Ch5矩阵的相似与相合

1、第五章第五章 矩阵的相似与相合矩阵的相似与相合21. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量3说明说明1. 0, . x 特特征征向向量量特特征征值值问问题题是是对对方方阵阵而而言言的的一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念 , , , , 1 .AnnxAxxAxA 设设是是阶阶矩矩阵阵如如果果数数和和维维非非零零列列向向量量使使关关系系式式成成立立那那末末这这样样的的数数称称为为方方阵阵的的非非零零向向量量称称为为的的特特征征定定义义对对应应于于特特征征值值的的值值特特征征向向量量2. ,xA 若若向向量量是是的的对对应应于于特特征征值值的的特特征征向向量量 (0) .

2、kx kA 则则也也是是的的对对应应于于特特征征值值的的特特征征向向量量 且且 对对应应特特征征向向量量的的非非零零线线性性组组合合也也是是的的特特征征向向量量. .44. 0 IA 1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa 0 . nIAA称称以以为为未未知知数数的的一一元元次次方方程程方方阵阵的的特特征征方方程程为为 ( ), , .fIAnA记记它它是是的的次次方方阵阵的的特特征征多多式式称称其其为为项项式式多多项项3. , ()0 , 0 .nAIA xIAA 阶阶方方阵阵的的特特征征值值就就是是使使齐齐次次线线性性方方程程组组有有非非零零解解的的值值即即满满足足方方程

3、程的的都都是是矩矩阵阵的的特特征征值值51101. 430 . 102A 例例求求的的特特征征值值和和所所有有的的特特征征向向量量 2 110430(2)(1) , 102AIA 的的特特征征多多项项式式为为123 2, 1. A 所所以以的的特特征征值值为为1 2 , (2)0. IA x 当当时时解解方方程程由由解解:63101002410010100000IA 10 0 , 1p 得得基基础础解解系系11 (0) 2 . kp k 所所以以是是对对应应于于的的全全部部特特征征向向量量23 1 , ()0. IA x 当当时时解解方方程程由由210101420012 ,101000IA 7

4、21 2 , 1p 得得基基础础解解系系223 (0) 1 .kp k 所所以以是是对对应应于于的的全全部部特特征征向向量量82112. 020 , . 413AA 例例求求的的特特征征值值与与所所有有的的特特征征向向量量 211020413IA 2(1)(2) , 123 1, 2. A 得得的的特特征征值值为为1 1 , ()0. IA x 当当时时解解方方程程由由解解: :9111111030010,414000IA 11 0 , 1p 得得基基础础解解系系1 1 故故对对应应于于的的全全体体特特征征向向量量为为1 (0). kpk 1 1 , ()0. IA x 当当时时解解方方程程由

5、由1023 2 , (2)0. IA x 当当时时解解方方程程由由4114112000000,411000IA 得基础解系为得基础解系为：23011, 0 , 14pp 23 2 : 所所以以对对应应于于的的全全部部特特征征向向量量为为223323 (,0). k pk pkk 不不同同时时为为线性代数11 , .1. TAnAA设设是是阶阶方方阵阵 则则 与与的的特特征征性性值值相相同同质质( )TTAfIA ()TIA IA : .TnAA由由此此例例可可得得阶阶方方阵阵与与其其转转置置阵阵有有相相同同的的特特征征多多项项式式和和特特征征值值二、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量的

6、性质( ).Af 1212 () ,2., ijnnAa 设设阶阶方方阵阵的的特特征征值值质质为为性性121122(1);nnnaaa 12(2).nA 则则有有A的主对角元的的主对角元的和称为和称为A的迹，的迹，记记tr(A) 0 nAA设设阶阶方方阵阵可可逆逆的的充充要要条条件件是是 不不是是 的的特特征征推推值值. .论论 13证证()() A AxAx ( (2 2) )22, A xx , mmmA xx （是是正正整整数数）11 , (1) , (2) ( )(3) (2)3. mmAAAAmm 若若是是的的特特征征值值则则当当可可逆逆时时是是的的特特征征值值；是是的的特特征征值值

