大学数学导数应用

1、第三节尽可能地描述函数曲线：判断函数的尽可能地描述函数曲线：判断函数的单调区间，寻找特殊点单调区间，寻找特殊点极值及拐点，极值及拐点，曲线的凸性与渐近线曲线的凸性与渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数在函数研究中的应用 第三三章 一、一、 函数单调性的判定法函数单调性的判定法若定理定理 1. 设函数)(xf0)( xf则 在 I 内单调递增)(xf, )0)( xf(递减) .证证: 无妨设,0)(Ixxf任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0故. )()(21xfxf这说明 在 I 内单调递增.)(xf在开区间 I 内可

2、导,机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束 几何上解释：1.导数大于零：切线斜率大于0，单调增2.导数小于零：切线斜率小于0，单调减回忆：函数曲线在局部看成斜率为f(x)的直线。例例1. 确定函数31292)(23xxxxf的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的单调增单调增区间为, ) 1,();,2()(xf的单调减单调减区间为).2,1 (12xoy12机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxo说明说明: 单调区间的分界点除驻点外

3、,也可是导数不存在的点. 例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .例如,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y在y在二、函数的极值及其求法函数的极值及其求法定义定义:,),()(内有定义在设函数baxf, ),(0bax ，的一个邻域若存在0 x在其中当0 xx 时, )()(0 xfxf(1) 则称 为 的极大值点极大值点 ,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 则称 为 的极小值极小值 点点 ,0 x)(xf称 为函数

4、的极小值极小值 .)(0 xf极大点与极小点统称为极值点极值点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求函数求函数32) 1()(xxxf的极值 .解解:1) 求导数32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求极值可疑点令,0)( xf得;521x不可导点：02x3) 列表判别x)(xf )(xf05200)0,(),0(52),(520 x是极大点， 其极大值为0)0(f是极小点， 其极小值为52x33. 0)(52f机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 ,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到 .

5、求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求 在 内的极值可疑点导数为 0 或不存在的点：)(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注: 当 在 上单调单调时,)(xf,ba最值必在端点处达到.机动 目录 上页 下页 返回 结束 )1292(2 xx1224)9(209681012922xx )(xxf041x250 x041x250 x例例3. 求函数xxxxf1292)(23在闭区间,2541

6、上的最大值和最小值 .解解: 显然, ,)(2541Cxf且)(xf, )1292(23xxx,129223xxx)(xf121862xx121862xx内有极值可疑点在,)(2541xf2, 1,0321xxx,3)(321941f,0)0(f,5) 1 (f,4)2(f5)(25f故函数在0 x取最小值 0 ;在1x及25取最大值 5., )2)(1(6xx, )2)(1(6xx251241机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义 . 对于可导单调函数，对应的函数曲线(1) 往上凸：位于该曲线上任一点切线的下方。该曲线被称为上凸曲线，对应的函数称为上凸函数。(2)往下凸：位于该曲线上任

7、一点切线的下方。该曲线被称为下凸曲线，对应的函数称为下凸函数。 函数曲线上凸与下凸的分界点称为拐拐点点 .三、曲线的凸性与拐点三、曲线的凸性与拐点机动 目录 上页 下页 返回 结束 yox2x1x221xx yox1x221xx 2xyox定理定理3.(凸性判定法)(xf(1) 在 I 内,0)( xf则 在 I 内是下凸的 ;)(xf(2) 在 I 内,0)( xf则 在 I 内是上凸的 .)(xf“证证”: 从前面图像可观察到：从前面图像可观察到：下凸：曲线切线斜率越来越大，即导函数单增；二阶导下凸：曲线切线斜率越来越大，即导函数单增；二阶导数数0.上凸：曲线切线斜率越来越小，即导函数单减

8、；二阶导上凸：曲线切线斜率越来越小，即导函数单减；二阶导数数0. 严格证明见P71定理3.13：利用一阶泰勒公式（P71定理3.12)可得。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数在区间I 上有二阶导数例例4. 判断曲线4xy 的凸性.解解:,43xy 212xy 时，当0 x;0 y,0时x, 0 y故曲线4xy 在),(上是向上凸的.说明说明:1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:则曲线的凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号,xyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:若曲线)(xfy

9、 ,0连续在点x0)(0 xf或不存在,但)(xf 在 两侧异号异号,0 x则点)(,(00 xfx是曲线)(xfy 的一个拐点.xxy24362 )(3632xx例例5. 求曲线14334xxy的凸区间及拐点.解解:1) 求y ,121223xxy2) 求拐点可疑点坐标令0 y得,03221xx对应3) 列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及),(271132均为拐点.上在),0(32下凸下凸上凸机动 目录 上页 下页 返回 结束 点 M 与某一直线 L 的距离趋于

10、0,四、 曲线的渐近线曲线的渐近线定义定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点时,则称直线 L 为曲线C 的渐近线渐近线 .或为“纵坐标差纵坐标差”NLbxkyMxyoC)(xfy P机动 目录 上页 下页 返回 结束 只讲：只讲： 水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线若,)(limbxfx则曲线)(xfy 有水平渐近线.by )(x或若,)(lim0 xfxx则曲线)(xfy 有垂直渐近线.0 xx )(0 xx或例例6. 求曲线211xy的渐近线 .解解:2)211(limxx2 y为水平渐近线;,)211(lim1xx1 x为垂直渐近线.21机动 目录 上页 下页 返回 结束 五

11、、函数图形的描绘五、函数图形的描绘步骤步骤 :1. 确定函数)(xfy 的定义域 ,期性 ;2. 求, )(, )(xfxf 并求出)(xf 及)(xf 3. 根据第二步 判别增减及上下凸区间4. 求水平和垂直渐近线 ;5. 在坐标上描出这些特殊点 , 再依据上面其他三个步骤逐段描绘函数图形 .为 0 和不存在的点，以及对应的极值和拐点（统称特殊点） ;并考察其对称性及周机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 描绘22331xxy的图形.解解: 1) 定义域为, ),(无对称性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1

12、,0()2, 1 (),2(00234(极大)(拐点）32(极小)4)xy133220机动 目录 上页 下页 返回 结束 1231例例8. 描绘方程044)3(2yxyx的图形.解解: 1),) 1(4)3(2xxy定义域为), 1 ( , ) 1 ,(2) 求特殊点)3(2xy4044yxy) 1(223xyxy2) 1(4) 1)(3(xxxy 42048 yxy) 1(241 xyy3) 1(2x得令0 y;3, 1x机动 目录 上页 下页 返回 结束 113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(xyy y20,) 1(4)3(2xxy,) 1(4) 1)(3(2xxxy3) 1(2 xy3) 判别曲线形态00(极大极大)(极小极小)4) 求渐近线,lim1yx为垂直渐近线无定义无定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 1x5）绘图(极大极大)(极小极小)绿色斜渐近线不用画！1x垂直渐近线特殊点11302) 1( 4) 3(2xxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 2无定义无定