宁波大学高数总复习PPT学习教案

1、会计学1宁波大学高数总复习宁波大学高数总复习)(xfy yxOD1. 概念定义定义:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定义域 值域图形图形:DxxfyyxC, )(),( 一般为曲线 )设,RD函数为特殊的映射:其中第1页/共57页有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性3. 反函数)(:DfDf设函数为单射, 反函数为其逆映射DDff)(:14. 复合函数给定函数链)(:11DfDf1)(:DDgDg则复合函数为 )(:DgfDgf5. 初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的一个表达式的函数.)(1DfD)(Dgg1Dfgf 第2页/共57页1. 下列各

2、组函数是否相同 ? 为什么? )arccos2cos()() 1 (xxf 1 , 1, 12)(2xxx与axaaxxxf,)()2(2)(21)(xaxax与0,0,0)()3(xxxxf)()(xffx 与相同相同相同相同相同相同第3页/共57页0 x0, 10, 1)()2(xxxf,2xx0,0,)() 1 (xxxxxf2x以上各函数都是初等函数 .第4页/共57页,0)(,1)(,e)(2xxxfxfx且求)(x及其定义域 .5. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f6. 设,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf由)(2exx1得,)1

3、ln()(xx0,(x,e)(fx2xf)(x4. 解解:e)(x2第5页/共57页 f8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f解解:)5(f)( f310)10(f)(7f f)12(f)( f312)(9f66. 设,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf解解:1sinsin1)sin1(sin22xxxxf3)sin1(sin2xx3)(2xxf第6页/共57页xxxff1211)()(,2)()(1xfxfxx解解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性利用函数表示与变量字母的无关的特性 .,1xxt,11tx代入原方程得,)()(1211tttff,1

4、11uux,11ux代入上式得,)()() 1(2111uuuuuff1,0 xx设其中).(xf，求令即即令即画线三式联立1111)(xxxxf即xxxxxff)1(2111)()(第7页/共57页1. 函数连续的等价形式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0,0时当 xx有)()(0 xfxf2. 函数间断点第一类间断点(左右极限存在左右极限存在)第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点第8页/共57页有界定理有界定理 ; 最值定理最值定理 ; 零点定理零点定理 ; 介值定理介值定理 . p70

5、-72第9页/共57页例例2. 设函数)(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e第10页/共57页0)()()(212xfxff上连续 , 且恒为正 ,)(xf在,ba对任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一点证证:, ,21xx使. )()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF, 则,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()

6、()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21时当xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零点定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即.)()()(21xfxff,)()(21时当xfxf,21xx或取)()()(21xfxff证明:, 0)(F则有即 第11页/共57页上连续, 且 a c d b ,)(xf在,ba必有一点证证:, ,ba使)()()()(fnmdfncfm, ,)(baCxfMbaxf上有最大值在,)()()(dfncfm)()()(fnmdfncfm即由介值定理,使存在, ,ba证明:Mnmdfncfmm)()()(

7、)()()(fnmdfncfm,m及最小值故 即 mnm)(Mnm)(第12页/共57页1. 极限定义的等价形式 (以 为例 )0 xx Axfxx)(lim00)(lim0Axfxx(即 为无穷小)Axf)(, )(0 xxxnnn有Axfnn)(limnx,0 xAxfxf)()(002. 极限存在准则及极限运算法则第13页/共57页无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;常用等价无穷小: (x0时) 4. 两个重要极限 6. 判断极限不存在的方法 sin xxtan xxcos1x221xarctan xxarcsin xx)1ln(xx1e xx1xaaxln1)1 (xx5. 求极限的基本

8、方法 1sinlim) 1 (01)11 (lim)2(0或10lim(1)e注注: 代表相同的表达式第14页/共57页)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx无穷小有界第15页/共57页0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(exxxx1212)1(ln2e则有)()(1lim0 xvxxxu复习复习: 若,0)(lim0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(

9、lim0 xuxvxx)(lim12sincos0 xxxxx1第16页/共57页.sine1e2lim410 xxxxx解解:xxxxxsine1e2lim410 xxxxxxsin1ee2lim4340e1xxxxxsine1e2lim410 xxxxxsine1e2lim4101原式 = 1 (2000考研)注意此项含绝对值第17页/共57页3. 求.)321 (lim1xxxx解解: 令xxxxf1)321 ()(xxx11)()(33231则)(xf3x133利用夹逼准则可知.3)(limxfx第18页/共57页导数与微分 第二章 第19页/共57页 导数导数 p79 :xxfxxf

10、xfx)()(lim)(0当时,为右导数当时,为左导数0 x)(xf0 x)(xf 微分微分 :xxfxfd)()(d 关系关系 : 可导可微( 思考 P125 题1 )第20页/共57页(1) 利用导数定义解决的问题利用导数定义解决的问题 (3)(3)微分在近似计算与误差估计中的应用微分在近似计算与误差估计中的应用(2)(2)用导数定义求极限用导数定义求极限1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则推出三个最基本的导数公式及求导法则xxxCxcos)(sin;)(ln;0)(1其他求导公式都可由它们及求导法则推出其他求导公式都可由它们及求导法则推出;2) 求分段函数在分界点处的导数求分段函数在

11、分界点处的导数 , 及某些特殊及某些特殊函数在特殊点处的导数函数在特殊点处的导数;3) 由导数定义证明一些命题由导数定义证明一些命题.第21页/共57页)(0 xf 存在,求.)()(lim0200 xxfxxxfx解解: : 原式=xxfxxxfx )()(lim02002)( xx2)( xx)(0 xf 第22页/共57页)(xf设0)(,xxf在讨论解解:)(lim0 xfx又xfxfx)0()(lim0所以 )(xf0 x在处连续. 即)(xf0 x在处可导 .xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim000,1sin2xxx0,0 x处的连续性及可导性. xxxx120

12、sinlim0)0( f第23页/共57页1eelim)()1()1(2xnxnnbaxxxf,试确定常数a , b. )(xf 解解: :)(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x,1时x;)(axf时，1x.2)(xxf) 1 ()1 ()1 (fff) 1 () 1 (ff得处可导，在利用1)(xxf即ba 1) 1(21ba2a使 f (x) 处处可导,并求第24页/共57页, 1,2ba2) 1 ( f1,21,2)(xxxxf)(xf 是否为连续函数 ?,1时x,)(axf时，1xxxf2)(ba 1) 1(21ba2a存在) 1 (f第25页/共57页1. 正确使用

13、导数及微分公式和法则正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧熟练掌握求导方法和技巧(1) 求分段函数的导数求分段函数的导数注意讨论注意讨论界点界点处左右导数是否存在和相处左右导数是否存在和相等等(2) 隐函数求导法隐函数求导法对数微分法对数微分法(3) 参数方程求导法参数方程求导法极坐标方程求导极坐标方程求导(4) 复合函数求导法复合函数求导法( (可利用微分形式不变性可利用微分形式不变性) )转化转化(5) 高阶导数的求法高阶导数的求法逐次求导归纳逐次求导归纳; ; 间接求导法间接求导法; ;利用莱布尼茨公式利用莱布尼茨公式. .导出导出第26页/共57页, )(arcta

14、nsinee1sinxxxfy其中)(xf可微 ,.y求解解:yd)d(esinesin xx)d(sineesinxx)d(arctan)(arctan11xxf )d(sinesinesinxxx)d(ecoseesinxxx)d(11)(arctan1112xxxfxxxxd )sine(cosesinxfxxd)(arctan1112xyyddxxcosee第27页/共57页，有定义时设)(0 xgx 且)(xg 存在, 问怎样选择cba,可使下述函数在0 x处有二阶导数)(xf解解: 由题设)0(f 存在, 因此1) 利用)(xf在0 x连续, 即, )0()0()0(fff得)0(

15、gc 2) 利用, )0()0(ff0)0()(lim)0(0 xgxgfx)0( g0)0()(lim)0(20 xgcbxxafxb而)0( gb得0,2xcbxax0, )(xxg第28页/共57页)0( gb3) 利用, )0()0( ff0)0()(lim)0(0 xgxgfx)0( g0)2(lim)0(0 xbbxafxa2而得)0(21 ga)0(gc )(xf0,2xcbxax0, )(xxg第29页/共57页二、二、 导数应用导数应用一、一、 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用 第三三章 第30页/共57页xyOab)(xfy 拉格朗日中值定理 )

16、()(bfaf1. 微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 0)(fxyOab)(xfy )()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()(10) 1(! ) 1(1)(nnnxxfxxF)( 泰勒中值定理 )()()(000 xxxfxfxfnnnxxxf)(00)(!10n)()()(bfafxxF 柯西中值定理 第31页/共57页利用逆向思维逆向思维 , 设辅助函数 .一般解题方法:(1) 证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .多用罗尔定理罗

17、尔定理,可考虑用柯柯西中值定理西中值定理 .必须多次应用多次应用中值定理中值定理 .(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式泰勒公式 ,(5) 若结论为不等式 , 要注意适当适当放大放大或缩小缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理 .第32页/共57页在)(xf),(ba内可导, 且,)(Mxf证明在)(xf),(ba内有界. 证证: 取点, ),(0bax 再取异于0 x的点, ),(bax对xxxf,)(0在以为端点的区间上用拉氏中值定理, 得)()()(00 xxfxfxf)(0之间与界于xx)()()(00 xxfxfxf00)()(xxfxf)()(0a

18、bMxfK(定数)可见对任意, ),(bax,)(Kxf即得所证 .第33页/共57页满足下述等式naaa,1001210naaan证明方程在 ( 0 , 1) 内至少有一个实根 .010nnxaxaa证证: 令,)(10nnxaxaaxF则可设121012)(nnxnaxaxaxF, 1,0)(,上连续在显然xF且)0(F由罗尔定理罗尔定理知存在一点, ) 1 ,0(使,0)(F即.10010内至少有一个实根），（在nnxaxaa,) 1,0(内可导在,0) 1 (F第34页/共57页,)(,)(内可导，在，上连续在设babaxf且,0ba 试证存在).(2)(fbaf使, ),(,ba证证

19、: 欲证,2)()(fbaf因 f ( x ) 在 a , b 上满足拉氏中值定理条件,故有),(, )()()(baabfafbf,)(2上满足柯西定理条件在及又因baxxf),(,2)()()(22bafabafbf将代入 , 化简得故有),(2)(fbaf),(,ba即要证.2)()(22fababf第35页/共57页1. 研究函数的性态:增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 ,曲率2. 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题3. 其他应用 :求不定式极限 ;几何应用 ;相关变化率;证明不等式 ;研究方程实根等.第36页/共57页O)(xfx .在区间 上是凸弧 ;

20、拐点为 ),0(),(21xx)0(, 0( ,)(,( ,)(,(2211fxfxxfx提示提示:)()(xfxf 的可导性及根据的正负作 f (x) 的示意图. 形在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图 上可导，在),()(xf的图形如图所示,),(),0,(21xx)(xf O2x1xyx2x)(xf 1x第37页/共57页ln)1ln()()(1xxxfxf在xxxf)1 ()(1),0(上单调增加.证证:)1ln()(ln1xxxfln)1ln(xxx11ln)1ln()11()(xxxxxfx令,ln)(ttF在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,111xxx) 10(1

21、ln)1ln(xxxxx11故当 x 0 时,0)( xf从而)(xf在),0(上单调增.得第38页/共57页. )0(1arctan)1ln(xxxx证证: 设xxxxarctan)1ln()1 ()(, 则0)0(211)1ln(1)(xxx)0(0 x故0 x时, )(x单调增加 , 从而0)0()(x即)0(1arctan)1ln(xxxx思考思考: 证明) 10(arcsin)1ln(11xxxxx时, 如何设辅助函数更好 ?xxxxxarcsin1)1ln()1 ()(2提示提示:第39页/共57页)0()1arctan(arctanlim2ananann解法解法1 利用中值定理求

22、极限原式)1(11lim22nanann之间）与在1(nana221) 1(limannnna第40页/共57页令,arctan)(xxf则,11)(2xxf22)1 (2)(xxxf )()0()0()0()(22!21xoxfxffxf )(2xox原式2lim nn)0()1arctan(arctanlim2ananann22112)() 1(limnnnonnnaa)1(2nona) 1(1(12nona第41页/共57页)0()1arctan(arctanlim2ananann原式21arctanarctanlimxxbxaxxt1令20arctanarctanlimtt btat第

23、42页/共57页不定积分的计算方法 第四四章 第43页/共57页1. 直接积分法直接积分法通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法 .2. 换元积分法换元积分法xxfd)( 第一类换元法第一类换元法tttfd)()( 第二类换元法(代换: )(tx第44页/共57页vuxvud使用原则:1) 由v易求出 v ;2) xvud比xvud好求 .一般经验: 按“反反, 对对, 幂幂, 指指 , 三三” 的顺序,排前者取为 u , 排后者取为.v计算格式: 列表计算xvud第45页/共57页xvund) 1(xvuvunnd)()()1()(nnvuvu xvund) 1( )2(

24、) 1()(nnnvuvuvuxvunnd) 1() 1(1)2()1()( nnnvuvuvuxvund)2( 快速计算表格:)(ku)1(knvuuu )(nu)1( nv)(nv)1( nvvn) 1()1( nuv1) 1(n特别特别: 当 u 为 n 次多项式时,0)1(nu计算大为简便 . 第46页/共57页32(2)e.dxxxx解解: 取,23xxuxv2)4(e23 xx132xx660)(ku)4(kvx2ex221ex241ex281ex2161ex2e 原式)2(321 xx) 13(241xx681Cxxxx)7264(e232816161CxxaxaxPxkndcossine)(说明说明: 此法特别适用于如下类型的积分: 第47页/共57页,)(2xyxy解解: 令, tyx求积分.d31xyxxyxy2)(即txy,123ttx,12tty而ttttxd) 1()3(d2222 1原式ttttd) 1()3(2222123tt132tttttd12Ct1ln221Cyx1)(ln221第48页/共57页)2(1tandtan21nInxxxInnnn证证:xxxInnd) 1(sectan22)d(tantan2xxn1tan1nxn2nI