7、是是任任意意正正整整数数 ；结结论论对对为为任任意意负负整整性性质质数数也也成成立立. .()Ax (), x Axx 由由可可得得111()(), AAxAxA x 11, A xx (1) , 0, A 当当可可逆逆时时1=(), mmmAA ( (3 3) )当当 是是负负整整数数时时, ,1).mmmA因因此此(=(=是是的的特特征征值值14 , . ( )( )( ). AxA 一一般般地地，若若是是的的特特征征值值且且为为一一个个多多项项式式, , 则则为为的的特特征征值值注注2121 1,1,2, 2-4 2-4 . 3. AAAIAAI 例例已已知知三三阶阶方方阵阵 的的特特征

8、征值值为为求求的的特特征征值值及及. 解解212-4AAI 的的特特征征值值为为21( 1)2( 1)4=5 ，2112(1)4=1 21(2)2(2)4=1 212-4 =(-5)( 1) 15.AAI 故故2012( ),mmxaa xa xa x 其其中中2012( ).mmAa Ia Aa Aa A 11121222 1,2, , ppiiippiiAAAAAAAnAAAip 性性质质4 4()()分分块块上上()()三三角角阵阵= =为为 阶阶方方阵阵, ,则则所所有有特特征征值值恰恰为为 的的下下全全部部特特征征值值. .1612121212 , , ,1, . , , , . m

9、mmmAmpppppp 设设是是方方阵阵的的个个特特征征值值依依次次是是与与之之对对应应的的特特征征向向量量如如果果各各不不相相等等则则线线性性无无关关定定理理注意注意1.属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的.2.2.属于同一特征值的特征向量的非零线性属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量矩阵矩阵-树；特征值树；特征值-树枝；特征向量树枝；特征向量-树叶树叶.它它们们的的特特征征个个不不同同的的特特征征值值有有证证：设设方方阵阵,:21mmA 使使。现现设设有有常常数数向向量量分分别别为为mmxxx

10、ppp,:2121 AmmOpxpxpx等等式式两两边边左左乘乘2211 OAOpxpxpxAmm)(2211OApxApxApxmm )()()(2211Opxpxpxmmm )()()(222111 AmmmOpxpxpx等等式式两两边边再再左左乘乘)()()(222111 AmmmOpxpxpx等等式式两两边边再再左左乘乘)()()(222221121 )1, 2 , 1()()()(222111 mkOpxpxpxmmkmkk 的形式：的形式：把上列各式合写成矩阵把上列各式合写成矩阵 ),(111),(11221112211OOOpxpxpxmmmmmmm 由范德蒙行列式由范德蒙行列式

11、各各不不相相同同因因为为), 2 , 1(mii ),(),(2211OOOpxpxpxmm 左左式式第第二二个个矩矩阵阵可可逆逆 OpmiOpxiii但特征向量但特征向量所以有：所以有：), 2 , 1(线线性性无无关关。mipppmix,), 2 , 1(021 192. 矩阵的对角化矩阵的对角化20一、相似矩阵与相似变换的概念一、相似矩阵与相似变换的概念-1-1 , , , , , . , .1A BnPP APBBAABAP APAPAB 设设都都是是阶阶矩矩阵阵若若有有可可逆逆矩矩阵阵使使则则称称是是的的或或说说矩矩阵阵与与相相似似对对进进行行运运算算称称为为相相似似矩矩阵阵对对进进

12、行行可可逆逆矩矩阵阵称称为为把把变变相相似似变变换换相相似似变变成成的的定定换换矩矩阵阵义义21证明证明 , AB与与相相似似11()IBPI PP AP 1()PIA P 1PIA P .IA 1 , , PPAPB 存存在在可可逆逆阵阵使使得得 , , .1.nABABAB若若阶阶矩矩阵阵与与相相似似则则与与的的特特征征多多项项式式相相同同从从而而与与的的特特定定反反征征值值亦亦相相同同之之不不真真理理证毕证毕注注: 这里这里A,B的特征向量未必相同的特征向量未必相同.1, (), AxxAP Pxx 若若则则11111()()(), ()().PAPPxPxB PxPx 即即或或22(1

