合实例来

3、说明假设检验的基本思想.假设检验问题是统计推断的另一类重要问题假设检验问题是统计推断的另一类重要问题例例8-1 某车间用一台包装机包装味精某车间用一台包装机包装味精, 包得的袋装包得的袋装糖糖的的重量是一个随机变量重量是一个随机变量X, 它服从正态分布它服从正态分布N( , 0.0152).当机器正常时当机器正常时, 其均值其均值 =0.5=0.5千克千克. .某日开工后为检验包某日开工后为检验包装机是否正常装机是否正常, 随机地抽取它所包装的随机地抽取它所包装的袋装糖袋装糖9 9袋袋, 称称得净重为得净重为( (千克千克):): 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0

4、.511 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常问机器是否正常? ? 问题问题: 根据样本值判断根据样本值判断 . 0.5 0.5 还是还是问题问题: 根据样本值判断根据样本值判断 . 0.5 0.5 还是还是提出两个对立假设提出两个对立假设. : 5 . 0:0100 HH和和再利用已知样本作出判断是接受假设再利用已知样本作出判断是接受假设 H0 ( 拒绝假设拒绝假设 H1 ) , 还是拒绝假设还是拒绝假设 H0 (接受假设接受假设 H1 ). 如果作出的判断是接受如果

5、作出的判断是接受 H0, 即认为机器工作是正常的即认为机器工作是正常的; , 0 则则否则否则, 则认为是不正常的则认为是不正常的.由于要检验的假设为总体均值由于要检验的假设为总体均值, 故可借助于样本均值故可借助于样本均值来判断来判断. , 的无偏估计量的无偏估计量是是因为因为 X , | , 00不应太大不应太大则则为真为真所以若所以若 xH),1 , 0(/,00NnXH 为真时为真时当当 , /|00的大小的大小的大小可归结为衡量的大小可归结为衡量衡量衡量nxx 于是可以选定一个适当的正数于是可以选定一个适当的正数k, ,/ 00Hknxx拒绝假设拒绝假设时时满足满足当观察值当观察值

6、.,/ ,00Hknxx接受假设接受假设时时满足满足当观察值当观察值反之反之 由标准正态分布分位点的定义取由标准正态分布分位点的定义取/2,ku ),1 , 0(/00NnXH 为真时为真时因为当因为当. ,/ ,/02/002/0HunxHunx接受接受时时拒绝拒绝时时当当 0.05, 在实例中若取定在实例中若取定 0.015, , 9 n又已知又已知 0.511, x由样本算得由样本算得 1.96,2.2/ 0 nx 即有即有于是拒绝假设于是拒绝假设H0, 认为包装机工作不正常认为包装机工作不正常.假设检验过程如下假设检验过程如下:,96. 1 025. 02/ uuk 则则以上所采取的检

7、验法是符合实际推断原理的以上所采取的检验法是符合实际推断原理的 0.05, 0.01, , 一一般般取取总总是是取取得得很很小小由由于于通通常常. ,/ , , ,/ , ,2/002/000几乎是不会发生的几乎是不会发生的的观察值的观察值等式等式由一次试验得到满足不由一次试验得到满足不为真为真就可以认为如果就可以认为如果根据实际推断原理根据实际推断原理小概率事件小概率事件是一个是一个时时即即为真为真因而当因而当xunxHunXH . ,/ ,002/0HHxunx因而拒绝因而拒绝正确性正确性的的的假设的假设则我们有理由怀疑原来则我们有理由怀疑原来的观察值的观察值得到了满足不等式得到了满足不等

8、式在一次试验中在一次试验中 . , ,/ 002/0HHunxx因而只能接受因而只能接受没有理由拒绝假设没有理由拒绝假设则则满足不等式满足不等式若出现观察值若出现观察值 上述假设检验的判别转化为判断上述假设检验的判别转化为判断 在哪一在哪一个范围内取值：个范围内取值：/0nxu= = ， 2/u 若若 |u| |拒绝拒绝H0， 2/u 若若 |u| 不拒绝不拒绝H0二、假设检验的相关概念二、假设检验的相关概念1. 统计假设统计假设 在许多实际问题中在许多实际问题中,需要根据理论与经验对总体需要根据理论与经验对总体X的分布函数或其所含的一些参数作出某种假设的分布函数或其所含的一些参数作出某种假设

