有限元法绪论

1、12第一章第一章 有限元法绪论有限元法绪论3 有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。 等截面直杆在自重作用下的材料力学解答 受自重作用的等截面直杆 受自重作用的等截面直杆如图所示，杆的长度为L，截面积为A，弹性模量为E，单位长度的重量为q，杆的内力为N。试求：杆的位移分布，杆的应变和应力。)()(xLqxNEAdxxLqEAdxxNxdL)()()(xxLxEAqEAdxxNxu02)2()()()(xLEAqdxdux)(xLAqExx等截面直杆在自重作用下的有限元法解答离散后的直杆 1

2、、离散化 如右图所示，将直杆划分成n个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。称两段之间的连接点为结点，称每个有限段为单元。 第i个单元的长度为Li，包含第i，i+1个结点。2、用单元节点位移表示单元内部位移 第i个单元中的位移用所包含的结点位移来表示，)()(1iiiiixxLuuuxuiuixiiiN其中为第i结点的位移，第i个单元的应变为应力为，内力为iiiiLuudxdu1iiiiiLuuEE)(1iiiiiLuuEAAN)(1为第i结点的坐标。(*)3、把外载荷集中到节点上 把第i单元和第i+1单元重量的一半2)(1iiLLq集中到第i+1结点上。 集中单元重量 4、建立结点的力平衡方

3、程 对于第i+1结点，由力的平衡方程可得：2)(11iiiiLLqNN令1iiiLL，并将(*)代入得：令 221)11 (2)1 (iiiiiiiLEAquuu根据约束条件，01u对于第n+1个结点， 2nnqLN EAqLuunnn221 建立所有结点的力平衡方程，可以得到由n+1个方程构成的方程组，可解出n+1个未知的结点位移。9 有限元法的计算步骤归纳为以下三个基本步骤：网格划分，单元分析，整体分析。1.网格划分 有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结

4、点连线构成的集合称为网格。10 通常把三维实体划分成4面体或6面体单元的网格，平面问题划分成三角形或四边形单元的网格。四面体四节点单元 三维实体的四面体单元划分 11六面体8节点单元 三维实体的六面体单元划分 三角形3节点单元 平面问题的三角形单元划分 四边形4节点单元 平面问题的四边形单元划分 2.单元分析 对于弹性力学问题，单元分析，就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。 由于将单元的节点位移作为基本变量，进行单元分析首先要为单元内部的位移确定一个近似表达式，然后计算单元的应变、应力，再建立单元中节点力与节点位移的关系式。 以平面问题的三角形3结点单元为例。如下图所示，单元有三个

5、结点I、J、M，每个结点有两个位移u、v和两个结点力U、V。三角形3结点单元 单元的所有结点位移、结点力，可以表示为结点位移向量 结点位移 mmjjiievuvuvu结点力 mmjjiieVUVUVUF单元的结点位移和结点力之间的关系： eeeKF3.整体分析 对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点位移的关系，以解出结点位移，这个过程为整体分析。再以弹性力学的平面问题为例，如下图所示，在边界结点i上受到集中力 iyixPP ,作用。 结点i是三个单元的结合点，因此要把这三个单元在同一结点上的结点力汇集在一起建立平衡方程。整体分析 i结点的结点力：eeiiiiUUUU)()3()2

6、()1(eeiiiiVVVV)()3()2()1(i结点的平衡方程：iyeeieixeiPVPU)()(18 随着有限元法的不断应用和计算机的高速发展,很多工程软件已成为有效的科学计算手段并大量用于世纪工程中. 如：ANSYS ADINA ABAQUS SAP5 SUPERSAP NASTRAN ANSYS ADINA ABAQUS SAP5 SUPERSAP NASTRAN 这些软件虽仅是计算工具，但他们的发展也为有限元法的应用拓宽了领域，趋近于多元化，多角度多功能的计算。特别是前后处理的不断更新，优化，更使软件运用的得心应手。19软件是融结构、热、流体、电磁、声学于一体的大型通用有限元分析

7、软件，可广泛用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车交通、国防军工、电子、土木工程、造船、生物医学、轻工、地矿、水利、日用家电等一般工业及科学研究。20 该软件可在大多数计算机及操作系统中运行，从PC机到工作站直至巨型计算机，文件在其所有的产品系列和工作平台上均兼容。软件多物理场耦合的功能,允许在统一模型上进行各式各样的耦合计算,如：热流体耦合,磁电耦合,以及电磁流体热耦合，确保了所有的用户的多领域多变工程问题的求解。基于Motif的菜单系统是用户能够通过对话框、下拉菜单和子菜单进行数据输入和功能选择，为用户使用提供“导航”。211该程序最为显著特点是加入交互式操作方式,即能