13、) , det( )det( ), ( )( ); ABABtr Atr B 与与相相似似则则11 (2) , , , ;ABABAB 若若与与相相似似 且且可可逆逆 则则也也可可逆逆且且与与相相似似 (3) , , ; ABkAkBk与与相相似似 则则与与相相似似为为常常数数 (4) , ( ) , ( ) ( ) .ABf xf Af B若若与与相相似似 而而是是一一多多项项式式 则则与与相相似似注注111 ().mmmPPAPBBPAPPA P 因因为为当当矩矩阵阵 满满足足时时，2312n 12, , . nAn 相相似似则则即即是是的的个个特特征征值值 nA若若阶阶方方阵阵与与对对角

14、角阵阵推推论论1 (1) , , , .nAPP APA 对对阶阶方方阵阵若若可可找找到到可可逆逆矩矩阵阵使使得得为为对对角角阵阵这这就就称称为为方方阵阵注注对对角角化化把把 (2) . 并并非非所所有有方方阵阵都都可可以以对对角角化化24( )( ), |.tr Atr BAB 由由得得212,200100 22020 .3100abcabc 1,2(2)4.abab 0, 1.ab 解解得得1, 0.ab 或或200100. 22 0203100, , .AaBbca b 例例1 1 如如果果矩矩阵阵与与相相似似求求的的值值25证证1 , , PP AP 假假设设存存在在可可逆逆阵阵使使为

15、为对对角角阵阵12 (,). nPPp pp 把把用用其其列列向向量量表表示示为为二、方阵可对角化的条件二、方阵可对角化的条件 ( ) 2 .nAAAn阶阶矩矩阵阵与与对对角角矩矩阵阵相相似似 即即能能对对角角化化 的的充充分分必必要要条条件件是是有有个个线线性性无无关关的的特特定定征征向向量量理理26121212 (,)(,) nnnA p ppp pp 即即1122(,).nnppp 1212(,)(,) nnA p ppAp ApAp , (1,2, ). iiiAppin 于于是是有有1122(,).nnppp 1 , , P APAPP 由由得得27 , .iiiAPpA 可可见见是

16、是的的特特征征值值而而的的列列向向量量就就是是的的对对应应于于特特征征值值的的特特征征向向量量12 , , . nPp pp 又又由由于于可可逆逆 所所以以线线性性无无关关得证得证 , , , , .AnnnPAPP反反之之由由于于恰恰好好有有个个特特征征值值并并可可对对应应地地求求得得个个特特征征向向量量这这个个特特征征向向量量即即可可构构成成矩矩阵阵使使28 , . nAnA如如果果阶阶矩矩阵阵的的个个特特征征值值互互不不相相等等则则与与对对角角阵阵相相似似推推论论 , , ; , . AnAnA如如果果的的特特征征方方程程有有重重根根此此时时不不一一定定有有个个线线性性无无关关的的特特征

17、征向向量量从从而而不不一一定定能能对对角角化化但但如如果果能能找找到到个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量还还是是能能对对角角化化说说明明 ().iiiinAmsArIAns 若若 阶阶方方阵阵有有个个不不同同的的特特征征值值，且且特特征征值值 的的重重数数为为 ， 则则 可可对对角角化化的的充充要要条条件件为为定定理理291104601. 350 , : ? 361 (1) , , . AAPP APA 例例设设问问能能否否对对角角化化若若能能对对角角化化 求求出出可可逆逆阵阵使使为为对对角角阵阵; ;( (2 2) ) 求求 460350361IA 2(1) (2) 123 1, 2.