9、H0, 这种假设称为这种假设称为统计假设统计假设(简称简称假设假设)。 当统计假设当统计假设H0仅仅涉及总体分布的未知参数时仅仅涉及总体分布的未知参数时（如假设（如假设H0 ： =0.5）, 称之为称之为参数假设参数假设; 当统计假设当统计假设Ho涉及总体的分布函数形式时（如涉及总体的分布函数形式时（如假设假设H0 ：总体总体X服从泊松分布服从泊松分布）, 称之为称之为非参数假设非参数假设。2. 显著性水平显著性水平 / , , ,0来作决定。来作决定。还是小于还是小于值大于等于值大于等于的观察值的绝对的观察值的绝对然后按照统计量然后按照统计量定定就可以确就可以确数数后后选定选定当样本容量固定

10、时当样本容量固定时nxuu /2 u /2u /2, ,/000Hxnxu则我们拒绝则我们拒绝的差异是显著的的差异是显著的与与则称则称如果如果 u /2 .0之下作出的之下作出的著性水平著性水平在显在显有无显著差异的判断是有无显著差异的判断是与与上述关于上述关于 x.称为显著性水平称为显著性水平数数 , , ,/ ,000Hxnxu则我们接受则我们接受不显著的不显著的的差异是的差异是与与则称则称如果如果反之反之 u /23. 检验统计量检验统计量4. 原假设与备择假设原假设与备择假设. /0称为称为检验统计量检验统计量统计量统计量nXu . : , : 0100 HH检验假设检验假设 . ,

11、10称为称为备择假设备择假设称为称为原假设原假设或零假设或零假设HH5. 拒绝域与临界值拒绝域与临界值 当检验统计量取某个区域当检验统计量取某个区域C中的值时中的值时, 我们我们拒绝原假设拒绝原假设H0, 则称区域则称区域C为为拒绝域拒绝域(记为记为W), 拒拒绝域的边界点称为绝域的边界点称为临界值临界值或或临界点临界点.如在前面实例中如在前面实例中, 拒绝域为拒绝域为W= |2/ uu 2/2/ u和和u 临界值为临界值为6. 两类错误及记号两类错误及记号 假设检验的依据是假设检验的依据是: 小概率事件在一次试验中小概率事件在一次试验中很难发生很难发生, 但很难发生不等于不发生但很难发生不等

12、于不发生, 因而假设检验因而假设检验所作出的结论有可能是错误的所作出的结论有可能是错误的. 这种错误有两类这种错误有两类: (1) 当原假设当原假设H0为真为真, 观察值却落入拒绝域观察值却落入拒绝域, 而作而作出了拒绝出了拒绝H0的判断的判断, 称做称做第一类错误第一类错误, 又叫又叫拒真错误拒真错误, 这类错误是这类错误是“以真为假以真为假”. 犯第一类错误的概率是犯第一类错误的概率是显著性水平显著性水平. P |H0成立成立 = |2/ uu P(x1,x2,xn) W|H0成立成立 = 犯第二类错误的概率记为犯第二类错误的概率记为 (2) 当原假设当原假设 H0 不真不真, 而观察值却

13、落入接受域而观察值却落入接受域, 而作出了接受而作出了接受 H0 的判断的判断, 称做称做第二类错误第二类错误, 又叫又叫取取伪错误伪错误, 这类错误是这类错误是“以假为真以假为真”. 当样本容量当样本容量 n 一定时一定时, 若减少犯第一类错误的概若减少犯第一类错误的概率率, 则犯第二类错误的概率往往增大则犯第二类错误的概率往往增大. 若要使犯两类错误的概率都减小若要使犯两类错误的概率都减小, 除非增加样除非增加样本容量本容量.P |H1成立成立 = |2/ uu P(x1,x2,xn) W|H1成立成立 = 7. 显著性检验显著性检验 只对只对犯第一类错误的概率加以控制犯第一类错误的概率加

14、以控制, 而不考而不考虑犯第二类错误的概率的检验虑犯第二类错误的概率的检验, 称为称为显著性检验显著性检验.8. 双边备择假设与双边假设检验双边备择假设与双边假设检验. : , : , , , , : : 01000010100为为双边假设检验双边假设检验的假设检验称的假设检验称形如形如假设假设称为称为双边备择双边备择也可能小于也可能小于可能大于可能大于表示表示备择假设备择假设中中和和在在 HHHHH9. 右边检验与左边检验右边检验与左边检验右边检验与左边检验统称为右边检验与左边检验统称为单边检验单边检验. . : , : 0100称为称为右边检验右边检验的假设检验的假设检验形如形如 HH .