8、在分析前用交互式图形为验证模型的几何形状,材料及边界条件。分析之后又能立即用图形交互的检查分析结果。2 该程序提供一个循序渐进的能力表,包括高级结构非线性,电磁场,计算流体力学,设计优化一般接触面,自适应网格划分，大应变,有限转动动能和参数化建模.软件作为一个大型通用的有限元程序,其功能以为全 世界公认软件特点如下:224软件的设计分析和优化功能也可很方便地应用到CAD系统生成的模型上。新增强的功能,使程序更灵活更好用,计 算速度更快。3为用户使用本程序提供直观的途径界面,并配有完整的联 机声明及帮助系统.供用户完成深入应用课题。23软件提供了一个不断改进的功能清单， 具体包括：1. 结构高度

9、非线性仿真 采用了牛顿-拉普森迭代求解，并为了增强 问题的收敛性，提供了自适应下降、线性搜索、自动 载荷步、二分法及弧长法等一系列命令。可以计算由 大的位移、应变及有限转动引起的结构几何非线性问 题、与时间有关的材料非线性问题以及接触引起的状 态非线性问题。242. 热分析热分析基于能量守恒原理的热平衡方程， 用有限元法计算各节点的温度，并导出其它热物理参 数。包括热传导、热对流及热辐射三种传导方式。此 外，还可以分析相变、有内热源、接触热阻等问题。 热分析用于计算一个系统或部件的温度分布，如热量 获取或损失、热梯度、热流密度等。253. 电磁分析可分析电磁场的多方面问题，如电感、电 容、磁通

10、量密度、涡流、电场分布、磁力线、力、运 动效应、电路和能量损失等。可用于有效地分析下面 所列的各类设备：电力发电机、变压器、螺线管传动 器、电动机、磁成像系统、图象显示设备传感器、磁 悬浮装置、波导、开关等。264. 设计优化提供了两种优化方法，它们可以处理大多 数的优化问题。零阶方法是一个很完美的处理方法， 可以很有效的处理大多数的工程问题。一阶方法基于 目标函数对设计变量的敏感程度，因此更加适合于精 确的优化分析。优化中采用一系列的分析-评估 -修正的循环过程，这个过程重复进行直到所有设计 满足要求为止。275. 计算流体动力学分析程序中的FLOTRAN CFD分析功能是一个用于 分析二维

11、及三维流体流动场的先进的工具，可解决如 下的问题： 作用于气动翼型上的升力和阻力； 超音速喷管中的流场； 弯管中流体的复杂的三维流动； 计算发动机排气系统中气体压力及温度分布； 研究管路系统中热的层化及分离； 使用混合流研究来估计热冲击的可能性； 用自然对流分析估计电子封装芯片的热性能； 对含有多种流体的热交换器进行研究。286. 利用参数设计语言（）的扩展宏命令功能 有参数、数组参数、表达式和函数、分支和 循环、重复和缩写、宏以及用户程序等功能。29 本世纪中叶，随着生产力的发展，简单的实验模拟和解析求解方法，已经远远满足不了工业发展的需要，人们在寻找一种新的方法来更好的指导生产。30 随着

12、计算机的发展一种现代计算方法迅速发展起来，这就是有限元法。它是50年代首先在连续体力学领域飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快就广泛地应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。目前被广泛地应用在等很多工程领域。31v 下面我们将结合实例对有限元方法的应用进行讲解。下面我们将结合实例对有限元方法的应用进行讲解。超弹性密封压缩静力分析用于静态荷载.可以考虑结构的非线性行为，例如：大变形、大应变、应力刚化、接触、塑性、超弹及蠕变等.32动力分析包括质量和阻尼效应。模态分析，用于计算固有频率和振型。谐响应分析，用于确定结构对辐值已知、频率按正弦曲线变化的荷载的响应。瞬态动力分析，用于确定结构对随时间任意变化的载荷的响应，而且可以包含非线性特性。其它结构分析功能。谱分析。随机振动。特征值屈曲。子结构，子模型。模态动画33进行显式动力分析模拟以惯性力为主的大变形分析。用于模拟碰撞、挤压和快速成形等。汽车碰撞试验的冲击分析34热分析用于确定物体中的温度分布。热分析考虑的物理量是：热量的获取和损失、温度梯度、热流量。可模拟三种热传递方式：热传导、热对流、热辐射。 熨斗的瞬态热分析35电磁分析用于计算电磁设备中的磁场。稳态和低频电磁场分析模拟由直流电源，低频交流电或低频瞬时信号引起的磁场。36高频电磁场分析模拟电