18、 A 所所以以的的全全部部特特征征值值为为3012 1 ()0 IA x 将将代代入入得得方方程程组组121212360,360,360.xxxxxx 解之得基础解系解之得基础解系121 ,0 200 .1 3 2 ()0, IA x 将将代代入入得得方方程程组组的的基基础础解解系系123 , . 由由于于线线性性无无关关所以所以 A 可对角化可对角化.311 ,1 31注意注意312120101 (,01,1) P 若若令令1100 001.020PAP 则则有有即矩阵即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应相互对应11 00 0 10 .0

19、02P AP 则则有有1232 01 ( , ,)101 ,011P 令令11 00 0 10.0 02P AP 则则有有1232 01 ( , ,)101 ,011P 令令10101102 011 0011 0 1010 1012 10110 0 2120APP 1011101110112 22 201 21 201 2221 线性代数33定理定理1对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数.三、实对称矩阵的对角化三、实对称矩阵的对角化定理定理1 1的意义的意义 , ()0, 0 , .iiiAIA xIA 由由于于对对称称矩矩阵阵的的特特征征值值为为实实数数所所以以齐齐次次线线性性方方程

20、程组组是是实实系系数数方方程程组组由由知知必必有有实实的的基基础础解解系系从从而而对对应应的的特特征征向向量量可可以以取取实实向向量量1)()()0(xxxxxAxxAxxxAx 则则证证：设设),()()(AAAAAxAxxAxxAx 实实对对称称又又)()()()()()(是是数数 xxxxxxxAxxxA 0)(0)2()1()2( xxxxxxxx 为为实实数数。 002xxx 是是实实系系数数方方程程皆皆为为实实数数时时当当特特征征值值OxEAii)( 实实向向量量。所所以以对对应应的的特特征征向向量量为为必必有有实实的的基基础础解解系系 ,说明说明: : n n阶方阵阶方阵A A在

21、复数范围内恒有在复数范围内恒有n n个特征值个特征值( (重根按重数计算重根按重数计算), ), 而而n n 阶实阶实对称矩阵则有对称矩阵则有n n个实特征值个实特征值( (重根按重数计算重根按重数计算) )线性代数3512121212 , , , , , 2 .Apppp 设设是是对对称称矩矩阵阵的的两两个个特特征征值值是是对对应应的的特特征征向向量量若若则则与与定定正正交交理理实对称矩阵 A 的不同特征值的特征向量正交.即:,222111PAPPAP若21则1P与2P正交.APAPAPPP1111111)()( 21222121211PPPPAPPPP 0)(2121 PP 从从而而。正正

22、交交与与即即由由于于2121210,PPPP 1 , , , .3AnPPAPAn 定定设设为为阶阶对对称称矩矩阵阵则则必必有有正正交交矩矩阵阵使使其其中中是是以以的的个个特特征征值值为为对对角角元元素素的的对对角角矩矩阵阵理理定理设 A 为 n 阶对称阵, 是 A 的特征方程的 r 重根,则特征向量所对应的方程组：(A-I)X=0满足：R(A-I)=n-r,从而方程组(A-I)X=0 的基础解系中恰有 r 个解向量rPPP,21这 r 个线性无关向量就是的特征向量.(证略)ssrrrA,2121重重数数依依次次为为的的特特征征值值为为证证：设设 )(nrrrs21量量，个个线线性性无无关关的

23、的实实特特征征向向恰恰有有对对应应特特征征值值isii), 2 , 1( 由由个个单单位位正正交交的的特特征征向向量量就就可可得得把把它它们们正正交交化化并并单单位位化化,ir.个这样的特征向量共有nnrrrs21个个单单位位特特征征所所以以这这特特征征向向量量正正交交知知对对应应于于不不同同特特征征值值的的n,并并有有构构成成正正交交矩矩阵阵于于是是可可以以它它们们为为列列向向量量向向量量两两两两正正交交,P里里面面可可的的特特征征值值为为。为为说说明明方方便便记记(,211nAAPP nPPP,),21：所所对对应应的的特特征征列列向向量量为为能能有有相相同同的的),(),(),(2211