15、 : , : 0100称为称为左边检验左边检验的假设检验的假设检验形如形如 例例 某切割机在正常工作时某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长切割每段金属棒的平均长度为度为10.5cm, 标准差是标准差是0.15cm, 今从一批产品中随机的今从一批产品中随机的抽取抽取15段进行测量段进行测量, 其结果如下其结果如下:7 .102 .107 .105 .108 .106 .109 .102 .103 .103 .105 .104 .101 .106 .104 .10假定切割的长度服从正态分布假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变化且标准差没有变化, 试试问该机工作是否正常问该机工作是

16、否正常?)05. 0( 解解 0.15, , ),( 2 NX因为因为 5 .10:, 5 .10: 10 HH要检验假设要检验假设,15 n,48.10 x,05. 0 15/15. 05 .1048.10/ 0 nx 则则,516. 0 010.4810.5 /0.15/15xn ,516. 0 查表得查表得0.0251.96,u00.025 0.5161.96, /xun 拒绝域的形式为拒绝域的形式为W= )1( 2/ ntt 拒绝域为拒绝域为W= 在实际中在实际中, 正态总体的方差常为未知正态总体的方差常为未知, 所以常用所以常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检验问题检验法来检验

17、关于正态总体均值的检验问题.上述利用上述利用 t 统计量得出的检验法称为统计量得出的检验法称为t 检验法检验法.例例8-2 车辆厂生产的螺杆直径车辆厂生产的螺杆直径X服从正态分布服从正态分布N( ( , 2),),现从中抽取现从中抽取5 5支支, ,测得直径测得直径( (单位单位: :毫米毫米) )为为: : 22.3, 21.5, 22.0, 21.8, 21.4 22.3, 21.5, 22.0, 21.8, 21.4如果方差如果方差 2 2未知，试问直径均值未知，试问直径均值 =21=21是否成立？是否成立？)05. 0( 解解 , , ),( 22均为未知均为未知依题意依题意 NX5,

18、n 21.8,x ,05. 0 20.135s 0/xtsn 4.87 查表得查表得/20.025(1)(4)tnt 2.776 4.87t t故接受故接受H0，即平均长度是为，即平均长度是为10.5单个总体单个总体 均值均值的检验的检验)( ,. 22检验检验的检验的检验关于关于为未知为未知t 0 . /xun用来作为检验统计量),(2 N21., ()u 为为已已知知 关关于于 的的检检验验检检验验0 . /xtsn用来作为检验统计量二、单个总体二、单个总体 的方差情况的方差情况),(2 N , , ),( 22均为未知均为未知设总体设总体 NX , : , : 20212020 HH要求

19、检验假设要求检验假设: . 0为已知常数为已知常数其中其中 , 0为真时为真时当当H 1,1 ,1 202或或过过分分小小于于不不应应过过分分大大于于附附近近摆摆动动在在比比值值 s12, , nxxxX为来自总体的样本为来自总体的样本 , 22的无偏估计的无偏估计是是由于由于 s根据根据第六章定理第六章定理6.26.2（P131）),1()1( ,22020 nsnHc c 为真时为真时当当 , )1( 2022作为统计量作为统计量取取 c csn , 给定显著水平为给定显著水平为)1(22/1和和 n )1(22/ n c cc c查附表查附表4 4可得可得22221/2/2(1)(1)/

20、2PnPncccccccc 从而得拒绝域为从而得拒绝域为:220(1)0 ns )1(22/1 n c c )1( 202 sn或或. )1(22/ n c c例例 某厂生产的某种型号的电池某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以来服从其寿命长期以来服从方差方差 =5000 (小时小时2) 的正态分布的正态分布, 现有一批这种电池现有一批这种电池, 从它生产情况来看从它生产情况来看, 寿命的波动性有所变化寿命的波动性有所变化. 现随机的取现随机的取26只电池只电池, 测出其寿命的样本方差测出其寿命的样本方差 =9200(小时小时2). 问根问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化有显著的变化?解解 ,5000: