解析函数的Taylor展式PPT学习教案

1、会计学1解析函数的解析函数的Taylor展式展式一、泰勒定理( )11( )1( ),(4.9)2()!nnnfcdfaian其中其中1 定理定理4.14( ),:,( )f zDaDKzaRDf zK设在区域 内解析只要圆含于则在 内能展成幂级数0( )() ,(4.8)nnnf zcza:,0;0,1,2,)aR n(且展式是惟一的且展式是惟一的.积分形式积分形式微分形式微分形式第1页/共33页证明,zK :,0,;aRz使 在内由柯西积分公式由柯西积分公式 , 有有1( )( ),2ff zdiz11()()zaza由于由于111zaaaDa.KKz.内任意点内任意点a圆周R0111nn

2、uuu第2页/共33页( ),fa以上有界函数乘上式两边得10( )( )() ,()nnnffzaza,在上关于 仍一致收敛14.7,2 i故由定理上式两边沿积分 并乘以得,在上关于 一致收敛01() ,1nnzazaaa故故,当时1;zazaa0111nnuuu第3页/共33页下证唯一性,设另有展式0( )() ,:,nnnf zczazKzaR由定理由定理4.13知知( )1( )!nncfan;nc故展式唯一故展式唯一.由z的任意性，定理前半部分得证。 0()nnza0() ;nnza1( )2fdiz0n注注:显然显然(4.8)的收敛半径大于或等于的收敛半径大于或等于R.( )f z

3、 11( )2()nfdia()nzanc( )( )!nfan第4页/共33页2 定义定义4.6(4.8)( ),f zaTaylor称为在点 的展式(4.9),Taylor称为其系数(4.8).Taylor而等号右边的级数则称为级数0( )() ,(4.8)nnnf zcza泰勒展开式泰勒展开式泰勒级数泰勒级数( )11( )1( ),(4.9)2()!nnnfcdfaian第5页/共33页3 刻划解析函数的第四个等价定理刻划解析函数的第四个等价定理 定理定理4.15( ):( ),f zDf zDazaTaylor函数在区域 内解析的充要条件为在 内任一点 的邻域内可展成幂级数 即级数(

4、 ),nf zzaRTaylorcCauchy若在解析 则其系数满足不等式注注( ),(0,0,1,2,)z annMax f zcR n第6页/共33页二二 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况 定理定理4.160()0,nnnczaR如幂级数的收敛半径且0( )() ,:;nnnf zczazKzaR( ):.f zCzaR则在其收敛圆周上至少有一个奇点( ),( ),.F zzaRf zC即不可能有这样函数存在 它在内与恒等 而在 上处处解析第7页/共33页证明证明( )F z倘若这样的存在,CO这时 上的每一点都是某圆 的中心( ),OF z而在圆 内是

5、解析的由有限覆盖定理由有限覆盖定理,我们可以在这些圆我们可以在这些圆O中选取有限个圆将中选取有限个圆将C覆盖覆盖,这有限个圆构成一个区域这有限个圆构成一个区域G,0,CG用表 到的最短距离( ):F zKKzaR在较圆 大的同心圆内是解析的,( ),F zKTaylor于是在中可展为级数( )( ),zaRF zf z但因在中0( )() ,:;nnnF zczazKzaR第8页/共33页0()( ),nnnczaF zTaylor因此也是的级数R而它的收敛半径不会小于,这与假设相矛盾这与假设相矛盾.注注1:该定理给出了确定收敛半径该定理给出了确定收敛半径R的方法的方法.( ),( );f z

6、abf za设在点 解析 是的奇点中距中心 最近的一个奇点0()nnnbaRcza则就为幂级数的收敛半径.( )( )!nnFacn( )( )!nnfacn0( )()nnnF zcza0( )()nnnf zcza第9页/共33页 例例12011nnnc zzz设,求其收敛半径.解解210,zz 由15;2z 得它们是和函数的两个奇点它们是和函数的两个奇点,故知收敛半径为故知收敛半径为51.2R注注2:即使幂级数在其收敛圆上处处收敛即使幂级数在其收敛圆上处处收敛,其和函数其和函数在收敛圆周上仍然至少有一个奇点在收敛圆周上仍然至少有一个奇点.例例1z 在上绝对且一致收敛.1( ).f z但为

7、的奇点111( )( 1)(1)nnnzf zn n( )(1)ln(1).f zzz其实11( )( 1)nnnzfzn第10页/共33页注注3 该定理一方面建立了幂级数的收敛半径与此幂该定理一方面建立了幂级数的收敛半径与此幂数所代表函数的性质间的关系数所代表函数的性质间的关系,同时同时,还表明幂级数的还表明幂级数的理论只有在复数域内才能弄得完全明白理论只有在复数域内才能弄得完全明白.如如1x 为什么仅当时有展式2462111xxxx 在实数域内无法弄清在实数域内无法弄清,但在复数域上来讲但在复数域上来讲21,1ziz 在复平面上有两个奇点1.R 故收敛半径第11页/共33页三、一些初等函数

8、的泰勒展式三、一些初等函数的泰勒展式,( ),(),( ),nnTaylorf zzaTaylorczaaf zTaylor由解析函数展式的唯一性 要求解析函数在的级数 可以采用任何可能的方法去找一个形如的幂级数 只要它在 的一个邻域内收敛于则这个幂级数就是所求的级数.常用方法常用方法: 直接法和间接法直接法和间接法. .1.直接法直接法:由泰勒定理计算系数由泰勒定理计算系数( )1( ),0,1,2,!nncfann ( ) .f za将函数在展开成幂级数第12页/共33页例例1. 0 的泰勒展开式的泰勒展开式在在求求 zez),2,1 ,0(,1)(0)( neznz故有故有 02! 21

9、nnnznznzzze, 在复平面内处处解析在复平面内处处解析因为因为ze. R所以级数的收敛半径所以级数的收敛半径,)( )(znzee 因为因为解解第13页/共33页仿照上例仿照上例 , ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( R,)!2()1(! 4! 21cos242 nzzzznn)( R. 0 cos sin 的的泰泰勒勒展展开开式式在在与与可可得得 zzz第14页/共33页2. 间接展开法间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析结合解析函数的性质函数的性质, 幂级数运算性质幂级数运算性质 (逐项求导逐项求导,

10、积分积分等等)和其它数学技巧和其它数学技巧 (代换等代换等) , 求函数的泰勒展求函数的泰勒展开式开式.间接法的优点间接法的优点: : 不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比因而比直接展开更为简洁直接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛 .第15页/共33页例例21 0 .1zz求在的泰勒展开式解解由等比级数的求和公式有由等比级数的求和公式有211,11nzzzzz 注注:从上式有从上式有2311( 1),11nnzzzzzz 2462211( 1),11nnzzzzzz 第16页/共33页例例3 sin 0 .zz 求在的泰勒展开式1sin()2i

11、zizzeei 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnniznizi解解0( ),!niznizen0(),!niznizen1sin()2izizzeei而而因为因为所以所以;z .z 第17页/共33页附附: 常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z第18页/共33页,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,

12、1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz ,!)1()1( nznn )1( z第19页/共33页例例4 4. )1 (1 2的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zz 解解211( 1)1nnzzzz 由1 z3、典型例题、典型例题, 11)1(12 zzz上有一奇点上有一奇点在在由于由于,1内处处解析内处处解析且在且在 z,的幂级数的幂级数可展开成可展开成 z上式两边逐项求导上式两边逐项求导, zz11)1 (122111 23( 1),nnzznz 1.z 第20页/共33页例例5 5

13、. 0 )1ln( 泰勒展开式泰勒展开式处的处的在在求对数函数的主值求对数函数的主值 zz分析分析, 1 , 1 )1ln( 是它的一个奇点是它的一个奇点平面内是解析的平面内是解析的向左沿负实轴剪开的向左沿负实轴剪开的在从在从 z 1 .zz所以它在内可以展开成的幂级数如图如图,1 Ro1 1xy解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z第21页/共33页zzzzzznnnd)1(d11000 即即231ln(1)( 1)231nnzzzzzn 1 z 将展开式两端沿将展开式两端沿 C 逐项积分逐项积分, 得得, 0 1 的曲线的曲线到到内从内从为收敛圆为收敛

14、圆设设zzC (1)0LnzzTaylor注各分支在的展式为231(ln(1)2( 1)231nnkzzzzk izn 1 z第22页/共33页例例6 6. 231)( 的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zzzf 解解231121231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即第23页/共33页例例7 7( )(1)0,.f zzzTaylor求在的展开式为复数解解(1)( )(1)1,Lnzf zze支点为-( )1,f zz 故在内能分出单值解析分支取主值支取主值支ln(1)( )(1),z

15、g zze0,z 在处展开0( )0( ),( )ln(1)fzg zef zz为此令按复合函数求导法则得按复合函数求导法则得0( )0( )( ),fzg zef z00( )11( )1fzf zze0(1)( )( ),fzg ze第24页/共33页连续求导得连续求导得0()( )( )( )(1)(1),n fzngzne 得得Taylor系数为系数为0(0)1,cg( )(0)(1)(1),1,2,!nngncnnn (1),z于是的主值支展开式为2(1)(1)12!zzz 0kkkC z(1)(1)!nnzn 1 z第25页/共33页例例8 8sin.zezz将展成 的幂级数解解所

16、以所以2311sin0(1 0)(0 1 0)()2!3!zezzzz 故其故其Cauchy积也绝对收敛积也绝对收敛,z 两级数在内绝对收敛因为因为0,!nznzen210sin( 1)(21)!nnnzzn231,3zzz.z 第26页/共33页例例9 9tan0.zzTaylor求在点的展开式解解sintan,;cos2zzzzz在内解析且能展为 的幂级数因为因为3521sin( 1),3!5!(21)!nnzzzzzn 242cos1( 1),2!4!(2 )!nnzzzzn 所以所以,把级数按升幂排列把级数按升幂排列,用直式做除法得用直式做除法得3512tan,315zzzz.2z第27页/共33页例例10 10 .0arctan的的幂幂级级数数展展开开式式在在求求 zz解解,1darctan02 zzzz因为因为1,)()1(11 022 zzznnn且且 zzzz021darctan所以所以 znnnzz002d)()1(. 1,12)1(012 znznnn第28页/共33页例例1111.cos2的的幂幂级级数数求求z解解),2cos1(21cos2zz 因为因为 ! 6)2(! 4)2(! 2)2(12cos642zzzz zzzz! 62! 42! 221664422)2c