24、2121nnnnPPPAPAPAPPPPA 。 APPAPPPPPnn12121),( AAAT1注：因为正交阵满足PP AP 所以定理也可写为：存在正交阵使线性代数40利用正交矩阵将对称矩阵利用正交矩阵将对称矩阵 A 化为对角矩阵化为对角矩阵, 五、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法五、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法(3) 将特征向量正交化将特征向量正交化, 单位化单位化;(4) 将第将第(3)步所得的向量构成正交阵步所得的向量构成正交阵 P, 即有即有 (2) ()0, ;iiIA xA 由由求求出出的的对对应应于于的的线线性性无无关关的的特特征征向向量量(1) ; A求求的的特特征征

25、值值其具体步骤为其具体步骤为:1.P AP 线性代数4122021202IA (4)(1)(2) 0 123 4, 1, 2. 得得220212 . 020A 1. , , .PP AP 例例2 2 对对下下列列对对称称矩矩阵阵 试试求求正正交交矩矩阵阵使使为为对对角角阵阵(1) 第一步第一步 求求 A 的特征值的特征值线性代数42 ()0, 2iIA xA 第第二二步步 由由求求出出的的特特征征向向量量1 4, (4)0, IA x 对对由由得得1212323220,2320,240.xxxxxxx 解得基础解系解得基础解系 122.1 2 1, ()0, IA x 对对由由得得121323

26、20,220,20.xxxxxx 解得基础解系解得基础解系221.2 3 2, (2)0, IA x 对对由由得得1212323420,2320,220.xxxxxxx 解得基础解系解得基础解系312 .2 线性代数43(3) (3) 第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化, 单位化单位化123123 , 3 ,A 由由于于是是属属于于的的个个不不同同特特征征值值 , 1,2,3.iiii 令令1232,313 得得2231,323 3132.323 , .的的特特征征向向量量 故故它它们们必必两两两两正正交交122.1 221.2 312 .2 线性代数44123221333212(

27、,),333122333P 作作1400010.002P AP 则则(4) (4) 第四步第四步 将上述向量构成正交阵将上述向量构成正交阵例例3 教材教材P141 例例5.2.4线性代数453. 二次型及其标准型二次型及其标准型线性代数46一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念22212111222(,) nnnnf x xxa xa xa x称为称为二次型二次型. .12 , 1nnx xx含含有有个个变变量量的的二二义义次次齐齐次次函函数数定定 , ; ijaf复复二二当当是是复复数数时时次次型型称称为为 , .ijaf当当是是实实数数时时称称为为实实二二次次型型121213

28、131,1222nnnna x xa x xaxx 线性代数47只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型2221122nnfk yk yk y 称为二次型的称为二次型的标准形标准形(或或法式法式).例如例如22212312313(,)2454;f x x xxxxx x 都为二次型都为二次型；222123123( ,)44f x x xxxx 为二次型的标准形为二次型的标准形. .123121323(,).f x x xx xx xx x 线性代数481. 用和号表示用和号表示22212111222(,)nnnnf x xxa xa xa x 对二次型对二次型 ,jiijaa 取取 2,iji

29、jijijjiija x xa x xa x x 则则于于是是2111121211nnfa xa x xa x x ,1. nijiji ja x x 2212122222nna x xa xax x 21122nnnnnnna x xa x xa x 二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法121213131,1222nnnna x xa x xaxx 线性代数49 , .Tfx AxA 则则二二次次型型可可记记作作其其中中为为对对称称矩矩阵阵11121112222212 , ,nnnnnnnaaaxaaaxAxaaax 记记1112111222221212(,)nnnnnnnnaaaxaa

30、axx xxaaax 22212111222(,) nnnnf x xxa xa xa x121213131,1222nnnna x xa x xaxx 2. 用矩阵表示用矩阵表示线性代数502221231223. 2346.fxxxx xx x 例例1 1写写出出二二次次型型的的矩矩阵阵A 123xxx123xxx120223 03 3 线性代数51三、二次型的矩阵及秩三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中在二次型的矩阵表示中, 任给一个二次型任给一个二次型, 就唯一地确定一个对称矩阵就唯一地确定一个对称矩阵; 反之反之, 任给一个对任给一个对称矩阵称矩阵, 也可唯一地确定一个二次型也可唯

31、一地确定一个二次型. 这样这样, 二二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系. ;Af对对称称矩矩阵阵叫叫做做二二次次型型的的矩矩阵阵 ;fA叫叫做做对对称称矩矩阵阵的的二二次次型型 .Af对对称称矩矩阵阵的的秩秩叫叫做做二二次次型型的的秩秩线性代数522221021?xxyy 在在平平面面上上表表示示什什么么曲曲线线四、化二次型为标准形四、化二次型为标准形引例：引例：2222222222 731.xuvOxyOuvyuvvu坐坐标标系系逆逆时时针针( (2 2) )令令旋旋转转4 45 5 得得坐坐标标系系得得 22521, , 2122u xy vyuv

32、( (1 1) )令令 = = + +得得曲线为双曲线！曲线为双曲线！双曲线？双曲线？线性代数5311111221221122221122,.nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy 设设四、化二次型为标准形四、化二次型为标准形对于二次型对于二次型, 我们讨论的主要问题是我们讨论的主要问题是: 寻求可逆的线性变换寻求可逆的线性变换, 将二次型化为标准形将二次型化为标准形. (),ijCc 记记则则上上述述可可逆逆线线性性变变换换可可记记作作.xCy Tfx Ax , Tfx Ax 将将其其代代入入有有() .TTy C AC y ()()TCyA Cy 线性代

33、数54说明说明2221122()TTnnyC AC yk yk yk y 2 , .fxCy 要要使使二二次次型型经经可可逆逆变变换换变变成成标标准准形形 就就是是要要使使112212(,),nnnkykyyyyky .TC AC也也就就是是要要使使成成为为对对角角矩矩阵阵 1 , , ;T. xCyfABC AC 二二次次型型经经可可逆逆变变换换后后其其秩秩不不变变但但的的矩矩阵阵由由变变为为线性代数551 , , , . , TAPPAPP AP 由由于于对对任任意意的的实实对对称称矩矩阵阵总总有有正正交交矩矩阵阵使使即即把把此此结结论论应应用用于于二二次次型型有有,1 2(), niji

34、jijjii jfa x x aa 任任给给二二次次型型定定总总有有理理2221122,nnfyyy 12 , () .nijfAa 其其中中是是的的矩矩阵阵的的特特征征值值 , xPyf 正正交交变变换换使使化化为为标标准准形形线性代数561. , ;Tfx AxA 将将二二次次型型写写成成矩矩阵阵形形式式求求出出122. ,;nA 求求出出的的所所有有特特征征值值123. ,;n 求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特征征向向量量1212124. , , , , , , (, , );nnnpppPppp 将将特特征征向向量量正正交交化化 单单位位化化 得得记记22211225. , .

35、nnxPyffyyy 作作正正交交变变换换则则得得的的标标准准形形用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤线性代数571. 写出对应的二次型矩阵写出对应的二次型矩阵, 并求其特征值并求其特征值101011 ,112A 101011112IA (1)(3) 2221231231323. (,)222 ,.f xxxxxxx xx x 例例2 2用用正正交交变变换换把把下下列列二二次次型型化化为为标标准准形形并并写写出出所所用用的的正正交交变变换换矩矩阵阵从而得特征值从而得特征值1230, 1,3. 线性代数58从而得特征值从而得特征值1 0 ()0, IA x 将

36、将代代入入得得基基础础解解系系2. 求特征向量求特征向量2 1 ()0, IA x 将将代代入入得得基基础础解解系系111;1 1230, 1,3. 211;0 2 3 ()0, IA x 将将代代入入得得基基础础解解系系311 ;2 线性代数593. 将特征向量正交化将特征向量正交化111,1 211,0 3112 特征向量特征向量已是已是正交向量组正交向量组,4. 将正交向量组单位化将正交向量组单位化, 得正交矩阵得正交矩阵P1111p 131,313 2221p 121,20 线性代数604. 将正交向量组单位化将正交向量组单位化, 得正交矩阵得正交矩阵P1111p 131,313 22

37、21p 121,20 3331p 161,626 3112 线性代数614. 将正交向量组单位化将正交向量组单位化, 得正交矩阵得正交矩阵P1131,313p 2121,20p 3161,626p 得正交矩阵得正交矩阵111326111,32612036P 线性代数62于是所求正交变换为于是所求正交变换为112233111326111,32612036xyxyxy 此此时时标标准准形形为为,xPy 即即22233.fyy 线性代数63注意注意:1131,313p 2121,20p 3161,626p 若取正交矩阵若取正交矩阵111236111,23612036P 线性代数64则所求正交变换为则

38、所求正交变换为112233111236111,23612036xyxyxy 此此时时标标准准形形为为,xPy 即即22133.fyy 2.iPfy正正交交矩矩阵阵的的列列向向量量的的排排列列次次序序应应与与的的标标准准形形中中前前的的系系数数对对应应注：注：二次型的标准形不唯一，如二次型的标准形不唯一，如221212(,)9,f x xxx 11221,3xyxy 令令得得221212(,).f yyyy线性代数66尽管一个实二次型的标准形一般来说是不唯尽管一个实二次型的标准形一般来说是不唯一的一的, 但标准形中所含有的项数是确定的但标准形中所含有的项数是确定的, 项项数等于二次型的秩数等于二

39、次型的秩.下面我们限定所用的变换为实变换下面我们限定所用的变换为实变换, 来来研究二次型的标准形所具有的性质研究二次型的标准形所具有的性质.惯性定理惯性定理线性代数6722211222221 12211 , , (0), (0), ,1, , ()Trrirrirrfx AxrxCyxPzfk yk yk ykfzzzkk 设设有有实实二二次次型型它它的的秩秩为为有有两两个个实实的的可可逆逆变变换换及及使使及及则则中中正正定定理理惯惯性性()()数数的的个个数数与与中中正正定定理理负负( (负负) )数数的的数数相相等等. .线性代数68222416fxyz 为为正定二次型正定二次型22123

40、fxx 为为负定二次型负定二次型 ( ), 0, ( )0 ( (0)0), , ; 0 ( )0, , 1 .Tf xx Axxf xffAxf xfA 设设有有实实二二次次型型如如果果对对任任何何都都有有显显然然则则称称为为正正定定二二次次型型并并称称对对称称矩矩阵阵是是正正定定的的如如果果对对任任何何都都有有则则称称为为负负定定二二次次型型定定并并称称对对称称矩矩阵阵是是负负定定的的义义例如例如正（负）定二次型的概念正（负）定二次型的概念线性代数69证证 , xCy 设设可可逆逆变变换换使使21( )().niiif xf Cyk y 充分性充分性 0 (1, ).ikin 设设0,x

41、任任给给10,yC x 则则21( )0.niiif xk y : 2 .Tfx Axn 实实二二次次型型为为正正定定的的充充分分必必要要条条件件是是它它的的标标准准形形的的个个定定系系数数全全为为正正理理必要性必要性 0,sk 假假设设有有 () ,sye 则则当当单单位位坐坐标标向向量量时时()0.ssf Cek 0,sCe 显显然然.f这这与与为为正正定定相相矛矛盾盾故故0(1, ).ikin 正（负）定二次型的判定正（负）定二次型的判定线性代数70推论推论 对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件为正定的充分必要条件是是: 的特征值全为正的特征值全为正.AA线性代数71110,a 111221220,aaaa ,11110;nnnnaaaa 1111( 1)0,(1,2, ).rrrrraarnaa 这个定理称为这个定理称为霍尔维茨定理霍尔维茨定理.对称矩阵对称矩阵 为负定的充分必要条件是为负定的充分必要